MaTeGnu Modul 1 SuS: Tierischer Einstieg
[b][color=#1551b5]Dies ist das Arbeitsbuch für Schülerinnen und Schüler zu Modul 1: Differentialrechung[/color][/b] [color=#888888]Die gemeinsame Fortbildungsinitiative [b]MaTeGnu[/b] des Ministeriums für Bildung und der Arbeitsgruppe Didaktik der Mathematik (Sekundarstufen) der Rheinland-Pfälzischen Technischen Universität Kaiserslautern-Landau (RPTU) zielt auf die fachbezogene Entwicklung von Unterrichtsqualität und digitalen Kompetenzen im Mathematikunterricht der gymnasialen Oberstufe aller allgemeinbildenden Schulen in Rheinland-Pfalz. Die beiden Schwerpunkte der Maßnahme sind Verständnisförderung durch [b]Orientierung an Grundvorstellungen[/b] sowie der [b]durchgängige Einsatz von digitalen Mathematikwerkzeugen[/b], insbesondere GeoGebra. Konkrete Leitfäden zu den Kernthemen aller Kurshalbjahre unterstützen die strukturierte Umsetzung der Fortbildungsinhalte im Unterricht.[/color] Weitere Informationen: https://mategnu.de Dieses [b]Arbeitsbuch für Schülerinnen und Schüler[/b] gehört zu [b]Modul 1[/b] und beinhaltet das Thema [b]Differentialrechnung[/b]. Schlagworte: Ableitung, lokale Änderungsrate, Tangentensteigung, Gepard
Table of Contents
- I. Numerischer Zugang
- M1.I.1 AB Einstiegsvideo Gepard
- M1.I.2 AB Geschwindigkeit des Gepards
- M1.I.2 App Gepard
- M1.I.3 AB Näherung der momentanen Geschwindigkeit
- M1.I.3 App Näherung Gepard
- *M1.I.5 AB Funktion mit Punkten modellieren
- II. Graphische Darstellung
- M1.II.7 AB Gepard im Funktionsgraphen
- M1.II.7 App Gepard Schritte Graph
- M1.II.8a AB Steigung des Funktionsgraphen
- M1.II.8a App Steigung Funktionsgraph
- M1.II.8b AB Tangente an den Graphen
- M1.II.8b App Tangente
- M1.II.9 AB Momentane Geschwindigkeit im Graphen
- M1.II.9 App Graph Tangente
- III. Ableitungsfunktion
- M1.III.11 AB Ableitung mit Geradenstücken
- M1.III.11 App Ableitung Geradenstücke
- M1.III.12a AB Graph der Ableitung zeichnen
- M1.III.12a App Graph Ableitung Spur
- M1.III.12b AB Kontrolle Graph der Ableitung
- M1.III.12b App Graph Ableitungsfunktion
- M1.III.13 AB Ableitungsregeln erkunden
- Weiterer Unterricht
- *M1.IV.0. WDH Gepard: Von der Situation zum Graphen
- M1.IV.1 AB Lokale lineare Approximation
- M1.IV.2 App Parabel mit Tangente und Legende
- M1.IV.3 App Ableitung f(x) = x² inhaltlich
- M1.IV.4 AB Graphisches Ableiten Schritt für Schritt
- M1.IV.6 AB Lokale lineare Approximation (unstetig)
- M1.IV.7 AB Zusammenhänge zwischen den Graphen von f und f'
- M1.IV.8 AB Zusammenhänge zwischen f, f' und f''
M1.I.1 AB Einstiegsvideo Gepard
[img]https://mategnu.de/bilder/banner/Arbeitsblatt.png[/img]
[color=#095EBC][b][size=150]Der Gepard - das schnellste Landtier![/size][/b][/color][br]Im folgenden Video geht es um das schnellste Landtier, den Geparden.[br]In den folgenden Unterrichtsstunden wollen wir diesen Kontext nutzen, um uns die Bedeutung der Ableitung einer Funktion zu erschließen.[br][br]Sehen Sie sich zunächst das Video an.
Aufgabe 1
Überlegen Sie sich, welchen Zusammenhang (welche Funktion) man in diesem Kontext betrachten könnte.
Aufgabe 2
Formulieren Sie eine Fragestellung zu dem Video, die wir anschließend mathematisch untersuchen können.
Aufgabe 3
Notieren Sie sich die zur Beantwortung der Frage aus Aufgabe 1 nötigen Informationen aus dem Video.
Aufgabe 4
Notieren Sie sich auch, welche Informationen Ihnen darüber hinaus noch fehlen.
M1.II.7 AB Gepard im Funktionsgraphen
Bewegung des Gepards im Graphen
Die Bewegungsdaten des Gepards sind im Koordinatensystem der GeoGebra Rechner Suite unten als Funktionsgraph dargestellt.[br]Zusätzlich wurden verschiedene Strecken und eine Gerade eingezeichnet.[br]In der eingeblendeten Algebra-Ansicht (links) kann man die verschiedenen Befehle dazu nachvollziehen.
M1.II.7 App Gepard Schritte Graph
Aufgabe 1
Notieren Sie, wie die Achsen im Kontext des Gepards beschriftet werden müssen. [br]Erläutern Sie die Bedeutung der (durchgezogenen) Strecken [color=#e06666][b]l[/b][/color] und [color=#3d85c6][b]m[/b][/color] im Kontext.[br][br][i]Hinweis: Durch Klick auf den farbigen Kreis neben dem Befehl im Algebrafenster kann man die jeweilige Konstruktion ein- oder ausblenden.[/i]
Aufgabe 2
Entscheiden Sie, welche der folgenden Begriffe [b] "absolute Wegänderung", "absolute Zeitänderung", "mittlere Geschwindigkeit", "momentane Geschwindigkeit"[/b] zur Darstellung im Koordinatensystem passen und beschriften Sie mit dem Werkzeug [icon]/images/ggb/toolbar/mode_text.png[/icon] oder per Einstellungen die Darstellung entsprechend. [br][size=85][i](Alternativ können Sie einen Screenshot anfertigen und diesen in Ihre Unterlagen einfügen und beschriften.)[/i][/size]
Aufgabe 3
Erläutern Sie die Bedeutung der [color=#674ea7][b]lilafarbenen [/b][/color]Geraden im Kontext des Gepards.
Aufgabe 4
Verschieben Sie zunächst den Punkt [b]P [/b]und beobachten Sie die Veränderungen. Variieren Sie dann [b]h[/b] mit dem Schieberegler und beobachten Sie erneut. Interpretieren Sie Ihre Beobachtungen im Kontext.[br]Ein Begriff aus Aufgabe 2 ließ sich nicht zuordnen. Begründen Sie mithilfe des Schiebereglers, warum.
[i][u]Quellen: [/u][br]Das Applet wurde erstellt von Susanne Digel.[/i]
M1.III.11 AB Ableitung mit Geradenstücken
In diesem Arbeitsblatt ermitteln Sie die Ableitung einer Funktion anhand des Graphen. [br][br][size=150][b][color=#1155cc]Bedienungshinweise für die Applets: [/color][/b][/size][br][list][*]Wenn man die kleinen Geradenstückchen an den [b][color=#38761d]grünen [/color][/b]Endpunkten bewegt, bewegen sich auch die kleinen [color=#900000][b]roten [/b][/color]Quadrate.[/*][*]Die x-Werte der roten Quadrate bleiben gleich, sie stimmen mit den x-Werten der [color=#ff7700][b]orangenen [/b][/color]Punkte auf dem Graphen überein.[/*][*]Ist ein Geradenstückchen waagerecht, liegt das rote Quadrat auf der x-Achse.[/*][*]Das individuelle Werkzeug [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_tool.png[/icon] erzeugt ein weiteres drehbares Geradenstückchen. [br][b]Vorgehen mit dem Werkzeug[/b]:[list][*]Wählen Sie die Schaltfläche [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_tool.png[/icon] aus.[/*][*]Klicken Sie auf den blauen Funktionsgraph, so dass dieser ausgewählt ist.[/*][*]Klicken Sie erneut an der Stelle auf den blauen Funktionsgraph, an dem das Geradenstückchen entstehen soll. Dadurch wird dort ein [color=#1155cc]blauer Punkt[/color] auf den Funktionsgraph gesetzt.[/*][*]Klicken Sie auf den Funktionsgraph, so dass dieser ausgewählt ist.[/*][*]Klicken Sie auf den unter [b][color=#1155cc]c)[/color][/b] erzeugten [color=#1155cc]blauen Punkt[/color].[/*][*]Nun erscheinen das gewünschte Geradenstückchen und das passende rote Quadrat.[/*][/list][/*][/list]
Aufgabe 1
[b][color=#1155cc]a)[/color][/b] Erkunden Sie die Konstruktion in [i]Applet Beispiel 1[/i] und beschreiben Sie, wie die Bewegung [br] der roten Quadrate mit der Ausrichtung der Geradenstückchen zusammenhängt.
M1.III.11 App Beispiel 1
[b][color=#1155cc]b)[/color][/b] Verändern Sie die Lage der Geradenstückchen so, dass sie sich möglichst gut an den [br] Funktionsgraphen anschmiegen. [br] Nutzen Sie dann den Stift [img]data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAACgAAAAoCAYAAACM/rhtAAAABHNCSVQICAgIfAhkiAAAAhZJREFUWEft2buKwkAUBuCTEPGGqGgr6guKhTZqYWNlL/heChZ2Wlp4QbxiNv/AhGzI7oxxZpKFPeCyMTL58s8kcc9a1+vVJa/u9zsdj0fytrGZWOVyOSqXy5TJZJjBwY/9fs9g9XqdstksOQ5723g9n0+63W602+2oWCxSqVQiB8kB12g0yLZt46jgAREMXvl8njabDSFN+3A4sOSSxgWhsMCEmbURKcRpKyw12Nicpik9HhS/DpJddBLT9g/kIc3nc7Isi4bDoURugY+s12tXd00mEzwM/Fe325U6JGykGzgej7/hOLTT6QiRRoCLxcKt1WqRyF6v9ytSK3A6nbrb7ZYBlstlJLJarSYDHAwGLLFWq+Ujo5Ls9/vmgZi24AXRbDZ95Gq1cr1HGNuPkxCV8ikejUaRa63dbrvew9+f7tlsJrKx/UqB4eSCKeL3YJJSOpVAvubCqPC2bHL8BJQkKEqOI3FVv1sfA3XiPl6DunEfAU3gYgNN4WIBTeLeBprGvQVMAicN/On7XPgmHOc+J7ovSt0Hw5CobR046QSjQMH3dOGUAHXiODD2n50ejryLxwtTb8UCmsLh1IV9Ni9qvREJRo+VoGBMpbv/BvD1eik9axWDoduKstGHu1wuKsZUOgZ6g4VCgWw0rNETTlOKsMCEHrWFLv/pdKLz+ZzKJjoDYm4ejwfrCSPaJAtLrlKp+P+G+AIJu2JKVukkvgAAAABJRU5ErkJggg==[/img] um einen Funktionsgraphen zu skizzieren, der möglichst [br] gut zu den roten Quadraten passt. Welche Zusammenhänge beobachten Sie?
Aufgabe 2
Gehen Sie wie in [b][color=#1155cc]Aufgabe 1[/color][/b] auch bei den [i]Applets Beispiel 2 und 3[/i] unten vor.[br]Stellen Sie Vermutungen zu allen drei Steigungsgraphen und deren Funktionstermen an.
M1.III.11 App Beispiel 2
M1.III.11 App Beispiel 3
Aufgabe 3
Überprüfen Sie Ihre Graphen der Ableitung in den drei [i]Applets Beispiel 1, 2 und 3[/i], indem Sie die Ableitung an weiteren Stellen mit Geradenstückchen überprüfen. [br]Gehen Sie dazu wie folgt vor:[br][b][color=#1155cc]1.[/color][/b] Erstellen Sie mithilfe des individuellen Werkzeugs [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_tool.png[/icon] ein weiteres drehbares Geradenstückchen. [br] Das passende rote Quadrat wird automatisch erzeugt.[br][br][color=#1155cc] Gehen Sie dabei wie folgt vor:[/color][br][b][color=#1155cc] a)[/color][/b] Wählen Sie das individuelle Werkzeug [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_tool.png[/icon] aus.[br][b][color=#1155cc] b)[/color][/b] Klicken Sie auf den blauen Funktionsgraphen, so dass dieser ausgewählt ist.[br][b][color=#1155cc] c)[/color][/b] Klicken Sie erneut an der Stelle auf den blauen Funktionsgraphen, an dem das Geradenstückchen[br] entstehen soll. Dadurch wird dort ein [color=#1155cc]blauer Punkt[/color] auf den Funktionsgraphen gesetzt.[br][b][color=#1155cc] d)[/color][/b] Klicken Sie auf den Funktionsgraphen, so dass dieser ausgewählt ist.[br][b][color=#1155cc] e)[/color][/b] Klicken Sie auf den unter [b][color=#1155cc]c)[/color][/b] erzeugten [color=#1155cc]blauen Punkt[/color]. [br] Nun erscheinen das gewünschte Geradenstückchen und das passende rote Quadrat.[br] [br][b][color=#1155cc]2.[/color][/b] Richten Sie das Geradenstückchen so aus, dass es "möglichst gut" an den Graphen von f passt.[br][b][color=#1155cc]3.[/color][/b] Überprüfen Sie, ob das rote Quadrat auf dem von Ihnen gezeichneten Graphen liegt.[br][color=#1155cc][b]4.[/b][/color] Bewegen Sie den im ersten Schritt erzeugten [color=#1155cc]blauen Punkt[/color] auf dem Graphen entlang und [br] überprüfen Sie die Lage des roten Quadrats, ob es auf Ihrem gezeichneten Graphen liegt.[br][br]
Aufgabe 4
Geben Sie im [color=#095EBC]Applet M1.III.11 App Ableitung Geradenstücke[/color] unten eine andere Funktionsgleichung in der Eingabezeile ein (z.B. [math]f(x)=0,25 \cdot x^4-x^2[/math]). [br]Passen Sie die Geradenstücke an und Skizzieren Sie anschließend einen Graphen durch die roten Quadrate, wie in den [b][color=#1155cc]Aufgaben 1[/color][/b] und [b][color=#1155cc]2[/color][/b].
M1.III.11 App Ableitung Geradenstücke
[i][i][u]Quellen: [/u][br]Diese und weitere Aktivitäten finden sich im GeoGebra-Buch [i]Tangentenstückchen ::: Unterricht mit MMS [/i]([url=https://www.geogebra.org/m/tmsfvvpv][i]https://www.geogebra.org/m/tmsfvvpv[/i][/url]).[br]Quellenautoren: [/i]Reinhard Schmidt[br][/i]
*M1.IV.0. WDH Gepard: Von der Situation zum Graphen
[img]https://mategnu.de/bilder/banner/Arbeitsblatt_LK.png[/img]
[color=#1155cc][b][size=150]Hinweise zum GeoGebra-Applet Wdh Graph Gepard[/size][/b] [/color][br]In der Simulation ist der Graph der Weg(Zeit)-Funktion des Gepards dargestellt. [br]Mit den V[i]orwärts-Rückwärts-Tasten[/i] unter dem Koordinatensystem können Sie die Konstruktion Schritt für Schritt nachvollziehen. [br][br][size=150][b][color=#1155cc]Arbeitsauftrag[/color][/b][/size][br]Bearbeiten Sie die untenstehenden Aufgaben mithilfe der Simulation.
Aufgabe 1
Begründen Sie warum der Graph für x-Werte kleiner 0 und größer 8 gestrichelt dargestellt ist.
Aufgabe 2
Arbeiten Sie die Simulation Schritt für Schritt durch und beschreiben Sie, was in den einzelnen Schritten mathematisch dargestellt ist.
Aufgabe 3
Verändern Sie den Wert von a durch den Schieberegler. Beschreiben Sie was der Schieberegler beeinflusst.
Aufgabe 4
Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit im Intervall [2s;6s] mithilfe der Simulation.
Aufgabe 5
Wie könnte der Graph des Laufs eines anderen Geparden (von 0s bis 5s) aussehen, der dieselbe Durchschnittsgeschwindigkeit hat wie unser Gepard? Zeichnen Sie den Graph mit dem Stift-Werkzeug [icon]/images/ggb/toolbar/mode_freehandshape.png[/icon] ein und beschreiben Sie kurz Ihre Überlegungen dazu.
[i][u]Quellen: [/u][br]Diese Aktivität wurde adaptiert aus der Aktivität "Applet zur algebraische Bestimmung der Geschwindigkeit" ([url=https://www.geogebra.org/m/fqtfrs2w]https://www.geogebra.org/m/fqtfrs2w[/url]).[br]Quellenautoren: Susanne Digel adaptiert aus dem Kurs "[url=https://lms.bildung-rp.de/demo/login/index.php]Mit Vollgas in die Differentialrechnung[/url]" entwickelt vom AK MSS der RPTU in Landau.[/i]