Chaque semaine un agriculteur propose en vente directe à chacun de ses clients un panier de produits frais qui contient une seule bouteille de jus de fruits en verre, qu'il demande de rapporter une fois vide. On suppose que le nombre de clients reste constant. Une étude statistique a donné les résultats suivants:[br]-à l'issue de la première semaine, la probabilité qu'un client rapporte la bouteille de son panier est 0,9.[br]-si le client a rapporté la bouteille de son panier une semaine alors la probabilité qu'il ramène la bouteille de son panier la semaine suivante est 0,95.[br]-si le client n'a pas rapporté la bouteille de son panier une semaine, alors la probabilité qu'il ramène la bouteille de son panier la semaine suivante est 0,2.[br]On choisit au hasard un client parmi la clientèle de l'agriculteur. Pour tout entier n non nul, on note Rn l'évènement "le client rapporte la bouteille de son panier de la nième semaine".[br]On note [math]r_n=p\left(R_n\right)[/math][br]Construire un arbre de probabilité passant de l'étape n à l'étape n+1.[br][br]Prouver en plusieurs étapes que [br][math]r_{n+1}=0,75\cdot r_n+0,2[/math][br]En utilisant une suite auxiliaire trouver l'écriture explicite de [math]r_n[/math] puis[br]sa limite.[br]Interpréter ce résultat[br]Déterminer le nombre de semaines nécessaires pour que la probabilité soit inférieure à 0,801.