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Tarea 5: Complejos (MAT I)

Pedro E. Ródenas Serrano, Jul 6, 2022

Complejos 1 BACH Ciencias

Introducción y resumen
1. Números Complejos
Forma binómica
1. Forma binómica números complejos
2. Números Complejos, Opuesto y Conjugado
3. Números complejos ( módulo )
Operaciones con números complejos
1. Suma y Resta de Números Complejos
2. Multiplicación y División de Números Complejos
3. Cociente de números complejos
4. Operaciones números complejos forma binómica
Forma polar. Operaciones.
1. Representación del producto de complejos en forma polar
2. Operaciones con Números Complejos en forma polar.
Potencias y raíces n-ésimas
1. Potencias números complejos
2. MOIVRE

Information

Introducción y resumen

1. Números Complejos

Números Complejos

Los Números Complejos C Los números complejos son combinaciones de números reales y números imaginarios. En otras palabras, los números complejos son números que tienen una parte real y una parte imaginaria.

Entonces, sabiendo que dentro de los números complejos encontramos los números reales y los números imaginarios, es más fácil comprender que los números complejos son combinaciones de números reales y números imaginarios. ¡Podemos combinarlos de las formas que queramos!

Números reales e imaginarios

Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la recta real y pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales. Cualquier número real está comprendido entre menos infinito y más infinito y podemos representarlo en la recta real. Los números imaginarios forman parte del conjunto de los números complejos y son el producto de un número real por la unidad imaginaria i. Se utiliza la i para denotar la unidad imaginaria.

Ejemplo de números complejos

4 + 8i 4 número real 8i numero imaginario

Esta raíz negativa, sea la que sea, se puede descomponer, tal y como se indica arriba, y llegar a tener un número real y la unidad imaginaria. En este caso, la parte real es el número 8 y la parte imaginaria es la raíz cuadrada de -1.

La raíz cuadrada de -1 es conocida como la unidad imaginaria.

Unidad imaginaria

Un número complejo z en forma binómica se representará de la forma a+bi y su afijo o forma de par ordenado es (a,b). Complejos opuestos Dos complejos son opuestos si la suma de ambos es igual a cero. Esto quiere decir que el opuesto de un complejo se obtiene al cambiar los signos al número complejo dado. Si Z= a+bi su opuesto es -Z=-a-bi Complejos conjugados Dado el complejo Z=a+bi el conjugado es Z=a-bi, el conjugado es el mismo número complejo con el signo de la parte imaginaria cambiada.

Completa la tabla

Selecciona la respuesta correcta

1. Forma parte del conjunto de los números complejos y son el producto de un número real por la unidad imaginaria:

A y B son correctas Números imaginarios Números reales

2. La unidad imaginaria se representa por:

1 -1

-1

3. Es un número complejo

8i 3-4i A y B son correctas

¿Qué son los números complejos?

Representación grafica de números complejos

Para representar gráficamente un número complejo, debemos dibujarlos en el plano complejo. Éste está formado por un eje real y un eje imaginario. Sobre el eje real representaremos la parte real del número complejo, mientras que en el eje imaginario representaremos la parte imaginaria. Esta formado por cuatro cuadrantes.

Te invito jugar y aprender: ubicando los ejes y los cuadrantes en el plano Gaussiano.

Los números complejos se representan en forma gráfica, en el plano Gaussiano, donde la parte real se coloca en el eje horizontal y la parte imaginaria en el eje vertical. Z=a+bi en su forma binómica, la forma gráfica es: (a,b).

Ubica los diferentes puntos que están en el plano en los diferentes cuadrantes y en los ejes; copia en el cuaderno los puntos obtenidos en cada cuadrante.

Módulo de un número complejo En matemáticas, el módulo de un número complejo es el número real positivo que mide su tamaño y generaliza el valor absoluto de un número real. Esta noción es particularmente útil para definir una distancia en el plano complejo. El módulo de un número complejo z se denota como |z|. Y se calcula con /Z/=

Ejemplos

Ubica 5 puntos diferentes de A, B y C en el plano y obtén su módulo.

Mueve "a" para obtener diferentes números reales y "b" para la parte imaginaria. Observará su conjugado, opuesto y su módulo en cada movimiento. Toma un punto y explicara su procedimiento.

Operaciones de números complejos en forma binómica * Suma de números complejos La suma de dos números complejos es otro número complejo cuya parte real es la suma de las partes reales y cuya parte imaginaria que es la suma de las partes imaginarias. (a+bi) +(c+di)=(a+c) + (b+d)i *Resta de números complejos Para restar dos números complejos, reste la parte real de la parte real y la parte imaginaria de la parte imaginaria. (a+bi) - (c+di)= (a+bi) + (-c-di)= (a-c) + (b-d)i *Multiplicación de números complejos El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i²= −1. (a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i *División de números complejos Para dividir dos complejos se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador, así el denominador pasará a ser un número real. Finalmente se separan la parte real y la parte imaginaria.

Observa el video de operaciones de números complejos en forma binómica

Observa la explicación de la suma y resta de los complejos Z1 y Z2, para ellos da clip en suma y resta z1 y z2 ; luego, realiza la suma y la resta de Z3 y Z4.

Multiplicación y división de números complejos

Da le valor numérico a las componentes de los complejos y luego puedes jugar con las operaciones.

2.

Forma binómica

1. Forma binómica números complejos
2. Números Complejos, Opuesto y Conjugado
3. Números complejos ( módulo )

2.1.

Forma binómica números complejos

Representación números complejos en forma binómica: - Simetría impar con su opuesto - Simetría respecto del eje X con su conjugado.

Modifica la parte real e imaginaria con el deslizador o introduciendo los valores en las casillas.

2.2.

2.3.

3.

Operaciones con números complejos

1. Suma y Resta de Números Complejos
2. Multiplicación y División de Números Complejos
3. Cociente de números complejos
4. Operaciones números complejos forma binómica

3.1.

Suma y Resta de Números Complejos

Para sumar números complejos tenemos dos opcuines de trabajo. Opción 1 Se colocan uno debajo de otro haciendo coincidir dos columnas donde la parte real que da alineada uno bajo el otro y en la parte imaginarica sucede lo mismo. Ejemplo 3 + 4i 8 + 9i 11 + 13i

Opción 2 trabajamos algebraicamente el algorítmo de ma suma Ejemplo :

Suma de números complejos

En esta calculadora gráfica de nuemros complejos podrás trabajar la actividad.

Localiza los números complejos, muebe los puntos z1 y z2 para encontrar la suma que deseas verificar y luego coloca la respuesta correspondiente. recuerda realizar los calculos en tu cuaderno para entrgar tu actividad en el muro.

(11+120i) + (2-8i)

25+13i 13+112i 7+i

Para restar números complejos tenemos dos formas de trabajo. Opción 1 Se colocan uno debajo de otro haciendo coincidir dos columnas donde la parte real que da alineada uno bajo el otro y en la parte imaginarica sucede lo mismo; pero en este caso se aplica el cambio de signo al número complejo que esté despues del signo negativo. Ejemplo (6+4i) - (8+9i) 6 + 4i -8 - 9i cambió de signos porque tenía un - delante del parentesis -2 - 5i recuerda signos iguales se suman, signos diferentes se restan y se coloca el signo de aquel que tiene mayos cantidad