L'app di seguito visualizza il grafico della funzione esponenziale [math]f\left(x\right)=3\cdot2^x[/math] per [math]x\ge0[/math].[br]L'ordinata del punto rosso nel grafico è [math]f\left(0\right)[/math].[br]Utilizza lo slider per mostrare i punti ad ascissa intera e ordinata [math]f\left(x\right)[/math], e visualizzane le coordinate nella tabella sotto al grafico (i valori sono approssimati a 2 cifre decimali).[br][br]Trascina lo slider al valore massimo, e osserva la tabella di valori.[br]Noti qualcosa in particolare?[br][i]Ogni termine è il prodotto del termine precedente per [/i]2![br]Formalizzando, diremo che [math]f\left(1\right)=2\cdot f\left(0\right)[/math], [math]f\left(2\right)=2\cdot f\left(1\right)[/math], e così via.[br][br][b]Nota[/b]: Puoi modificare la funzione in ogni istante, trascinando i due punti su di essa. Esplora la relazione che intercorre tra due termini consecutivi della successione di valori, e confrontala con l'espressione della funzione.[br]

Abbiamo ora una formula ricorsiva che mostra la relazione tra due valori assunti della funzione in due punti che distano 1 unità uno dall'altro:[br][center][math]f\left(n+1\right)=2\cdot f\left(n\right)[/math].[br][/center]Possiamo leggere la formula come "[i]la funzione esponenziale data cresce in modo proporzionale (moltiplicativo) di[/i] 2 [i]unità in ogni intervallo di lunghezza [/i]1 [i]unità[/i]".

L'esempio che abbiamo esaminato per ragionare sul tasso di crescita di una funzione esponenziale è la restrizione di una funzione esponenziale di base [math]b>1[/math] per [math]x\ge0[/math], e abbiamo considerato valori interi della [i]x[/i] per semplificare il ragionamento, ma tali considerazioni valgono per ogni [math]x\in\mathbb{R}[/math].[br][br]Generalizzando la formula ottenuta in precedenza per ogni funzione esponenziale del tipo [math]f\left(x\right)=ab^x[/math] con [math]b>1[/math], possiamo dire che queste funzioni crescono proporzionalmente (moltiplicativamente) di [math]b[/math] unità in ogni intervallo di lunghezza 1 unità.[br][br]Inoltre, esse crescono proporzionalmente di una quantità [math]b^{\ell}[/math] in ogni intervallo di lunghezza [math]\ell[/math].[br][i]Dimostrazione[/i]: [math]f\left(x+l\right)=ab^{x+\ell}=ab^x\cdot b^{\ell}=f\left(x\right)\cdot b^{\ell}[/math][br][br]Se 0<[i]b[/i]<1, avremo un decadimento esponenziale, e il grafico della funzione sarà decrescente, ma le proprietà generali rimangono le stesse. Utilizza l'applet qui sopra per creare grafici che rappresentano un decadimento esponenziale, e osserva le tabelle di valori.[br][br][center][b][i]Funzioni esponenziali[/i] → [i]Crescita moltiplicativa (proporzionale)[/i][/b][/center]