Unter [b]Wurzelziehen [/b](auch Radizieren genannt) versteht man die Umkehrung des Potenzierens. [br]Beim Wurzelziehen wird derjenige Wurzelwert gesucht,[br]der mit sich selbst multipliziert den Wert unter der[br]Wurzel ergibt. [br]Es gilt:[br][math]\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}=x,a\ge0[/math][br]wobei n Wurzelexponent, a Radikand oder Basis, m, [math]\frac{m}{n}[/math] Exponent und x Wurzelwert genannt werden.[br]Bei Quadratwurzeln darf der Wurzelexponent 2 weggelassen werden.[br][br][i]Beispiel:[br][math]\sqrt[2]{4}=\sqrt{4}=2[/math][/i] weil [math]2\cdot2=4[/math][br]Mann kann auch schreiben: [math]\sqrt[2]{4}=\sqrt[2]{4^1}=4^{\frac{1}{2}}=2[/math][br]Für [math]\sqrt[4]{4^2}[/math] würde gelten: [math]\sqrt[4]{4^2}=4^{\frac{2}{4}}=4^{\frac{1}{2}}=2[/math]

[b]Addition und Subtraktion:[/b][br]Wurzeln dürfen addiert und subtrahiert werden, wenn sie gleiche Exponenten und Radikanden besitzen.[br]Es gilt:[br][math]r\cdot\sqrt[n]{a}\pm s\cdot\sqrt[n]{a}=\left(r\pm s\right)\cdot\sqrt[n]{a}[/math][br][br][i]Beispiel:[/i][br][math]3\sqrt{a}-2\sqrt[3]{b}+2\sqrt{a}+4\sqrt[3]{b}=\left(3+2\right)\sqrt{a}+\left(4-2\right)\sqrt[3]{b}=5\sqrt{a}+2\sqrt[3]{b}[/math][br][br][b]Multiplikation:[/b][br]Wenn der Radikand ein Produkt ist, dann kann die Wurzel aus dem Produkt oder aus jedem Faktor gezogen werden.[br]Es gilt:[br][math]\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}[/math][br][i][br]Beispiel:[/i][br][math]\sqrt{9\cdot16}=\sqrt{144}=12[/math][br]oder[br][math]\sqrt{9\cdot16}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{16}=3\cdot4=12[/math][br][br][b]Division:[/b][br]Wenn der Radikand ein Quotient ist, dann kann die Wurzel aus dem Quotienten oder aus Zähler und Nenner gezogen werden.[br]Es gilt:[br][math]\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}[/math][br][br][i]Beispiel:[/i][br][math]\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}}=\frac{3}{4}=0,75[/math][br][br][b]Potenzieren:[/b][br]Beim Potenzieren einer Wurzel wird der Radikand potenziert.[br]Es gilt:[br][math]\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}[/math][br][br]Teilweise Radizieren:[br]Meistens sind die Radikanden keine vollständigen Quadratzahlen. Dann kann man die Wurzeln nur Teilweise ziehen. [br][br]Beispiel:[br][math]\sqrt{192}=\sqrt{4\cdot48}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{48}=2\cdot\sqrt{3\cdot16}=2\cdot\sqrt{3}\cdot4=8\sqrt{3}[/math][br][br][i][size=85]Quellen:[br] www.europa-lehrmittel.de/downloads-leseproben/70388-1/1782.pdf/[br]www.gsmuecke.de/downloads/stationen.doc[/size][/i]

Nun Betrachten wir das Bild Primzahlenbild 1-9216 (1996) von Suzanne Daetwyler. Da wurden die [b]Primzahlen[/b] zum Gegenstand künstlerischer Arbeit. Die Positionen der Primzahlen wurden von Künstlerin über einer quadratischen Leinwand, die in imaginäre kleine Kästchen aufgeteil ist, eingeschrieben. Zusammen mit der abgestuften monochromen Farbgebung ergibt dies ein wunderschönes Bild.[br][br][i]Zur Wiederholung: [/i][br]Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die größer als 1, durch sich selbst und durch 1 teilbar ist.[br]Alle Primzahlen von 2 bis 100 000 findet man unter[br]de.wikibooks.org/wiki/Primzahlen:_Tabelle_der_Primzahlen_(2_-_100.000)[br][br]Nun Probieren wir auch selber solche Zahlenmuster zu malen.[br]Zunächst nehmen wir die Primzahlen wie die Künstlerin Suzanne Daetwyler und danach die [b]Quadratzahlen[/b] her.[br]Die folgende PDF-Datei beinhaltet die Aufgabenstellung dazu.[br][br]

[i][size=85]Quellen:[br]"Zahlen, Zeichen und Figuren: Mathematische Inspirationen in Kunst und Literatur" Andrea Albrecht, Gesa von Essen, Werner Frick, 2011, Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin/Boston, Seite 125[br]MatheWelt, Heft 157, 2009[/size][/i]

Eine Wurzelgleichung ist eine Gleichung, in der die Wurzel aus einem oder mehreren Termen vorkommt.[br][br]Wir schauen uns ein Beispiel für eine Wurzelgleichung an und versuchen diese zu lösen.[br][math]x-1=\sqrt{x+1}[/math][br]Zunächst quadrieren wir beide Seiten der Gleichung und erhalten[br][math]\left(x-1\right)^2=x+1[/math][br]Dann multiplizieren wir die linke Seite aus und erhalten[br][math]x^2-2x+1=x+1[/math][br]Nun rechnen wir [math]-x-1[/math] und erhalten[br][math]x^2-3x=0[/math][br]Auf der linken Seite der Gleichung heben wir x heraus und erhalten[br][math]x\left(x-3\right)=0[/math][br]Nun können wir die beiden Lösungen hinschreiben[br][math]x_1=0,x_2=3[/math][br][br]Nun machen wir die Probe.[br]Zunächst setzen wir [math]x=0[/math] ein und erhalten[br][math]0-1=\sqrt{0+1}[/math][br][math]-1=\pm1[/math][br]Dies stimmt natürlich nicht. Deswegen erfüllt [math]x=0[/math] die Wurzelgleichung nicht.[br]Nun setzen wir [math]x=3[/math] ein und erhalten [br][math]3-1=\sqrt{3+1}[/math][br][math]2=2[/math][br]Das heißt, [math]x=3[/math] ist die Lösung von der Wurzelgleichung.[br]Die Lösungsmenge ist [math]L=\left\{3\right\}[/math].[br][br]Daraus sehen wir, dass die quadrierte Gleichung eine andere Lösungsmenge haben kann als die ursprüngliche. Vereinfacht gesagt, kann man sich durch das Quadrieren Lösungskandidaten einhandeln, die keine Lösung sind.[br][br]Wir schauen uns ein weiteres Beispiel für eine Wurzelgleichung.[br][math]\sqrt{4-\frac{3}{4}x}=5[/math][br]Der Radikant einer Wurzel darf nicht negativ werden. Sonst ist die Wurzel der zugehörigen Gleichung nicht definiert.[br]Aus diesem Grund muss man bei Wurzelgleichungen die Definitionsmenge angeben.[br]So musste es bei unserem Beispiel [math]4-\frac{3}{4}x\ge0[/math] gelten.[br]Wir rechnen aus und erhalten zum Schluss [math]\frac{16}{3}\ge x[/math].[br]In diesem Fall besteht die Definitionsmenge aus allen reellen Zahlen, die kleiner gleich [math]\frac{16}{3}[/math] sind. [br]Die Definitionsmenge schreiben wir als[math]D=\left\{x\in\mathbb{R}\mid x\le\frac{16}{3}\right\}[/math].[br][br][br][size=85][i]Quellen:[br][/i][i]http://www.mathe-online.at/skripten/gleich/gleich_wurzelgleichungen.pdf[br]http://www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathematisch-naturwissenschaftliche-faecher/mathematik/unterrichtsmaterialien/sekundarstufe1/zahl/gleich/wugl/def[/i][/size]

[size=85][size=100]Das Kreuzworträtsel zum Thema Wurzelgleichungen wurde mit einem kostenlosen online Kreuzworträtsel Generator unter [i][u]www.kreuzwort-raetsel.com[/u][/i] erstellt.[br][i]Beachte:[/i] Nach dem Fertigstellen des Kreuzworträtsels bekommen die Fragen eine neue Reihenfolge. In der automatisch erstellten PDF-Datei befinden sich keine Lösungen.[br][br][b]Quelle:[br][/b]Mathematiklernen, 170, Februar 2012[/size][/size]

[table][tr][td]Fach: [/td][td]Mathematik[/td][/tr][tr][td]Schulstufe:[/td][td]10 Schulstufe (6. Klasse AHS-Oberstufe) [/td][/tr][tr][td]Dauer der Lernsequenz:[/td][td]2 Unterrichtseinheiten[/td][/tr][tr][td]Technologie:[/td][td]Computer für Lehrperson und Projektor[br][/td][/tr][/table]

Das Thema dieser Unterrichtssequenz sind Wurzelgleichungen.[br]Sie beinhaltet ein [url=https://www.geogebra.org/m/qJNRBv7B]Kreuzworträtsel[/url] um die Rechengesetze für Wurzelgleichungen zu festigen und die Unterrichtseinheit für die Schüler attraktiver zu gestalten.

Während dieser Unterrichtssequenz werden mehrere Unterlagen benötigt: [url=https://ggbm.at/rMwgaQGg]Einführung[/url] in das Thema Wurzelgleichungen, ein [url=https://ggbm.at/pmtmaXs2]Arbeitsblatt[/url] zu diesem Thema und ein vorgefertigtes [url=https://ggbm.at/qJNRBv7B]Kreuzworträtsel[/url].[br][br]Das Kreuzworträtsel für die SchülerInnen ohne Lösungen unten gibt es [url=https://ggbm.at/u3XgR3R4]hier[/url].

Grundsätzlich benötigten die SchülerInnen für diese Unterrichtssequenz kein Vorwissen über Wurzelgleichungen. [br][br]Die SchülerInnen sollten[br][list][*]Wurzelbegriff kennen.[/*][*]wissen, was Wurzelexponent, Radikand (Basis), Exponent und Wurzelwert einer Wurzel sind.[/*][*]Wurzelziehen (Radizieren) können.[/*][*]Rechengesetze für Wurzeln kennen und anwenden können.[/*][/list][br]Außerdem wird das Wissen aus der Unterstufe über Rechengesetze für die Grundrechnungsarten vorausgesetzt. Die SchülerInnen sollten auch das Bruchrechnen beherrschen. [br]Die Rechenregeln für die Potenzen und Anwendung der Binomischen Formeln wird ebenfalls vorausgesetzt.

Die SchülerInnen sollen das Konzept der Wurzelgleichungen verstehen und diese selbstständig lösen können.

Die Überprüfung des Lernerfolgs während dieser Unterrichtssequenz geschieht mittels eines Kreuzworträtsels.

Diese Unterrichtssequenz ist eine Mischung zwischen Frontalunterricht, Gruppen- und Einzelarbeit. [br][br][table][tr][td][b]Zeit (min)[/b][/td][td][b]Inhalt / Aktivität[/b][/td][td][b]Materialien / Methode / Medien[/b][/td][/tr][tr][td]20 min[/td][td]Wurzelgleichungen:[br]Einführung[/td][td]Frontalunterricht, Computer mit Beamer oder Tafel[br][/td][/tr][tr][td]30 min[/td][td]Wurzelgleichungen:[br]Arbeitsblatt[/td][td]Einzel- oder Gruppenarbeit/Arbeitsblatt[/td][/tr][tr][td]30 min[/td][td]Kreuzworträtsel:[br]Arbeitsblatt[/td][td]EKleingruppenarbeit/Arbeitsblatt, Computer mit Beamer[/td][/tr][tr][td]20 min[/td][td]Kreuzworträtsel:[br]Lösungen vergleichen[/td][td]Frontalunterricht, Computer mit Beamer[/td][/tr][/table]

Wurzelgleichungen: [url=https://ggbm.at/rMwgaQGg]Einführung[/url][br][br]Für die Einführung in das neue Thema Wurzelgleichungen ist der Frontalunterricht notwendig. Den SchülerInnen wird erklärt, was Wurzelgleichungen sind und wie man diese lösen kann. Die Sachverhalte werden anhand der Beispiele erleutert. Dafür wird entweder Computer für Lehrende und Beamer oder die Tafel benötigt. Die Lehrperson kann frei entscheiden, ob sie den SchülerInnen eine vorgefertigte Datei vorzeigt und diese erklärt (dabei sollten die Schülerinnen das Dokument auch in einer ausgedruckten Form erhalten) oder ob sie alles an der Tafel vorführt und die SchülerInnen schreiben mit. [br][br][br]Wurzelgleichungen: [url=https://ggbm.at/pmtmaXs2]Arbeitsblatt[/url][br][br]Dann ist das Bearbeiten eines Arbeitsblattes als Kleingruppenarbeit geplant. Die SchülerInnen sollten lernen die Aufgaben zum Thema Wurzelgleichungen selbstständig zu lösen. [br]Statt dem Arbeitsblatt können die SchülerInnen natürlich auch Aufgaben aus einem der Lehrbücher bearbeiten. [br]Die SchülerInn erhalten sowohl die Rechenaufgaben als auch die Lösungen dazu. So können sie sich selber kontrollieren. Die Lehrperson steht für alle fragen und möglichen Hilfestellungen zur Verfügung.[br][br][br]Kreuzworträtsel: [url=https://ggbm.at/u3XgR3R4]Arbeitsblatt[/url][br][br]Für das Wiederholen und Festigen des bereits eingeführten Wissens über Wurzelgleichungen dient das Kreuzworträtsel zu diesem Thema.[br]Jeder SchülerIn erhält ein Kreuzworträtsel in ausgedruckter Form. Die Aufgabenstellungen werden in Partnerarbeit bearbeitet.[br][br][br]Kreuzworträtsel: [url=https://ggbm.at/qJNRBv7B]Lösungen vergleichen[/url][br][br]Anschließend werden die Lösungen verglichen. Dabei sollte die Lehrperson beachten, dass die vorkommenden Wurzelgleichungen sowohl an der Tafel als auch in den Heften der SchülerInnen richtig gelöst werden sollen. [br]Für das Vorrechnen an der Tafel kann die Lehrperson Freiwillige drannehmen.

Während dieser Unterrichtssequenz werden Computerpräsentationen mehrmals verwendet. Deswegen sind Computer für Lehrende und ein Beamer notwendig.[br][br]Falls alle SchülerInnen in der Klasse Tablets oder Laptops besitzen, könnte man das Kreuzworträtsel gleich digital lösen und mit der korrekten Lösungen gleich vergleichen. Somit werden sie mit der Ausarbeitung des Kreuzworträtsels möglicherweise schneller fertig.[br]Dafür benötigen die SchülerInnen kein besonderes Wissen über Computerprogramme.[br][br]Falls die geplante Unterrichtssequenz auf Grund von unvorhergesehenen technischen Problemen nicht wie geplant durchführbar ist, kann man alle Blätter einfach ausdrucken. Für die Einführung in das Thema dieser Unterrichtssequenz kann man statt dem Beamer die Tafel einsetzen.