Un espill rectangular de dimensions [math]40\times45[/math]dm s’ha trencat per un cantó, formant un triangle rectangle de catets 24 dm i 18 dm (corresponents a les dimensions menor i major de l’espill) i un pentàgon. Determineu les dimensions de l’espill rectangular que es pot extreure en el tros pentagonal.

Podem representar els eixos de coordenades com es veu a la figura que hi ha més avall. Definim el rectangle a l'interior del pentàgon amb els vèrtexs E (compartit amb el pentàgon), H, F i G. Amb un paràmetre, diguem-li [math]k[/math], designarem la posició del punt G. Com que la distància del vèrtex C del mirall a l'eix vertical és de 18 dm, el paràmetre [math]k[/math] prendrà valors entre 0 i 18 (dm). [br][br][list][*]Les coordenades del punt G són doncs [math]\left(k,0\right)[/math]. [/*][*]I les coordenades del punt E ja estan fixades: [math]\left(45,0\right)[/math]. [/*][/list]Observem que els punts F i H tenen la mateixa segona coordenada. Aquesta vindrà donada per l'equació de la recta que uneix els vèrtexs B i C de l'espill. L'equació d'aquesta recta és: [br][center][math]y=\frac{4}{3}x+16[/math][br][/center]Per tant, [br][list][*]les coordeades del punt F són [math]\left(a,\frac{4}{3}a+16\right)[/math][br][/*][*]i les coordenades del punt H són [math]\left(45,\frac{4}{3}a+16\right)[/math]. [/*][/list][br]Podem deduir l'àrea del rectangle EFHG: [br][center][math]Area=\overline{GE}\cdot\overline{GF}[/math][/center][center][math]A\left(k\right)=\left(45-k\right)\left(\frac{4}{3}k+16\right)[/math][/center][center][math]A\left(k\right)=-\frac{4}{3}k^2+44k+720[/math][/center]Aquesta funció és la que hem d'optimitzar.