Intuitiv modellieren mit dem KUMULATOR (MNU)

H.-J. Elschenbroich. GeoGebra Institut NRW, Jul 16, 2016

Dateien zum Artikel H.-J. Elschenbroich & G. Seebach: Intuitiv modellieren mit dem Kumulator. [url]https://www.geogebra.org/m/eryjycp4[/url] MNU journal 4/2020

Table of Contents

  1. Einführung
    1. Schule oder Hochschule?
    2. Modellbildung und Simulation dynamischer Systeme
    3. Der Kumulator - Die Idee
    4. Und die Parameter?
  2. I Wachstumsprozesse mit einem Zustand
    1. Typisches Wachstum
    2. Linear: Wasserbehälter
    3. Lineares Wachstum
    4. Exponentiell: Algen
    5. Exponentielles Wachstum
    6. Beschränktes Wachstum
    7. Logistisch: Sonnenblume
    8. Logistisches Wachstum
    9. Unterjährige Verzinsung (a)
    10. Unterjährige Verzinsung (b)
    11. Unterjährige Verzinsung (c)
    12. Unterjährige Verzinsung (d)
    13. Unterjährige Verzinsung (e)
    14. Unterjährige Verzinsung (f)
    15. Binomialverteilung
    16. Fazit I
  3. II Dynamische Systeme mit zwei bis vier Zuständen
    1. Integral (a)
    2. Integral (b)
    3. Integral (c)
    4. Freier Fall (a)
    5. Freier Fall (b)
    6. Kaffee - Milch Mischung
    7. Wachstum mit Selbstvergiftung (a)
    8. Wachstum mit Selbstvergiftung (b)
    9. Wachstum mit Selbstvergiftung (c)
    10. Räuber - Beute (a)
    11. Räuber - Beute (b)
    12. Epidemie 1a: SIR-Modell
    13. Epidemie 1b: SIR-Modell
    14. Epidemie 2a: SIRD-Modell
    15. Epidemie 2b: SIRD-Modell
    16. Epidemie 3: SEIR-Modell
    17. Fazit II
  4. III Weitere Modellierungen
    1. Ausbreitung einer Epidemie (ml 175)
    2. Ausbreitung einer Epidemie (a)
    3. Ausbreitung einer Epidemie (b)
    4. Chemisches Gleichgewicht (a)
    5. Chemisches Gleichgewicht (b)
    6. Seehunde 3 (a)
    7. Seehunde 3 (b)
    8. Seehunde 4
  5. IV Kumulator mit Tabellenkalkulation
    1. Lineares Wachstum
    2. Exponentielles Wachstum
    3. Beschränktes Wachstum
    4. Logistisches Wachstum
    5. Unterjährige Verzinsung
    6. Binomialverteilung
    7. Integral
    8. Freier Fall
    9. Kaffee - Milch Mischung
    10. Wachstum mit Selbstvergiftung
    11. Epidemie 1: SIR-Modell
    12. Epidemie 2: SIRD-Modell
    13. Epidemie 3: SEIR-Modell
  6. Am Ende
    1. Literatur
    2. Kontakt
  7. My Books
    1. MyBooks: Liste meiner öffentlichen GeoGebra Books

1.

Einführung

Die Modellierung dynamischer Systeme kann auf unterschiedlichen Wegen und Niveaus (Schule - Hochschule) erfolgen.

  • 1. Schule oder Hochschule?
  • 2. Modellbildung und Simulation dynamischer Systeme
  • 3. Der Kumulator - Die Idee
  • 4. Und die Parameter?

1.1.

Schule oder Hochschule?

[size=85][size=150]Wachstum, Modellbildung und dynamische Systeme: [br]Wichtiges Thema, auch in der Schule! [br]Wachstumsfunktionen: Beschreiben den [b]Bestand[/b]. [br]Typische Herangehensweise der Analysis: Aufstellen und Lösen von Differenzialgleichungen, [br]um die Bestandsfunktion als Lösung zu erhalten. [br]Damit erhält man z. B. die Funktion für das logistische Wachstum:[/size][/size]
[size=100][size=150]Ein mathematisch anspruchsvoller Ansatz, der in der Schule aber de facto nicht zum Tragen kommt. [br][br]In der Schule werden - wenn überhaupt - dann nur die besonders einfachen Gleichungen des linearen und des exponentiellen Wachstums behandelt.[/size][/size]
– H.-J. Elschenbroich. GeoGebra Institut NRW

1.2.

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1.3.

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1.4.

–

2.

I Wachstumsprozesse mit einem Zustand

In der Version I hat der Kumulator nur einen Zustand, mit ihm kann man die typischen Wachstumsprozesse auf dem Level der Sekundarstufe I modellieren. Hierzu muss man nur die Änderungsraten kennen und verstehen und kann dann die Entwicklung der Bestandsfunktionen verfolgen. Mit dieser Version des Kumulators können Schüler intuitiv Wachstumsprozesse modellieren. Ggf. hat man bei vielen Interationsschritten längere Laufzeiten. Schneller geht es mit dem Tabellen-Kumulator in Kap. 4, solange nur die Parameter innerhalb des Modells variiert werden sollen.

  • 1. Typisches Wachstum
  • 2. Linear: Wasserbehälter
  • 3. Lineares Wachstum
  • 4. Exponentiell: Algen
  • 5. Exponentielles Wachstum
  • 6. Beschränktes Wachstum
  • 7. Logistisch: Sonnenblume
  • 8. Logistisches Wachstum
  • 9. Unterjährige Verzinsung (a)
  • 10. Unterjährige Verzinsung (b)
  • 11. Unterjährige Verzinsung (c)
  • 12. Unterjährige Verzinsung (d)
  • 13. Unterjährige Verzinsung (e)
  • 14. Unterjährige Verzinsung (f)
  • 15. Binomialverteilung
  • 16. Fazit I

2.1.

Typisches Wachstum

[size=150]Zweierlei Zugänge:[br][list][*]explizit (Lösen von DGL): Funktionsgleichung.[br][/*][*][b]kumulativ [/b](schrittweise Berechnung): Graph. [/*][/list][br]Vier typische Arten des Wachstums:[br][list][*]linear[/*][*]exponentiell[/*][*]beschränkt[/*][*]logistisch[/*][/list][/size]
– H.-J. Elschenbroich. GeoGebra Institut NRW

2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.5.

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2.6.

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2.7.

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2.8.

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2.9.

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2.10.

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2.11.

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2.12.

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2.13.

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2.14.

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2.15.

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2.16.

–

3.

II Dynamische Systeme mit zwei bis vier Zuständen

  • 1. Integral (a)
  • 2. Integral (b)
  • 3. Integral (c)
  • 4. Freier Fall (a)
  • 5. Freier Fall (b)
  • 6. Kaffee - Milch Mischung
  • 7. Wachstum mit Selbstvergiftung (a)
  • 8. Wachstum mit Selbstvergiftung (b)
  • 9. Wachstum mit Selbstvergiftung (c)
  • 10. Räuber - Beute (a)
  • 11. Räuber - Beute (b)
  • 12. Epidemie 1a: SIR-Modell
  • 13. Epidemie 1b: SIR-Modell
  • 14. Epidemie 2a: SIRD-Modell
  • 15. Epidemie 2b: SIRD-Modell
  • 16. Epidemie 3: SEIR-Modell
  • 17. Fazit II

3.1.

Integral (a)

Aufgabe A6a
[size=150]Der Kumulator realisiert die Kernidee der Integralrechnung "Von der Änderung zum Bestand".[br]Neue Änderungen werden im wahrsten Sinne des Wortes 'integriert'.[br]Wenn eine Funktion f(t) als Änderungsvorschrift benutzt wird, erhalten wir als Bestand [math]\sum[/math]f(t)[math]\cdot\Delta[/math]t, also (näherungsweise) die Integralfunktion von f. [br]Für kleineres [math]\Delta[/math]t natürlich besser angenähert. [br][br]Wunschweise können die Funktion f und eine vermutete Zielfunktion eingeblendet werden. [/size]
[size=150]Wird das [math]\Delta[/math]t kleiner, werden auch die Änderungen f(t)[math]\cdot\Delta[/math]t kleiner.[br]Die Kurve von v[sub]A[/sub] ist also nicht die Ableitungskurve des Bestands, sondern um den Faktor [math]\Delta[/math]t gestaucht![/size]
– H.-J. Elschenbroich. GeoGebra Institut NRW

3.2.

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3.3.

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3.4.

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3.5.

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3.6.

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3.7.

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3.8.

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3.9.

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3.10.

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3.11.

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3.12.

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3.13.

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3.14.

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3.15.

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3.16.

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3.17.

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4.

III Weitere Modellierungen

  • 1. Ausbreitung einer Epidemie (ml 175)
  • 2. Ausbreitung einer Epidemie (a)
  • 3. Ausbreitung einer Epidemie (b)
  • 4. Chemisches Gleichgewicht (a)
  • 5. Chemisches Gleichgewicht (b)
  • 6. Seehunde 3 (a)
  • 7. Seehunde 3 (b)
  • 8. Seehunde 4

4.1.

Ausbreitung einer Epidemie (ml 175)

[size=150]Zustände [br][color=#0000ff]A: Gesunde, Start-A = 990[br]B: Kranke, Start-B = 10[br]C: Tote, Start-C = 0.[/color][br][br]Änderungen:[br][color=#38761d]v[sub]A[/sub] = 0.1 B - 00002 AB[br]v[sub]B[/sub] = -0.1 B + 0.0002 AB - 0.03 B[br]v[sub]C[/sub] = 0.03 B [/color][/size]
Epidemie (mathematik lehren 175)
[size=150]Quelle: Ableitinger (2012): Vorsicht, ansteckend! In: mathematik lehren 175.[br][br]In dem Artikel in ml 175 wurden die Gleichungen für den [b]Bestand[/b] A, B, C angegeben.  [br]Der Kumulator arbeitet mit [b]Änderungen[/b]. [br]Die obigen Änderungsvorschriften wurden aus den Bestandsgleichungen hergeleitet.[/size]
[br]
[size=85]Die Lernumgebung Kumulator realisiert das Prinzip “Von der Änderung zum Bestand”.Aus einem Startzustand und Änderungen werden punktweise Graphen von Funktionen aufgebaut, ohne dass man deren Terme dafür kennen muss.[br]Der neue Bestand entsteht einfach aus dem aktuellen Bestand + Änderung auf einem Intervall der Länge Δt. [br]Zu Beginn ist Δt = 1 gesetzt. Dies passt auch zu diskreten Prozessen.[br]Bei kontinuierlichen Prozessen kann man Δt verkleinern. So können u.a. die typischen Wachstumsfunktionen untersucht werden.[br][br]In der 'Eingabe' können grundlegende Eigenschaften definiert werden und Werte für den Zustand A und ein Term für die Änderung v[sub]A[/sub] (bezogen auf eine Zeiteinheit) eingegeben werden. Man kann auch selbst erzeugte Schieberegler als Variable und Funktionen einsetzen.[br]Der aktuellen Werte des Zustands (= Bestand) werden in einem 'Container' angezeigt, die jeweilige Änderung in einem Kreis (als Symbol für ein Ventil).[br]Ist nicht mehr Δt = 1 (eine Zeiteinheit), sondern wird die Zeiteinheit halbiert, geviertelt, wird auch der Wert v[sub]A[/sub] entsprechend verkleinert.[br][br]Falls 'Einzelschritte' gewählt wurden, werden über den Schieberegler Iteration die gewählten Graphen punktweise aufgebaut.[br]Zu Beginn ist dann nur der Startzustand sichtbar (= Iterationsschritt 0). Andernfalls werden gleich alle Graphenpunkte angezeigt.[br]Die Graphenpunkte können als optischer Effekt durch einen Streckenzug verbunden werden.[br]Bei einer hohen Zahl von Iterationsschritten und kleinem Δt sollte man dies nicht aktivieren, da ist es optisch auch nicht erforderlich.[br][br]Dies ist der Kumulator I für [u]einen[/u] Zustand A, der sich für den Einstieg besonders eignet. [br]Für mehrere Zustände und erweiterte Funktionen gibt es den Kumulator II.[br]Zusätzlich gibt es noch eine Version des Kumulators, die mit Tabellen kalkuliert.[br][br]Wir danken Z. Konecny, Dr. A. Meier und G. Röhner für freundliche Unterstützung.[/size]
– H.-J. Elschenbroich. GeoGebra Institut NRW

4.2.

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4.3.

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4.4.

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4.5.

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4.6.

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4.7.

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4.8.

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5.

IV Kumulator mit Tabellenkalkulation

Hier werden intern Änderung und Bestand mit der Tabellenkalkulation gerechnet. Das geht schneller und man kann die Parameter mit den Schiebereglern dynamisch verändern. Aber Änderungen am Modell oder den Iterationsschritten erfordern sachgerechte Eingriffe in die Tabellenkalkulation! Das ist mit der ganzen Klasse zumindest schwierig, es bietet sich deshalb eher das Arbeiten mit dem gegebenen, fertigen Modell an.

  • 1. Lineares Wachstum
  • 2. Exponentielles Wachstum
  • 3. Beschränktes Wachstum
  • 4. Logistisches Wachstum
  • 5. Unterjährige Verzinsung
  • 6. Binomialverteilung
  • 7. Integral
  • 8. Freier Fall
  • 9. Kaffee - Milch Mischung
  • 10. Wachstum mit Selbstvergiftung
  • 11. Epidemie 1: SIR-Modell
  • 12. Epidemie 2: SIRD-Modell
  • 13. Epidemie 3: SEIR-Modell

5.1.

Lineares Wachstum

Aufgabe TK 1a
[size=200][color=#000000]Die Änderungsrate ist konstant = c.[/color][br][color=#0000ff]A = 10, c, [/color][color=#38761d]v[sub]A[/sub] = c[/color][color=#0000ff]. [/color][/size]
[size=85]Die Lernumgebung Kumulator realisiert das Prinzip “Von der Änderung zum Bestand”.Aus einem Startzustand und Änderungen werden punktweise Graphen von Funktionen aufgebaut, ohne dass man deren Terme dafür kennen muss.[br]Der neue Bestand entsteht einfach aus dem aktuellen Bestand + Änderung auf einem Intervall der Länge Δt. [br]Zu Beginn ist Δt = 1 gesetzt. Dies passt auch zu diskreten Prozessen.[br]Bei kontinuierlichen Prozessen kann man Δt verkleinern. So können u.a. die typischen Wachstumsfunktionen untersucht werden.[br][br]In der 'Eingabe' können grundlegende Eigenschaften definiert werden und Werte für den Zustand A und ein Term für die Änderung v[sub]A[/sub] (bezogen auf eine Zeiteinheit) eingegeben werden. Man kann auch selbst erzeugte Schieberegler als Variable und Funktionen einsetzen.[br]Der aktuellen Werte des Zustands (= Bestand) werden in einem 'Container' angezeigt, die jeweilige Änderung in einem Kreis (als Symbol für ein Ventil).[br]Ist nicht mehr Δt = 1 (eine Zeiteinheit), sondern wird die Zeiteinheit halbiert, geviertelt, wird auch der Wert v[sub]A[/sub] entsprechend verkleinert.[br][br]Falls 'Einzelschritte' gewählt wurden, werden über den Schieberegler Iteration die gewählten Graphen punktweise aufgebaut.[br]Zu Beginn ist dann nur der Startzustand sichtbar (= Iterationsschritt 0). Andernfalls werden gleich alle Graphenpunkte angezeigt.[br]Die Graphenpunkte können als optischer Effekt durch einen Streckenzug verbunden werden.[br]Bei einer hohen Zahl von Iterationsschritten und kleinem Δt sollte man dies nicht aktivieren, da ist es optisch auch nicht erforderlich.[br][br]Dies ist der Kumulator I für [u]einen[/u] Zustand A, der sich für den Einstieg besonders eignet. [br]Für mehrere Zustände und erweiterte Funktionen gibt es den Kumulator II.[br]Zusätzlich gibt es noch eine Version des Kumulators, die mit Tabellen kalkuliert.[br][br]Wir danken Z. Konecny, Dr. A. Meier und G. Röhner für freundliche Unterstützung.[/size]
– H.-J. Elschenbroich. GeoGebra Institut NRW

5.2.

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5.3.

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5.4.

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5.5.

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5.6.

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5.7.

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5.8.

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5.9.

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5.10.

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5.11.

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5.12.

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5.13.

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6.

Am Ende

  • 1. Literatur
  • 2. Kontakt

6.1.

Literatur

[list][size=150][*]Elschenbroich, H.-J. (2020): Intuitiv modellierung mit dem Kumulator. In: MNU jorrrrrnal 4/2020. [br][url=https://www.geogebra.org/m/eryjycp4]https://www.geogebra.org/m/eryjycp4[/url][br][/*][*]Elschenbroich, H.-J. (2017): Intuitive Modellierung mit dem KUMULATOR. In: Beiträge zum Mathematikunterricht 2017. [br][url=https://eldorado.tu-dortmund.de/bitstream/2003/36434/1/BzMU-2017-ELSCHENBROICH.pdf]https://eldorado.tu-dortmund.de/bitstream/2003/36434/1/BzMU-2017-ELSCHENBROICH.pdf[/url] [br][/*][*]Elschenbroich, H.-J. & Seebach, G. (2016): Modellieren mit dem KUMULATOR. In: mathematik lehren 199, S. 50 – 51. [/*][*]Fokus Mathematik (2015). Qualifikationsphase. Nordrhein-Westfalen. Cornelsen, Berlin.[/*][*]Goldkuhle, P. (1993): Modellbildung und Simulation. Lehrerfortbildung in Nordrhein-Westfalen. Soest, Landesinstitut für Schule und Weiterbildung.[/*][*]Hupfeld, W. (o. Jg.): Dynasys. Handbuch Version 1.2. www.hupfeld-software.de/files/Dynasys-Handbuch.pdf [br][/*][*]Koller, D. (1995): Simulation dynamischer Vorgänge. Klett [/*][*]Recknitzcampus (o. Jg.): Modellbildung und Simulation. www.recknitzcampus.de/unterricht/fachbereiche/informatik/modellbildung/modellbildung.html [/*][*]Reimer, R. & Dopfer, G. (1995): Tabellenkalkulation im Mathematikunterricht. Klett[br][/*][*]Schmid, A. (o. Jg.): Anwendungsorientierter Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II. Skript P 700877. Klett Verlag, Stuttgart.[/*][*]Seebach, G. (2015): Von der Integration zu Bestandsfunktionen – unterstützt durch GeoGebra. [br]In: Kaenders, R.: Perspektivwechsel bei der Begriffsentwicklung in der Analysis. Der Mathematikunterricht 4/ 2015. S. 28 – 38. [br][/*][*]Stieglitz, R. (1994): Systemorientierte Modellbildung im fächerübergreifenden Unterricht. Landesinstitut für Schule und Weiterbildung, Soest.[/*][*]Winter, H. (1995): Mathematikunterricht und Allgemeinbildung. In: Mitteilungen der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik, Nr. 61. https://ojs.didaktik-der-mathematik.de/index.php/mgdm/article/view/69/80 [br][/*][/size][/list]
– H.-J. Elschenbroich. GeoGebra Institut NRW

6.2.

–

7.

My Books

  • 1. MyBooks: Liste meiner öffentlichen GeoGebra Books

7.1.

MyBooks: Liste meiner öffentlichen GeoGebra Books

[size=100][br][color=#980000][b]On the Top[/b][br][br]Differenzialrechnung: [url=https://www.geogebra.org/m/QxeVkgpf]Die Funktionenlupe[br][code][/code][br][/url]Integralrechnung: [url=https://www.geogebra.org/m/gfFc49CN]Der Integrator[br][/url][br]Corona-Pandemie, Modellierung: [url=https://www.geogebra.org/m/cfammtpe]Mathematik & Modellbildung[/url] und [url=https://www.geogebra.org/m/yf9szkan]Zuverlässigkeit von Corona Tests[/url] [br][br][/color][br][br][b]Videos[br][/b][br][url=https://www.geogebra.org/material/edit/id/hqrw9kew]Dynamische Arbeitsblätter. Mit Prof. B. Rott[/url] [br][br][url=https://www.geogebra.org/m/s4ufndbm]Satz des Thales und des Pythagoras. Mit Prof. B. Rott[/url][br][br][url=https://www.youtube.com/watch?v=fdrv_teMfts&t=96s]Anschauliche Differenzialrechnung, Funktionenlupe Teil 1[/url][br][br][url=https://www.youtube.com/watch?v=v1Lf1eei5qU&t=175s]Anschauliche Differenzialrechnung, Funktionenlupe Teil 2[/url][br][br][br][b][br]Dynamisch Mathematik erkunden[/b][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/a2bxt8xd]Innenwinkel & Außenwinkel[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/dvuxcvfe]Satz des Thales[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/xrvx5p99]Satz des Pythagoras[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/kbkn537r]Inkreis und Umkreis[/url][br][url=https://www.geogebra.org/m/eywjhg63][br]Sinus und Tangens[/url] [br][br][url=https://www.geogebra.org/m/mr8utcxb]Quadratische Funktionen[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/fdxxxpug]Wurzeln und Wurzelfunktion[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/ad64mcn4]Anschauliche Differenzialrechnung[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/e2tk3bru]Anschauliche Integralrechnung[/url] [br][br][br][br][b]Geometrie 2D[/b][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/grvqn6ed]Rund ums Pentagramm[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/rpehagzw]Visualisierung zum Goldenen Schnitt[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/hZXNwgBP]Variationen zum 'Rätsel der Woche' aus Spiegel online[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/yUpWswU7]Umkreist von Kreisen[/url][br][br]MU 6/2017: [url=https://www.geogebra.org/m/S9BD7bFt]Perspektivwechsel und Entdeckungen mit dynamischer Software[/url][br][br][br][b][br]Geometrie 3D[br][/b][br][url=https://www.geogebra.org/m/mmpd8yeq]Kegelschnitte dynamisch erkunden[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/bm8ybev6]Dodekaeder-Stern von Paulliac[/url][br][br]MNU 2/2019: [url=https://www.geogebra.org/m/ekEJVwvd]Modellierung von Kristallen[br][br][/url]Projektionsverfahren: [url=https://www.geogebra.org/m/CxyTKS3v]Perspektive? Ansichtssache[/url]![br][br][br][b]Arithmetik[br][/b][br][url=https://www.geogebra.org/m/vmgvpkup]Brüche erkennen 1[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/ct9xbskf]Brüche erkennen 2, Kreisteile[br][/url][br][br][br][b]Funktionen[/b][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/sjhdhwan]Scheitelpunktform und Nullstellen[/url][br][br][size=150]ml 187: [url=https://www.geogebra.org/m/D9MwHus2#chapter/13547]Quadratische Funktionen dynamisch untersuchen[/url][br][br][/size][size=150]MatheWelt 187. Elschenbroich & Seebach: [url=https://www.geogebra.org/m/y87athww]Funktionen unter der Lupe[/url][/size][br][br][br][br][b]Modellbildung[br][/b][br]Corona-Pandemie: Mathematik & Modellbildung und [url=https://www.geogebra.org/m/yf9szkan]Zuverlässigkeit von Corona Tests[/url] [/size][br][br]Von der Änderung zu Bestand: [url=https://www.geogebra.org/m/kGp8dnfp]Modellieren mit dem Kumulator[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/htAvaYg2]Intuitiv modellieren mit dem Kumulator[/url][br][br][br][b]Analysis[br][/b][br][url=https://www.geogebra.org/m/mntk36dv]Das Funktionenmikroskop[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/QxeVkgpf]Die Funktionenlupe[br][/url][br][url=https://www.geogebra.org/m/fvapyfwa]Die Unendlichkeitslupe[/url][br][url=https://www.geogebra.org/m/hymsqdyg][br]Leibniz Calculus[/url][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/gfFc49CN]Der Integrator[br][/url][br]ICME 13, TSG 16: [url=https://www.geogebra.org/m/pGKnMH7d]A visual approach to calculus[/url][br][br]GeoGebra Gathering G2: [url=https://www.geogebra.org/m/FkiJoLEY]Function Loupe[/url][br][br]MatheWelt 187. Elschenbroich & Seebach: [url=https://www.geogebra.org/m/y87athww]Funktionen unter der Lupe[/url] [br][br][br][b][br]Allgemein[/b][br][br][url=https://www.geogebra.org/m/tde33heb]Beiträge zur Digitalisierungsdiskussion[/url][br][br]MU 6/2017: [url=https://www.geogebra.org/m/S9BD7bFt]Perspektivwechsel und Entdeckungen mit dynamischer Software[/url] [br][br][br][b][br][b]Alle öffentlichen Aktivitäten finden Sie unter [url=https://www.geogebra.org/u/elschenbroich]www.geogebra.org/u/elschenbroich[/url] .[/b][br][br][br][/b]Zusätzlich gibt es etliche nicht-öffentliche Books, die nur per Link für Teilnehmer von Workshops und Fortbildungen zugänglich sind.[br][br][br]Es gibt auch einen Link zur Erstveröffentlichung der Funktionenlupe (Elschenbroich, Seebach & Schmidt) in ml 187 und MatheWelt 187, die vom Friedrich Verlag, Anne Hilgers, hochgeladen worden ist. [br][br]Desweiteren gibt es ein Book zum [i]mathematik lehren Themenheft [/i][b]Elschenbroich & Seebach: Funktionen erkunden[/b]. Der Zugangslink befindet sich im [url=https://www.friedrich-verlag.de/shop/funktionen-erkunden-1840004-17802][i]mathematik lehren Themenheft[/i][/url]. [br][br]Als Teil einer Autorengruppe von MNU:[br]Heintz et alt. (2017): [url=https://www.geogebra.org/m/ffkqscre][b]Werkzeugkompetenzen - Kompetent mit digitalen Werkzeugen Mathematik betreiben[/b][/url]. MNU, Medienstatt.[br]
– H.-J. Elschenbroich. GeoGebra Institut NRW

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