MaTeGnu Modul 1 SuS: Tierischer Einstieg
[b][color=#1551b5]Dies ist das Arbeitsbuch für Schülerinnen und Schüler zu Modul 1: Differentialrechung[/color][/b] [color=#888888]Die gemeinsame Fortbildungsinitiative [b]MaTeGnu[/b] des Ministeriums für Bildung und der Arbeitsgruppe Didaktik der Mathematik (Sekundarstufen) der Rheinland-Pfälzischen Technischen Universität Kaiserslautern-Landau (RPTU) zielt auf die fachbezogene Entwicklung von Unterrichtsqualität und digitalen Kompetenzen im Mathematikunterricht der gymnasialen Oberstufe aller allgemeinbildenden Schulen in Rheinland-Pfalz. Die beiden Schwerpunkte der Maßnahme sind Verständnisförderung durch [b]Orientierung an Grundvorstellungen[/b] sowie der [b]durchgängige Einsatz von digitalen Mathematikwerkzeugen[/b], insbesondere GeoGebra. Konkrete Leitfäden zu den Kernthemen aller Kurshalbjahre unterstützen die strukturierte Umsetzung der Fortbildungsinhalte im Unterricht.[/color] Weitere Informationen: https://mategnu.de Dieses [b]Arbeitsbuch für Schülerinnen und Schüler[/b] gehört zu [b]Modul 1[/b] und beinhaltet das Thema [b]Differentialrechnung[/b]. Schlagworte: Ableitung, lokale Änderungsrate, Tangentensteigung, Gepard
Table of Contents
- I. Numerischer Zugang
- M1.I.1 AB Einstiegsvideo Gepard
- M1.I.2 AB Geschwindigkeit des Gepards
- M1.I.2 App Gepard
- M1.I.3 AB Näherung der momentanen Geschwindigkeit
- M1.I.3 App Näherung Gepard
- *M1.I.5 AB Funktion mit Punkten modellieren
- II. Graphische Darstellung
- M1.II.7 AB Gepard im Funktionsgraphen
- M1.II.7 App Gepard Schritte Graph
- M1.II.8a AB Steigung des Funktionsgraphen
- M1.II.8a App Steigung Funktionsgraph
- M1.II.8b AB Tangente an den Graphen
- M1.II.8b App Tangente
- M1.II.9 AB Momentane Geschwindigkeit im Graphen
- M1.II.9 App Graph Tangente
- III. Ableitungsfunktion
- M1.III.10 AB Geschwindigkeitsverlauf
- M1.III.11 AB Ableitung mit Geradenstücken
- M1.III.11 App Ableitung Geradenstücke
- M1.III.12a AB Graph der Ableitung zeichnen
- M1.III.12a App Graph Ableitung Spur
- M1.III.12b AB Kontrolle Graph der Ableitung
- M1.III.12b App Graph Ableitungsfunktion
- M1.III.13 AB Ableitungsregeln erkunden
- Weiterer Unterricht
- *M1.IV.0. WDH Gepard: Von der Situation zum Graphen
- M1.IV.1 AB Lokale lineare Approximation
- M1.IV.2 App Parabel mit Tangente und Legende
- M1.IV.3 App Ableitung f(x) = x² inhaltlich
- M1.IV.4 AB Graphisches Ableiten Schritt für Schritt
- M1.IV.6 AB Lokale lineare Approximation (unstetig)
- M1.IV.7 AB Zusammenhänge zwischen den Graphen von f und f'
- M1.IV.8 AB Zusammenhänge zwischen f, f' und f''
M1.I.1 AB Einstiegsvideo Gepard
[img]https://mategnu.de/bilder/banner/Arbeitsblatt.png[/img]
[color=#095EBC][b][size=150]Der Gepard - das schnellste Landtier![/size][/b][/color][br]Im folgenden Video geht es um das schnellste Landtier, den Geparden.[br]In den folgenden Unterrichtsstunden wollen wir diesen Kontext nutzen, um uns die Bedeutung der Ableitung einer Funktion zu erschließen.[br][br]Sehen Sie sich zunächst das Video an.
Aufgabe 1
Überlegen Sie sich, welchen Zusammenhang (welche Funktion) man in diesem Kontext betrachten könnte.
Aufgabe 2
Formulieren Sie eine Fragestellung zu dem Video, die wir anschließend mathematisch untersuchen können.
Aufgabe 3
Notieren Sie sich die zur Beantwortung der Frage aus Aufgabe 1 nötigen Informationen aus dem Video.
Aufgabe 4
Notieren Sie sich auch, welche Informationen Ihnen darüber hinaus noch fehlen.
M1.II.7 AB Gepard im Funktionsgraphen
Bewegung des Gepards im Graphen
Die Bewegungsdaten des Gepards sind im Koordinatensystem der GeoGebra Rechner Suite unten als Funktionsgraph dargestellt.[br]Zusätzlich wurden verschiedene Strecken und eine Gerade eingezeichnet.[br]In der eingeblendeten Algebra-Ansicht (links) kann man die verschiedenen Befehle dazu nachvollziehen.
M1.II.7 App Gepard Schritte Graph
Aufgabe 1
Notieren Sie, wie die Achsen im Kontext des Gepards beschriftet werden müssen. [br]Erläutern Sie die Bedeutung der gestrichelten Strecken [color=#e06666][b]g[/b][/color] und[b] [color=#e06666]i[/color][/b] sowie [b][color=#3d85c6]j[/color][/b] und [color=#3d85c6][b]k[/b][/color] im Kontext.[br][br][i]Hinweis: Durch Klick auf den farbigen Kreis neben dem Befehl im Algebrafenster kann man die jeweilige Konstruktion ein- oder ausblenden.[/i]
Aufgabe 2
Entscheiden Sie, welche der folgenden Begriffe [b] "absolute Wegänderung", "absolute Zeitänderung", "mittlere Geschwindigkeit", "momentane Geschwindigkeit"[/b] zur Darstellung im Koordinatensystem passen und beschriften Sie mit dem Werkzeug [icon]/images/ggb/toolbar/mode_text.png[/icon] oder per Einstellungen die Darstellung entsprechend. [br][size=85][i](Alternativ können Sie einen Screenshot anfertigen und diesen in Ihre Unterlagen einfügen und beschriften.)[/i][/size]
Aufgabe 3
Erläutern Sie die Bedeutung der [color=#674ea7][b]lilafarbenen [/b][/color]Geraden im Kontext des Gepards.
Aufgabe 4
Verschieben Sie zunächst den Punkt [b]P [/b]und beobachten Sie die Veränderungen. Variieren Sie dann [b]h[/b] mit dem Schieberegler und beobachten Sie erneut. Interpretieren Sie Ihre Beobachtungen im Kontext.[br]Ein Begriff aus Aufgabe 2 ließ sich nicht zuordnen. Begründen Sie mithilfe des Schiebereglers, warum.
[i][u]Quellen: [/u][br]Das Applet wurde erstellt von Susanne Digel.[/i]
M1.III.10 AB Geschwindigkeitsverlauf
Im vorherigen Kapitel haben Sie herausgearbeitet, dass die momentane Geschwindigkeit des Gepards nicht konstant ist. Sie ändert sich mit der Zeit. [br]Nun stellt sich die Frage nach dem Zusammenhang - welche Funktionsgleichung beschreibt die [b]Geschwindigkeit als Funktion der Zeit[/b]?
Aufgabe 1
Nähern Sie entweder[br]a) numerisch mit dem [i]Applet M1.I.3 App Näherung Gepard[/i] unten (aus [url=https://www.geogebra.org/m/cxcswcs3#material/yfxh3pts][color=#095EBC]M1.I.3 AB Näherung der momentanen Geschwindigkeit[/color][/url]) oder[br]b) graphisch mit dem [i]Applet [i]M.II.9 App Steigung Funktionsgraph[/i][/i] unten (aus [url=https://www.geogebra.org/m/cxcswcs3#material/wmfjmtcw][color=#095EBC]M1.II.9 AB Steigung des Funktionsgraphen[/color][/url]) [br][br]die [b]momentane [/b]Geschwindigkeit des Gepards zu verschiedenen Zeitpunkten. Notieren Sie mindestens 6 Wertepaare.
M1.I.3 App Näherung Gepard
[b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][color=#095EBC] Bedienungshinweise zum Applet [/color][/size][/b][br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Mit dem [color=#6aa84f][b]grünen Schieberegler[/b][/color] lässt sich die [color=#6aa84f][b]Zeit x[/b][/color] einstellen. [br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Mit dem [color=#ff0000][b]roten Schieberegler[/b][/color] lässt sich der [color=#ff0000][b]ZeitPUNKT x[sub]0[/sub][/b][/color] einstellen, zu dem Sie [br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] die momentane Geschwindgkeit annähern möchten. [br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Bei [b][color=#0000ff] f(x)[/color][/b] können Sie den insgesamt [b][color=#0000ff]zurückgelegten Weg[/color][/b] (zur [color=#6aa84f][b]Zeit x[/b][/color]) ablesen. [br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b][br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Setzen Sie ein Häkchen bei [b][color=#ff0000]Berechnung der mittleren ...[/color][/b], so erscheint der Differenzenquotient. [br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Der [b]Differenzenquotient verschwindet[/b] wenn die ZeitPUNKTE [color=#6aa84f][b]x[/b][/color] und [color=#ff0000][b]x[sub]0[/sub][/b][/color] gleich sind! - Warum?[br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Im Zähler des Differenzenquotienten steht ein Eingabefeld für den [color=#0000ff][b]zurückgelegten Weg f(x)[/b][/color].[br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] In GeoGebra müssen Sie Dezimalzahlen mit [b]Punkt statt Komma[/b] eingeben und die Eingabe [br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] mit Enter (Return) abschließen.[br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Sobald Sie den Wert [b]korrekt [/b]eingegeben haben, verschwindet das Eingabefeld [br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] und die [b]mittlere Geschwindigkeit wird berechnet[/b]. [br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b][br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Setzen Sie ein Häkchen bei [b][color=#666666]Genauigkeit einstellen[/color][/b], so erscheint ein neuer Schieberegler, mit [br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] dem Sie die zeitliche Auflösung der Bewegung des Gepards in der Simulation einstellen können.[br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Klick oben rechts im Applet auf [img]https://mategnu.de/bilder/ggb/neu_laden.jpg[/img], setzt das Applet auf seinen Ausgangszustand zurück. [br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Klick unten rechts im Applet auf [img]https://mategnu.de/bilder/ggb/vollbild.jpg[/img], stellt das Applet im Vollbild dar.[br]
M1.II.9 App Graph Tangente
[b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] [b][color=#095EBC][size=150]Nutzungshinweise zum Applet[/size][/color][/b][br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Setzen Sie Häkchen in den Kästchen, um die jeweiligen Objekte im Graphen einzuzeichnen.[br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Die [color=#E31B4C][b]roten[/b][/color] Punkte lassen sich entlang der x-Achse verschieben.[br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Mit den schwarzen Schaltflächen [img]https://juergen-roth.de/images/icons/jr/Schaltflaeche_1.png[/img] lässt sich die Funktionsgleichung ändern. [br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Im Eingabefeld oben rechts kann ein beliebiger Funktionsterm eingegeben werden.[br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] [br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Klicken oben rechts im Applet auf [img]https://dms.nuw.rptu.de/mategnu/bilder/ggb/neu_laden.jpg[/img] setzt das Applet auf den Ausgangszustand zurück. [br][b][size=150][color=#E31B4C]||[/color][/size][/b] Wenn man unten rechts im Applet auf [img]https://dms.nuw.rptu.de/mategnu/bilder/ggb/vollbild.jpg[/img] klickt, wird das Applet im Vollbild dargestellt.[br]
Aufgabe 2
Modellieren Sie nun mithilfe der Wertepaare eine Funktion f(x) als Geschwindigkeit(Zeit).[br]Geben Sie dazu die Wertepaare als Punkte in der [i]GeoGebra Rechner Suite[/i] unten ein.[br]Nutzen Sie dann einen allgemeinen Funktionsansatz (mit Schiebereglern) oder die Funktion TrendPoly(), um eine Funktionsgleichung zu modellieren (Details dazu im [img]https://mategnu.de/bilder/icons/Werkzeug_30.jpg[/img] [url=https://www.geogebra.org/m/cxcswcs3#material/wqjyfb8y]M1.I.5 AB Funktion mit Punkten modellieren[/url]. Notieren Sie anschließend die Funktionsgleichung.
GeoGebra Rechner Suite
*M1.IV.0. WDH Gepard: Von der Situation zum Graphen
[img]https://mategnu.de/bilder/banner/Arbeitsblatt_LK.png[/img]
[color=#1155cc][b][size=150]Hinweise zum GeoGebra-Applet Wdh Graph Gepard[/size][/b] [/color][br]In der Simulation ist der Graph der Weg(Zeit)-Funktion des Gepards dargestellt. [br]Mit den V[i]orwärts-Rückwärts-Tasten[/i] unter dem Koordinatensystem können Sie die Konstruktion Schritt für Schritt nachvollziehen. [br][br][size=150][b][color=#1155cc]Arbeitsauftrag[/color][/b][/size][br]Bearbeiten Sie die untenstehenden Aufgaben mithilfe der Simulation.
Aufgabe 1
Begründen Sie warum der Graph für x-Werte kleiner 0 und größer 8 gestrichelt dargestellt ist.
Aufgabe 2
Arbeiten Sie die Simulation Schritt für Schritt durch und beschreiben Sie, was in den einzelnen Schritten mathematisch dargestellt ist.
Aufgabe 3
Verändern Sie den Wert von a durch den Schieberegler. Beschreiben Sie was der Schieberegler beeinflusst.
Aufgabe 4
Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit im Intervall [2s;6s] mithilfe der Simulation.
Aufgabe 5
Wie könnte der Graph des Laufs eines anderen Geparden (von 0s bis 5s) aussehen, der dieselbe Durchschnittsgeschwindigkeit hat wie unser Gepard? Zeichnen Sie den Graph mit dem Stift-Werkzeug [icon]/images/ggb/toolbar/mode_freehandshape.png[/icon] ein und beschreiben Sie kurz Ihre Überlegungen dazu.
[i][u]Quellen: [/u][br]Diese Aktivität wurde adaptiert aus der Aktivität "Applet zur algebraische Bestimmung der Geschwindigkeit" ([url=https://www.geogebra.org/m/fqtfrs2w]https://www.geogebra.org/m/fqtfrs2w[/url]).[br]Quellenautoren: Susanne Digel adaptiert aus dem Kurs "[url=https://lms.bildung-rp.de/demo/login/index.php]Mit Vollgas in die Differentialrechnung[/url]" entwickelt vom AK MSS der RPTU in Landau.[/i]