Das Dreieck [math]PQR[/math] hat die Eckpunkte [math]P(-2|3)[/math] und [math]Q(5,5|-1)[/math].[br]Vom dritten Eckpunkt [math]R[/math] ist nur die y-Koordinate bekannt: [math]R(x_R|2,5)[/math].[br]Der Schwerpunkt des Dreiecks liegt bei [math]S(2,5|y_S)[/math].[br]Berechne die fehlende Koordinate [math]x_R[/math] des Eckpunkts und die fehlende Koordinate [math]y_S[/math] des Schwerpunkts.
[b] [br]Ausführliche Lösung:[/b][br][br][b]1. Analyse der gegebenen Informationen[/b][br]Wir nutzen die beiden Grundformeln für den Schwerpunkt. Wir schauen uns an, was wir haben und was uns fehlt.[br][br]Gegeben:[br][br]x-Werte: [math]x_P=-2[/math], [math]x_Q=5,5[/math] und das Ergebnis [math]x_S=2,5[/math]. [b]Gesucht ist [math]x_R[/math].[/b][br]y-Werte: [math]y_P=3[/math], [math]y_Q=-1[/math] und [math]y_R=2,5[/math]. [b]Gesucht ist das Ergebnis [math]y_S[/math].[/b][br] [br][list][*]Strategie: Die Berechnung von [math]y_S[/math] ist einfacher, da wir alle drei y-Werte der Ecken kennen. Das ist eine direkte Berechnung. [/*][*]Die Berechnung von [math]x_R[/math] ist eine Rückwärtsrechnung, da wir das Ergebnis kennen, aber eine Eingabe fehlt.[br][br][/*][/list][br][b]2. Berechnung der fehlenden y-Koordinate des Schwerpunkts ([math]y_S[/math])[/b][br]Da [math]y_P[/math], [math]y_Q[/math] und [math]y_R[/math] bekannt sind, setzen wir sie direkt in die Formel ein:[br][math]y_S=\frac{y_P+y_Q+y_R}{3}[/math][br][math]y_S=\frac{3+(-1)+2,5}{3}[/math][br][math]y_S=\frac{3-1+2,5}{3}[/math][br][math]y_S=\frac{2+2,5}{3}[/math][br][math]y_S=\frac{4,5}{3}[/math][br](Nebenrechnung: [math]4,5:3=1,5[/math]) [b][math]y_S=1,5[/math][/b][br]Damit ist der Schwerpunkt vollständig bekannt: [math]S(2,5|1,5)[/math].[br][br][b]3. Berechnung der fehlenden x-Koordinate des Eckpunkts ([math]x_R[/math])[/b][br]Wir stellen die Formel für die x-Koordinate auf und setzen alles ein, was wir wissen. Die Unbekannte ist [math]x_R[/math].[br][math]x_S=\frac{x_P+x_Q+x_R}{3}[/math][br][br]Einsetzen der Werte:[br][math]2,5=\frac{-2+5,5+x_R}{3}[/math][br][br]Nun müssen wir diese Gleichung nach [math]x_R[/math] auflösen.[br][br][i]Schritt 3a: Den Zähler vereinfachen[/i][br]Wir rechnen die bekannten Zahlen im Zähler zusammen: [math]-2+5,5=3,5[/math].[br][math]2,5=\frac{3,5+x_R}{3}[/math][br][br][i]Schritt 3b: Den Bruch auflösen[/i][br]Der Bruchstrich bedeutet „geteilt durch 3“. Um die 3 wegzubekommen, multiplizieren wir die gesamte Gleichung mit 3.[br][math]2,5\cdot 3=3,5+x_R[/math][br][math]7,5=3,5+x_R[/math][br][br][i]Schritt 3c: Nach [math]x_R[/math] auflösen[/i][br]Um [math]x_R[/math] alleine stehen zu haben, subtrahieren wir [math]3,5[/math].[br][math]7,5-3,5=x_R[/math][br][b][math]x_R=4[/math][/b][br]Damit ist der Eckpunkt [math]R(4|2,5)[/math] vollständig bekannt.[br][br][b]4. Zusammenfassung der Ergebnisse[/b][br]Die fehlenden Koordinaten sind:[br][math]\mathbf{x_R=4} \quad \text{und} \quad \mathbf{y_S=1,5}[/math]