Istituzioni di Matematica

Lamberto Lamberti, Aug 26, 2015

Alcuni fogli interattivi su argomenti istituzionali, per studenti di primo anno universitario.

Table of Contents

  1. Successioni
    1. Successioni 1
    2. Successioni ricorsive
    3. Somme di successioni geometriche
    4. Una successione ricorsiva
    5. Iterare una funzione
  2. Algebra lineare
    1. Autovettori
    2. Cambio di base
  3. Disequazioni
  4. Binomio di Newton
    1. Binomio di Newton
  5. Funzioni anno zero
    1. Polinomi
    2. Funzioni razionali
    3. Operazioni elementari sui grafici
    4. Funzioni pari e funzioni dispari
    5. Sinusoidi
    6. Radici n-esime
    7. Seno e arcoseno
    8. Arcocoseno
    9. Arcotangente
    10. Funzioni sigmoidi
    11. Funzione prodotto
    12. Quoziente di due funzioni
  6. Funzioni continue
  7. Integrali
    1. Somme integrali
    2. La funzione integrale
    3. Dalla derivata alla primitiva
  8. Derivate
    1. Rapporto incrementale
    2. Derivata del quadrato
    3. Derivate di sin(x)
    4. Derivate dell'esponenziale
    5. Primitive
    6. Teorema di Cauchy
    7. Polinomi di Taylor
    8. Polinomi di Taylor
    9. Tabella delle derivate
  9. Equazioni differenziali lineari
    1. ODE lineari del primo ordine
    2. ODE lineari secondo ordine
  10. Numeri complessi
    1. Potenze dei numeri complessi
    2. Esponenziale complesso

1.

Successioni

  • 1. Successioni 1
  • 2. Successioni ricorsive
  • 3. Somme di successioni geometriche
  • 4. Una successione ricorsiva
  • 5. Iterare una funzione

1.1.

Successioni 1

Esame dei termini di una successione [math]a_n[/math] assegnata per [math]n_0 \leq i \leq n_0 + p[/math]
– Lamberto Lamberti

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

2.

Algebra lineare

  • 1. Autovettori
  • 2. Cambio di base

2.1.

Autovettori

Il programma considera una matrice [math]M \,\,\,2 \, \times \, 2[/math] i cui 4 termini sono assegnati con 4 slider.[br]La parabola disegnata rappresenta il polinomio caratteristico.[br][br]Assegnato inoltre un vettore [math]u [/math] il programma determina il trasformato [math]M*u[/math]: gli autovettori sono pertanto quei vettori [math]u[/math] il cui trasformato [math]M*u[/math] è parallelo al vettore assegnato.
Il programma considera una matrice [math]M \,\,\,2 \, \times \, 2[/math] i cui 4 termini sono assegnati con 4 slider.[br]La parabola disegnata rappresenta il polinomio caratteristico.[br][br]Assegnato inoltre un vettore [math]u [/math] il programma determina il trasformato [math]M*u[/math]: gli autovettori sono pertanto quei vettori [math]u[/math] il cui trasformato [math]M*u[/math] è parallelo al vettore assegnato.
Autovettori
Autovettori
– Lamberto Lamberti

2.2.

–

3.

Disequazioni


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4.

Binomio di Newton

  • 1. Binomio di Newton

4.1.

Binomio di Newton

Assegnata la potenza [math] ( a + b x)^n[/math] con [math]a, b, n[/math] determinabili con tre slider si vede il grafico della potenza e, volendo, quelli degli addendi (polinomio di grado zero, polinomio di grado 1, ecc. fino all'intero polinomio di grado [math] n[/math]).
– Lamberto Lamberti

5.

Funzioni anno zero

  • 1. Polinomi
  • 2. Funzioni razionali
  • 3. Operazioni elementari sui grafici
  • 4. Funzioni pari e funzioni dispari
  • 5. Sinusoidi
  • 6. Radici n-esime
  • 7. Seno e arcoseno
  • 8. Arcocoseno
  • 9. Arcotangente
  • 10. Funzioni sigmoidi
  • 11. Funzione prodotto
  • 12. Quoziente di due funzioni

5.1.

Polinomi

Scedlto l'intero [math] n[/math] slider verticale a sinistra, si determina un polinomio di grado [math]n[/math] a coefficienti interi scelti casualmente tra -5 e 5. Ogni pressione del pulsante [color=#0a971e][b]Reset[/b] [/color] produce una nuova scelta dei coefficienti.
– Lamberto Lamberti

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

5.5.

–

5.6.

–

5.7.

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5.8.

–

5.9.

–

5.10.

–

5.11.

–

5.12.

–

6.

Funzioni continue


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7.

Integrali

  • 1. Somme integrali
  • 2. La funzione integrale
  • 3. Dalla derivata alla primitiva

7.1.

Somme integrali

La funzione [math] f(x)[/math] è un polinomio determinato da 6 punti verdi modificabili con il comando [math]\fbox{f(x)} [/math] Il programma calcola 5 tipi di somme integrali relative a suddivisioni dell'intervallo in n parti uguali con i 5 pulsanti [math]\fbox{LowerSum} [/math] , [math]\fbox{UpperSum} [/math] , [math]\fbox{LeftSum} [/math] , [math]\fbox{RectangleSum} [/math] , [math]\fbox{TrapezoidalSum} [/math]. In basso a sinistra si legge il valore esatto dell'integrale.
– Lamberto Lamberti

7.2.

–

7.3.

–

8.

Derivate

  • 1. Rapporto incrementale
  • 2. Derivata del quadrato
  • 3. Derivate di sin(x)
  • 4. Derivate dell'esponenziale
  • 5. Primitive
  • 6. Teorema di Cauchy
  • 7. Polinomi di Taylor
  • 8. Polinomi di Taylor
  • 9. Tabella delle derivate

8.1.

Rapporto incrementale

La funzione [math]f(x)[/math] è il polinomio determinato dai 7 punti evidenziabili con il pulsante verde [math] \fbox{f(x)}[/math]. L'incremento [math]h[/math] è gestito come l'n-esima parte dell'intervallo [math][a,b][/math] : [math]n[/math] è gestita dalla slider verticale rossa. I pulsanti rosso [math] \fbox{r(x)}[/math] e blu [math] \fbox{f'(x)}[/math] mostrano i grafici della funzione [math] r(x) = \frac{f(x+h) - f(x)}{h}[/math] e della derivata [math] f'(x) [/math].
– Lamberto Lamberti

8.2.

–

8.3.

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8.4.

–

8.5.

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8.6.

–

8.7.

–

8.8.

–

8.9.

–

9.

Equazioni differenziali lineari

  • 1. ODE lineari del primo ordine
  • 2. ODE lineari secondo ordine

9.1.

ODE lineari del primo ordine

Assegnata l'equazione differenziale lineare del primo ordine [math] y' = g(x,y)[/math] , con [math] g(x,y) = - a(x) y + f(x)[/math] e scelta, con il punto rosso sull'asse [math] y[/math] la condizione iniziale [math]y(0) = y_0 [/math] il comando [math]SolveODE[ <g(x, y)>, <Start x>, <Start y>, <End x>, <Step> ][/math] produce la soluzione, [math]a(x)[/math] e [math] f(x)[/math] sono modificabili scrivendo nelle due caselle testo.
– Lamberto Lamberti

9.2.

–

10.

Numeri complessi

  • 1. Potenze dei numeri complessi
  • 2. Esponenziale complesso

10.1.

Potenze dei numeri complessi

Scelto il numero complesso [math] z_1[/math] , punto verde, e scelto l'intero [math] n[/math] nella slider in basso, il programma pubblica la lista [math] \{1,z_1,\, z_1^2, \dots, z_1^{50} \}[/math] e il punto [math]w = z_1^n[/math], rosso
Potenze dei numeri complessi
– Lamberto Lamberti

10.2.

–

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