Im Mathematikbuch "Neue Wege", Schroedel-Verlag, Band 11/12 (Oberstufe), Ausgabe Niedersachen (Druck A1, 2012), wird die Kettenlinie [b]richtig[/b] definiert durch die Funktion[br][math]K_k(x)=\frac{1}{2k}\cdot\left(e^{kx} + e^{-kx}\right)[/math][br]Auf der Folgeseite gibt es dann folgende Projektaufgabe:

[quote]Finden Sie geeignete Parameterwerte für a, b und c, so dass die Kettenlinie gut zu der abgebildeten Kette passt. Benutzen Sie die Kettenlinie in folgender Darstellung:[br][math]K(x)=\frac{1}{a}\left(e^{bx}+e^{-bx}\right)+c[/math][/quote]Auch hier wird wieder suggeriert, man könne bei einer Kettenlinie die Parameter [b]a[/b] und [b]b[/b] unabhängig voneinander varieren.[br]In Anlehnung an die Definition der Funktion für die Kettenlinie hätte die Funktion hier in der Form[br][math]K(x)=\frac{1}{2b}\left(e^{bx}+e^{-bx}\right)+c[/math][br]dargestellt werden sollen, denn tatsächlich sind nur die [b][i]zwei [/i][/b]Parameter [b]b[/b] und [b]c[/b] herauszufinden, wobei b die Form der Kettenlinie bestimmt und c die Position derart korrigiert, dass sie durch den Punkt (0|1) verläuft.[br]

Noch ein paar Seiten weiter folgt dann diese Aufgabe:[br][quote]a)[br]Die Brücke, das Absperrseil und der Gateway Arch sollen durch passende Funktionsgraphen beschrieben werden. Dazu werden folgende Punkte ausgelesen bzw. ist folgendes bekannt:[br](1) Brücke: A(-10|3), B(0|1), C(10|3)[br](2) Absperrseil: A(-2|2,4), B(0|1), C(2,2,4)[br](3) Gateway Arch: 192m breit, 192m hoch[br]Finden Sie jeweils eine passende Funktion zu den beiden Funktionstypen[br](A) p(x)=ax²+b (B) K(x)=ke[sup]ax[/sup]+ke[sup]-ax[/sup][/quote][br]Mit der Parabel bei der Golden Gate Bridge ist das kein Problem, anders bei den Kettenlinien in (2) und (3).[br][br](2) Absperrseil:[br]Es ist anzunehmen, dass die Autoren des Buches davon ausgehen, dass die Funktion (B) für die Absperrkette anzupassen ist. Die Punkte B und C sollen auf der Kettenlinie liegen, d.h.[br](I) 1 = k e[sup]a·0[/sup] + k e[sup]-a·0[/sup], weil B(0|1) auf der Kettenlinie liegt.[br](II) 2,4 = k e[sup]a·2[/sup] + k e[sup]-a·2[/sup], weil C(2|2,4) auf der Kettenlinie liegt.[br][br]Aus (I) folgt[br]1 = k e[sup]0[/sup] + k e[sup]0[/sup] [math]\Leftrightarrow[/math] 1 = k + k, also [b]k = 0,5[/b].[br]Aus (II) folgt dann[br]2,4 = 0,5·e[sup]2a[/sup] + 0,5·e[sup]-2a[/sup] [math]\Leftrightarrow[/math] 4,8 = e[sup]2a[/sup] + e[sup]-2a[/sup][br]Beide Seiten der Gleichung werden mit e[sup]2a[/sup] multipliziert:[br]4,8·e[sup]2a[/sup] = (e[sup]2a[/sup])² + 1 [math]\Leftrightarrow[/math] (e[sup]2a[/sup])² - 4,8·e[sup]2a[/sup] + 1 = 0[br]Die quadratische Gleichung für e[sup]2a[/sup] hat die Lösungen[br]e[sup]2a[/sup] = 2,4 ± √(4,76) [math]\Leftrightarrow[/math] a = 0,5·ln(2,4 ± √(4,76))[br]Die Lösungen für a sind dann [br][b]a ≈ 0,761[/b] und [b]a ≈ -0,761[/b][br]Unabhängig vom Vorzeichen ergibt sich für beide Werte dieselbe Funktion K(x).[br]Aber:[br]Die Funktion K(x) = 0,5·e[sup]0,761·x[/sup] + 0,5·e[sup]-0,761·x[/sup] widerspricht der Kettenlinien-Definition vom Anfang des Kapitels. Der Graph sieht einer Kettenlinie zwar ziemlich ähnlich, aber mathematisch ist dies [b]keine Kettenlinie[/b].[br][br]Ein korrekter Lösungsweg wäre mit dem Ansatz[br][math]f(x) = \frac{1}{2a}\cdot \left( e^{a\cdot x}+e^{-a\cdot x}\right)+ c[/math] möglich.[br](I) [math]1 = \frac{1}{2a}\left(e^{a\cdot 0} + e^{-a\cdot 0}\right) + c \Leftrightarrow 1 = \frac{1}{2a}\cdot(1+1) +c \Leftrightarrow c=1-\frac{1}{a}[/math], weil B(0|1) auf der Kettenlinie liegt.[br](II) [math]2,4 = \frac{1}{2a}\left(e^{a\cdot 2}+e^{-a\cdot 2}\right)+ \left( 1 - \frac{1}{a} \right) \Leftrightarrow 1,4 = \frac{1}{2a}\left(e^{2a}+e^{-2a}\right) - \frac{1}{a}[/math], weil C(2|2,4) auf der Kettenlinie liegt. [br][math]\Leftrightarrow\frac{1}{2} \left( e^{2a}+e^{-2a} \right) - 1,4 a - 1 = 0[/math][br]Die letzte Gleichung ist eine transzendente Gleichung, die nicht nach [math]a[/math] aufgelöst werden kann. Das Computer Algebra System (CAS) von GeoGebra kann die Gleichung lösen, es ergibt sich [br][b]a ≈ 0,61744[/b] und damit [b]c ≈ -0,6159[/b]

Offensichtlich ist der Unterschied zwischen der Kettenline f(x) und der Kurve K(x) nur gering.[br]Aber wenn es in der Aufgabenstellung um die Mathematik der Kettenlinie gehen soll, dann muss man doch einen Ansatz für eine Kettenlinie formulieren, also z.B.[br][b]K(x)=1/(2a)·(e[sup]ax[/sup] + e[sup]-ax[/sup]) + c[/b] oder [br][b]K(x)=1/a ·cosh(ax) + c[/b]