[size=150][color=#ff0000]CAPIRE IL RUOLO DELLA TORSIONE[br][/color][/size]Riassumiamo quanto scoperto nel capitolo precedente: [br][list=1][*][b]la presenza di massimi e minimi è legata alla curvatura della superficie, ma che questa non può essere misurata semplicemente dalle "classiche" derivate seconde pure[/b], [math]\Large{ \frac{d}{dx}\left (\frac{df}{dx} \right )=f_{xx} }[/math] e [math]\Large{ \frac{d}{dy}\left (\frac{df}{dy} \right )=f_{yy} }[/math], che sono l'estensione immediata della derivata seconda in due dimensioni, [b]perchè esse rendono conto della curvatura solo lungo i due assi e non in tutte le direzioni possibili[/b];[br][br][/*][*][b]la presenza di un punto di sella è legata alla torsione della superficie[/b], cioè al fatto che l'inclinazione lungo una direzione cambia procedendo lungo la direzione perpendicolare ad essa, [b]cioè alle derivate seconde miste[/b] [math]\Large{ \frac{d}{dy}\left (\frac{df}{dx} \right )=f_{xy} }[/math] e [math]\Large{ \frac{d}{dx}\left (\frac{df}{dy} \right )=f_{yx} }[/math][/*][/list]Nella seguente animazione riprendiamo tutti gli esempi visti nel capitolo precedente. Potrai visualizzare il comportamento delle derivate miste (cioè come cambia l'inclinazione lungo una direzione rispetto alla direzione ortogonale) nei vari casi agendo sullo slider [math]\Large{ y_{ref} }[/math] che muove il piano su cui viene visualizzata l'inclinazione [math]\Large{ f_x }[/math] (o [math]\Large{ x_{ref} }[/math] per muovere il piano su cui si studia [math]\Large{ f_y }[/math]). Agendo sugli slider [math]\Large{ x_P }[/math] (o rispettivamente [math]\Large{ y_Q }[/math] puoi cambiare il punto in cui studiare la variazione dell'inclinazione.

[size=85]Puoi visualizzare il comportamento delle derivate miste (cioè come cambia l'inclinazione lungo una direzione rispetto alla direzione ortogonale) nei vari casi agendo sullo slider [math]\Large{ y_{ref} }[/math] che muove il piano su cui viene visualizzata l'inclinazione [math]\Large{ f_x }[/math] (o [math]\Large{ x_{ref} }[/math] per muovere il piano su cui si studia [math]\Large{ f_y }[/math]). Agendo sugli slider [math]\Large{ x_P }[/math] (o rispettivamente [math]\Large{ y_Q }[/math] puoi cambiare il punto in cui studiare la variazione dell'inclinazione. [/size]

Con l'aiuto dell'applet interattiva possiamo analizzare i vari casi dal punto di vista visivo, confermando quanto osservato con alcuni calcoli:[br][br][b][color=#ff0000]Funzione 1[/color][/b], il paraboloide [math]\Large{ z=\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{4}y^2 }[/math] . L'origine è un [b]punto di minimo regolarmente segnalato dalle derivate pure entrambe positive[/b][b]: lungo gli assi si hanno due parabole verso l'alto[/b] [math]\Large{ \left (\frac{d}{dx}\left ( \textcolor{blue}{\frac{df}{dx} } \right )=\frac{d}{dx}\left (\textcolor{blue}{\frac{1}{2}x} \right ) = \frac{1}{2} \mbox{ e } \frac{d}{dy}\left ( \textcolor{red}{\frac{df}{dy} } \right )=\frac{d}{dy}\left (\textcolor{red}{\frac{1}{2}y} \right ) = \frac{1}{2} \right )}[/math].[b] [br]Non vi è torsione[/b]; i calcoli lo confermano[math]\Large{ \left ( \mbox{ad esempio } \frac{d}{dy}\left ( \textcolor{blue}{\frac{df}{dx} } \right )=\frac{d}{dy}\left (\textcolor{blue}{\frac{1}{2}x} \right ) = 0 \right )}[/math];[br][br]Non vi è torsione nulla anche nella [b][color=#ff0000]Funzione 2[/color][/b], di equazione [math]\Large{ z=\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{4}y^2+4}[/math]; [b]l'origine è un punto di sella che è già "denunciato" dalle derivate seconde pure: lungo gli assi si hanno due parabole di concavità opposta:[/b] [math]\Large{ \frac{d}{dx}\left ( \textcolor{blue}{\frac{df}{dx} } \right )=\frac{d}{dx}\left (\textcolor{blue}{\frac{1}{2}x} \right ) = \frac{1}{2} }[/math] e [math]\Large{ \frac{d}{dy}\left ( \textcolor{red}{\frac{df}{dy} } \right )=\frac{d}{dy}\left (\textcolor{red}{-\frac{1}{2}y} \right ) = -\frac{1} {2} }[/math] [br][b]La torsione non è presente lungo gli assi[/b] [math]\Large{ \left ( \mbox{ad esempio }\frac{d}{dy}\left ( \textcolor{blue}{\frac{df}{dx} } \right )=\frac{d}{dy}\left (\textcolor{blue}{\frac{1}{2}x} \right ) = 0 \right )}[/math], la superficie mostra che la torsione è presente ma risiede lungo altre direzioni.[br][br][br]Nella [b][color=#ff0000]Funzione 3[/color][/b], di equazione [math]\Large{ z=2xy+4}[/math]; [b]l'origine è un punto di sella ma le derivate seconde pure non lo individuano, perchè la funzione lungo gli assi è rappresentata da rette e quindi le derivate seconde sono nulle[/b] [math]\Large{ \left (\frac{d}{dx}\left ( \textcolor{blue}{\frac{df}{dx} } \right )=\frac{d}{dx}\left (\textcolor{blue}{2y} \right ) = 0 \mbox{ e } \frac{d}{dy}\left ( \textcolor{red}{\frac{df}{dy} } \right )=\frac{d}{dy}\left (\textcolor{red}{2y} \right ) = 0 \right )}[/math], mentre [b]è evidente la torsione [math]\Large{ \left ( \mbox{ad esempio }\frac{d}{dy}\left ( \textcolor{blue}{\frac{df}{dx} } \right )=\frac{d}{dy}\left (\textcolor{blue}{2y} \right ) = 2 \right )}[/math][/b].[br][br][br][b][color=#ff0000]Funzione 4[/color][/b], il paraboloide [math]\Large{ z=\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{4}y^2-2xy }[/math] . L'origine è un [b]punto di sella ANCHE SE LE DERIVATE PURE SONO ENTRAMBE POSITIVE E SEMBRANO INDICARE UN PUNTO DI MINIMO[/b][b]: lungo gli assi si hanno due parabole verso l'alto[/b] [math]\Large{ \left (\frac{d}{dx}\left ( \textcolor{blue}{\frac{df}{dx} } \right )=\frac{d}{dx}\left (\textcolor{blue}{\frac{1}{2}x} -2y\right ) = \frac{1}{2} \mbox{ e } \frac{d}{dy}\left ( \textcolor{red}{\frac{df}{dy} } \right )=\frac{d}{dy}\left (\textcolor{red}{\frac{1}{2}y-2x} \right ) = \frac{1}{2} \right )}[/math]. [br]In questo caso la sella è denunciata dalla [b]torsione[/b] [math]\Large{ \left ( \mbox{ad esempio } \frac{d}{dy}\left ( \textcolor{blue}{\frac{df}{dx} } \right )=\frac{d}{dy}\left (\textcolor{blue}{\frac{1}{2}x-2y} \right ) = -2 \right )}[/math];

[b]Dagli esempi visti possiamo concludere che per "smascherare" un punto di sella tramite la torsione della funzione, e che per questa dobbiamo fare riferimento alle derivate pure ed a quelle miste, ma nessuna delle due tipologie è sufficiente, da sola[/b]: vi sono casi in cui la torsione è individuata solo dalle derivate pure ([b][color=#ff0000]Funzione 2[/color][/b]) e casi in cui possiamo riconoscerla solo tramite quelle miste ([color=#ff0000][b]Funzione 4[/b][/color]).[br][br]Ne consegue che [b][color=#ff0000]per distinguere i punti di minimo/massimo da quelli di sella è necessario studiare una [i]combinazione delle derivate pure e di quelle miste[/i][/color][/b].[br][br]Nella prossima animazione cerchiamo di visualizzare e comprendere meglio il ruolo delle due componenti.

[size=85]Nell'animazione possiamo monitorare [b]la concavità[/b] (cioè la derivata pura, attraverso la sezione parabolica per un certo valore [math]\Large{ y_{ref} }[/math]) e [b]la torsione[/b] (cioè la derivata mista, vedendo come cambia l'inclinazione [math]\Large{ f_x }[/math]lungo [math]\Large{x }[/math] quando ci muoviamo lungo le [math]\Large{ y }[/math] cambiando [math]\Large{ y_{ref} }[/math].[br][br]Inizialmente la torsione è nulla: cambiando [math]\Large{ y_{ref} }[/math] l'inclinazione della curva ad un dato [math]\Large{ x_P }[/math] resta identica. Agendo sullo slider [math]\Large{ \textcolor{#009900}{T} }[/math] la superficie si deforma scorrendo lateralmente: le parabole (e quindi la concavità) restano uguali, ma scorrendo lungo le [math]\Large{ x }[/math] espongono un'inclinazione sempre differente man mano che ci si muove con [math]\Large{ y_{ref} }[/math]. [br][br]Si raggiunge un valore limite (nel nostro esempio con [math]\Large{ \textcolor{#009900}{T=0.5} }[/math] in cui lo scorrimento laterale crea un percorso orizzontale lungo le bisettrici; oltre a questo valore lo scorrimento "vince" sulla curvatura delle parabole e si ha una sella. [b]Abbiamo quindi una conferma che la presenza o meno di una sella è dovuta all'esito del confronto tra le derivate seconde pure (concavità) e quelle miste (torsione)[/b].[/size][br][br][size=85][size=50]NOTE: La funzione usate nell'applet è [math]\Large{ z(x,y)= \frac{1}{4}x^2+\frac{1}{4}y^2-\textcolor{#009900}{T}xy }[/math]. Puoi visualizzare il comportamento di [math]\Large{ f_y }[/math] lungo le [math]\Large{ x }[/math] attraverso lo slider [math]\Large{ f_x/f_y }[/math].[/size][/size][br]

[color=#ff0000][size=150]L'HESSIANO ED IL TEOREMA DI SCHWARZ[br][/size][/color]La teoria delle funzioni a due variabili propone di studiare i massimi ed i minimi attraverso l'algebra delle matrici, in particolare propone un termine detto Hessiano che ha la seguente espressione [br][br][math]\huge{ H(x,y) = \textcolor{blue}{f_{xx}\cdot f_{yy}} -\textcolor{red}{ f_{xy}^2}}[/math][br][br]Come si vede l'Hessiano contiene il confronto tra [color=#0000ff]derivate pure legate alla concavità[/color] e [color=#ff0000]quelle miste legate alla torsione[/color]. In particolare:[br][br][b][color=#6aa84f]HESSIANO NEGATIVO: PUNTO DI SELLA[br][/color][/b]Questo accade [br][list][*]se le [color=#0000ff]derivate pure sono discordi[/color][math]\Large{(\textcolor{blue}{f_{xx}\cdot f_{yy}} <0})[/math]: sella lungo gli assi cartesiani; [b][color=#ff0000]Funzione 2[/color][/b] dei nostri esempi[br] [/*][*][color=#0000ff]se le derivate pure sono concordi [/color][math]\Large{(\textcolor{blue}{f_{xx}\cdot f_{yy}} >0})[/math]ma [color=#ff0000]la torsione data dalle derivate miste [math]\Large{ -\textcolor{red}{ f_{xy}^2}}[/math] è più forte [/color] e crea la sella; [color=#ff0000][b]Funzione 4[/b] [/color][/*][/list][b][color=#6aa84f][br]HESSIANO POSITIVO: PUNTO DI MINIMO O DI MASSIMO[br][/color][/b][size=100]Questo accade se[/size] [color=#0000ff] le derivate pure sono concordi [/color][math]\Large{(\textcolor{blue}{f_{xx}\cdot f_{yy}} >0})[/math]e[color=#ff0000] la torsione [math]\Large{ -\textcolor{red}{ f_{xy}^2}}[/math]è assente ([b]funzione 1[/b]) o è comunque insufficiente [/color]per creare un punto di sella (visualizzatore di torsione, casi con [math]\Large{\textcolor{#009900}{T<0.5}}[/math] del nostro esempio).[br][br]Ovviamente il punto sarà di minimo o di massimo a seconda del segno delle derivate seconde pure.[br][br][b][color=#6aa84f]HESSIANO NULLO[br][/color][/b]Non è possibile determinare la natura del punto.[br][br][br][br]

[size=150][color=#ff0000]UNA SPIEGAZIONE PER L'HESSIANO[/color][/size][br]Abbiamo scoperto che la torsione è legata al confronto tra derivate pure e miste, ed abbiamo introdotto l'Hessiano che tiene traccia proprio di questo confronto. Ma non sappiamo perchè l'Hessiano abbia proprio questa forma, e come lo si ottenga. Per farlo servono teorie e calcoli piuttosto complessi. Vediamo qualche cenno per farci almeno un'idea.[br][br][color=#0000ff]L'ORIGINE DELL'HESSIANO: CENNI ALL'ALGEBRA DELLE MATRICI[/color][br]La teoria che porta alla definizione dell'Hessiano è l'algebra delle matrici; in particolare esso si ottiene come determinante di una matrice composta dalle derivate seconde della funzione nel punto di interesse:[br][br][math]\Large{ H(x,y) = \left | \begin{matrix} f_{xx} && f_{xy} \\ f_{yx} && f_{yy} \end{matrix} \right | = f_{xx}\cdot f_{yy} - f_{xy}\cdot f_{yx}}[/math][br][br]La scrittura si semplifica considerando [b]il Teorema di Schwarz[/b], che afferma che per funzioni "regolari" (con derivate miste continue nel punto studiato, condizione soddisfatta da tutte le funzioni che ci interessano) le due derivate miste sono uguali tra loro, cioè [math]\Large{ f_{xy} = f_{yx}}[/math]. Tenendo conto di ciò l'Hessiano si riduce all'espressione che abbiamo presentato.[br][br][color=#0000ff]UNA SPIEGAZIONE ALTERNATIVA: LO SVILUPPO DI TAYLOR[br][/color]Lo sviluppo di Taylor di una funzione ha come obiettivo [b]esprimere una funzione qualsiasi come un polinomio, quindi con una forma molto più semplice, che lo approssimi in modo soddisfacente almeno "nelle vicinanze" (in un intorno) di un punto che ci interessa studiare[/b]. [br][br]Il concetto alla base per ottenere questa espressione è che essa [b]è una buona approssimazione della funzione originale se riproduce le caratteristiche geometriche originali nel punto[/b], cioè [b]l'output della funzione[/b], la sua [b]inclinazione [/b](cioè la derivata prima), la sua [b]concavità [/b](derivata seconda) ed eventualmente le derivate successive. [br][br]Vediamo come si può costruire questo sviluppo nel caso di una funzione ad una sola variabile; consideriamo per semplicità di voler riprodurre l'andamento nell'origine (quindi nel punto [math]\Large{\textcolor{#009900}{x=0}}[/math]) abbiamo quindi[br][br][math]\begin{array}{|c|c|c|l|}[br]\hline[br] & \text{FUNZIONE ORIGINALE} & \text{POLINOMIO APPROSSIMANTE} & \text{Quindi...} \\[br]\hline[br]\text{espressione generica} & \Large{y=f(x)} & \Large{p(x)=a+bx+cx^2+dx^3+\dots} & \\[br]\hline[br]\text{valore nel punto} & \large{f(\textcolor{#009900}{0})} & \large{p(\textcolor{#009900}{0})=a} & \Large{a=f(\textcolor{#009900}{0})}\\[br]\hline[br]\text{derivata nel punto} & \large{f'(\textcolor{#009900}{0})} & \large{p'(x)=b+2cx+3dx^2 \dots \rightarrow p'(\textcolor{#009900}{0})=b} & \Large{b=f'(\textcolor{#009900}{0})}\\[br]\hline[br]\text{derivata seconda nel punto} & \large{f''(\textcolor{#009900}{0})} & \large{p''(x)=2c+6dx \dots \rightarrow p''(\textcolor{#009900}{0})=2c} & \large{c=\frac{1}{2}f''(\textcolor{#009900}{0})}\\[br]\hline[br]\end{array}[br][/math][br][br]L'espressione dello sviluppo di Taylor che approssima la funzione vicino a [math]\Large{\textcolor{#009900}{x=0}}[/math] diventa quindi [br][br][math]\Large{f(x) \approx p(x) = f(\textcolor{#009900}{0})+f'(\textcolor{#009900}{0})x+\frac{1}{2}f''(\textcolor{#009900}{0})x^2+\frac{1}{3!}f'''(\textcolor{#009900}{0})x^2+\dots +\frac{1}{n!}f^n(\textcolor{#009900}{0})x^n}[/math][br][br]Nella seguente animazione si può verificare come l'andamento del polinomio riproduca sempre più fedelmente quello della funzione originale man mano che si aggiungono termini con le derivate successive.

[size=85]Agendo sullo slider aggiungi al polinomio termini aggiuntivi che gli permettono di riprodurre in modo sempre più efficace il comportamento della funzione [b]vicino al punto P[/b]. Il concetto vale per qualsiasi punto [math]\Large{x_P}[/math] anche diverso dall'origine; il polinomio corrispondente si ottiene tramite una traslazione e quindi avrà potenze non più nel formato [math]\Large{x^N}[/math] bensì [math]\Large{(x-x_P)^N}[/math].[/size]

Lo stesso procedimento si può applicare per le funzioni in due variabili. Fermandoci alle derivate seconde, che sono sufficienti per approssimare l'andamento della funzione vicino al punto, otteniamo l'espressione (sempre vicino all'origine [math]\Large{O(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0})}[/math][br][br][math]\Large{f(x,y) \approx p(x,y) = f(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0}) +f_x(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0})\cdot x+f_y(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0})\cdot y + \frac{1}{2}f_{xx}(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0}) \cdot x^2 +\frac{1}{2}f_{yy}(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0})y^2 + f_{xy}(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0})xy }[/math][br][br]A noi interessano i punti potenzialmente di minimo e massimo, che sono necessariamente punti critici e quindi con le derivate prime nulle, per cui l'espressione si riduce a [br][br][math]\Large{p(x,y) = f(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0}) + \textcolor{red}{ \frac{1}{2}f_{xx}(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0}) \cdot x^2 +\frac{1}{2}f_{yy}(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0})\cdot y^2 + f_{xy}(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0})\cdot xy} }[/math][br][br]Concentriamoci sulla parte in rosso, che indica come cambia la funzione rispetto al punto di riferimento [math]\Large{(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0})}[/math]. Per studiarla meglio raccogliamo un termine [math]\Large{\frac{1}{2}}[/math] e poi ancora un termine [math]\Large{\frac{1}{f_{xx}(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0})}}[/math] (in blu per distinguerlo meglio) per mettere in evidenza un potenziale quadrato di binomio[br][br][math]\Large{\dots + \frac{1}{2\textcolor{blue}{f_{xx}(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0})}}\left [f_{xx}^\textcolor{blue}{2}(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0}) \cdot x^2 +f_{yy}(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0})\textcolor{blue}{f_{xx}(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0})}\cdot y^2 +2 f_{xy}(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0})\textcolor{blue}{f_{xx}(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0})}\cdot xy\right ] }[/math][br][br]Il primo e l'ultimo termine nella parentesi quadra possono definire un quadrato di binomio; sommiamo e sottraiamo il termine mancante, cioè [math]\large{f_{xy}^2(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0}) \cdot y^2 }[/math][br][br][math]\Large{\dots + \frac{1}{2f_{xx}(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0})}\left [\underbrace{f_{xx}^2(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0}) \cdot x^2 +2 f_{xy}(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0})f_{xx}(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0})\cdot xy+ \textcolor{red}{f_{xy}^2(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0}) \cdot y^2 }}_{(f_{xx}(0,0)x+f_{xy}(0,0)y)^2} - \textcolor{red}{f_{xy}^2(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0}) \cdot y^2 } + f_{yy}(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0})f_{xx}(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0})\cdot y^2 \right ]}[/math][br][br]Riscriviamo tutto mettendo in evidenza il quadrato di binomio e raccogliendo [math]\Large{y^2}[/math] nella seconda parte.[br][br][math]\Large{\dots + \frac{1}{2f_{xx}(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0})}\left \{ \textcolor{blue}{\left[f_{xx}(0,0)x+f_{xy}(0,0)y \right]^2} + \textcolor{red}{y^2}\underbrace{\textcolor{red}{ \left [f_{xx}(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0})f_{yy}(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0})-f_{xy}^2(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0}) \right ]}}_{H(x,y)} \right \}}[/math][br][br]Notiamo che la seconda partesi quadra è L'Hessiano [math]\Large{H(x,y)}[/math]. Riscriviamo l'intera espressione mettendolo in evidenza e giungiamo alle conclusioni finali. [br][br]Abbiamo ottenuto che il valore di una funzione vicino ad un punto critico può essere espresso da[br][br][math]\Large{p(x,y) = f(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0}) +\frac{1}{2f_{xx}(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0})}\left \{ \textcolor{blue}{\left[f_{xx}(0,0)x+f_{xy}(0,0)y \right]^2} + \textcolor{red}{y^2 H(x,y)} \right \} }[/math][br][br][color=#0000ff]Il termine blu è sempre positivo[/color]. [br][br][color=#ff0000][b]Se anche [math]\large{\textcolor{red}{H>0}}[/math] [br][/b][/color]L'intera parentesi graffa è positiva, quindi la variazione rispetto al punto di riferimento [math]\Large{f(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0})}[/math] ha [b]sempre[/b] lo stesso segno di [math]\Large{f_{xx}(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0})}[/math] [color=#ff0000][b]ed abbiamo un punto di minimo o di massimo[/b][/color]: [br][list][*]se [math]\Large{f_{xx}(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0})>0}[/math] (concavità verso l'alto) la variazione è sempre positiva quindi [math]\Large{f(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0})}[/math] è un punto di minimo, [/*][*]se [math]\Large{f_{xx}(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0})<0}[/math] (concavità verso il basso) i punti intorno a [math]\Large{f(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0})}[/math] hanno sempre un valore inferiore al suo ed è un punto di massimo.[/*][/list][br][br][color=#ff0000][b]Se[/b][/color] [math]\large{\textcolor{red}{H<0}}[/math] [br]Riusciamo a trovare due direzioni in cui la concavità è opposta: [color=#ff0000][b]c'è una sella[/b][/color][list][*]lungo l'asse [math]\Large{x\ \left (y=0 \right)}[/math] [color=#ff0000]il termine rosso si annulla[/color] e [color=#0000ff]resta quello blu[/color], che è sempre positivo: la variazione [b]ha lo stesso segno[/b] di [math]\Large{f_{xx}(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0})}[/math][/*][*]lungo la direzione [math]\large{\textcolor{blue}{f_{xx}(0,0)}x+\textcolor{blue}{f_{xy}(0,0)}y}[/math] [color=#0000ff]si annulla il termine blu[/color], e [color=#ff0000]resta quello rosso che è negativo a causa dell'Hessiano[/color]: la variazione è [b]opposta al segno[/b] di [math]\Large{f_{xx}(\textcolor{#009900}{0},\textcolor{#009900}{0})}[/math][/*][/list]