[b]Eine Umkehrfunktion macht das, was eine Funktion macht, wieder rückgängig. [/b][br]Die Funktion [math]f(x)=x^2[/math] macht zum Beispiel aus einer [math]3[/math] eine [math]9[/math]. Die Umkehrfunktion von [math]f(x)=x^2[/math] ist [math]f^{-1}(x)=\sqrt{x}[/math] Wenn man die [math]9[/math] als Argument für die Umkehrfunktion von [math]f(x)[/math] einsetzt, dann erhält man wieder die [math]3[/math].[br][br]Wenn [math]f^{-1}(x)[/math] die Umkehrfunktion von [math]f(x)[/math] ist, dann ist auch [math]f(x)[/math] die Umkehrfunktion von [math]f^{-1}(x)[/math]

Es gibt unterschiedliche Bezeichnungen für Umkehrfunktionen. Die Umkehrfunktion einer Funktion [math]f(x)[/math] wird in manchen Büchern oder auf manchen Taschenrechnern als [math]f^{-1}[/math] oder [math]f^{-1}(x)[/math] bezeichent oder manchmal auch als [math]\overline{f\;}[/math] bzw. [math]\overline{f\;}(x)[/math]. [br][br]Bei der Bezeichnung [math]f^{-1}[/math] muss man beachten, dass die [math]-1[/math] [b]kein Exponent[/b] ist, sondern ein Teil des Namens. Es gilt also [color=#ff7700][b]nicht[/b][/color] [math]f^{-1}=\frac{1}{f}[/math][br]

Der Funktionsgraph einer Umkehrfunktion entsteht, wenn man die Abszisse und die Ordinate eines Koordinatensystems einfach vertauscht.[br][br]Man kann auch sagen, der Funktionsgraph einer Umkehrfunktion [math]f^{-1}(x)[/math] entsteht, indem man den Funktionsgraphen von [math]f(x)[/math] an der Diagonalen spiegelt, die durch den ersten und den dritten Quadranten des Koordinatenkreuzes verläuft:

Die [b]Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion[/b] [math]f(x)=a^x[/math] heißt [b][color=#980000]Logarithmusfunktion[/color][/b] [math]f^{-1}(x)=log_a(x)[/math] (sprich: [i]Logarithmus von[/i] [math]x[/math] [i]zur Basis[/i] [math]a[/math]). [br]Dann ist natürlich umgekehrt auch die Umkehrfunktion einer Logarithmausfunktion die Exponentialfunktion zur entsprechenden Basis.[br][br]Im folgenden Geogebra-Applet können die Funktionsgraphen der Exponential- und Logarithmusfunktionen angesehen werden, deren Basis [math]a[/math] zwischen [math]0,01[/math] und [math]10[/math] liegt. Die Basis lässt sich mit dem Schieberegler verändern. Außerdem sind "als Referenz", die e-Funktion [math]e^x[/math] und der natürliche Lograrithmus [math]ln(x)[/math] abgebildet.[br][br][b][color=#980000]Weil die Exponentialfunktion keine negativen Funktionswerte hat, sind Logarithmusfunktionen [math]\mathbf{\fgcolor{#980000}{log_a(x)}} [/math] bzw. [math]\mathbf{\fgcolor{#980000}{ln(x)}} [/math] für alle [/color][/b][math]\mathbf{\fgcolor{#980000}{x\le 0}} [/math][b][color=#980000] nicht definiert.[/color][/b][br][br]Das heißt das Ergebnis von z.B. [math]ln(-10)[/math] existiert nicht. Wenn man so etwas in den Taschenrechner eingibt, dann erscheint eine Fehlermeldung.

Ist eine Funktion [math]y=f(x)[/math] gegeben, dann erhält man die Umkehrfunktion, indem man diese Gleichung nach [math]x[/math] auflöst, also [math]x=f^{-1}(y)[/math]. Nach dieser Rechnung ist die Variable dann das [math]y[/math].[br][br]Beispiel: [math]f(x)=x^3+2[/math][br][math]y=x^3+2 \quad \Big\vert -2[/math][br][math]\Rightarrow y-2=x^3 \quad \Big\vert \sqrt[3]{\quad}[/math][br][math]\Rightarrow\sqrt[3]{y-2}=x[/math] [br]D.h. die Umkehrfunktion von [math]f(x)[/math] hat die Funktionsgleichung [math]f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-2}[br][br][/math][color=#980000][br][br][b]Es gibt viele Funktionen, die nicht über den gesamten Definitionsbereich umkehrbar sind.[/b][/color] Dann hilt man sich oft damit, dass man nur einen Ausschnitt des Definitionsbereiches betrachtet. Ein Beispiel dafür ist bereits die oben abgebildete Funktion [math]f(x)=x^2[/math]. Man kann hier nur für alle [math]x\le0[/math] oder für alle [math]x\ge0[/math] die Umkehrfunktion bilden (im Bild oben jeweils die gestrichelte oder die durchgezogene Linie).