Analogamente, elevare alla potenza n il numero complesso A, vuol dire far ruotare di nα volte il segmento di lunghezza [math]|A|^n[/math].[br][br]Dal momento che la radice è l'operazione inversa della potenza, un radice quadrata di un numero complesso [math]\cosθ+i\sinθ[/math] è individuata dall'angolo θ/2. Per trovare l'altra radice, basta osservare che θ e θ+2π individuano lo stesso punto. Dividendo θ+2π per due individuiamo quindi l'altra radice quadrata che cercavamo. Dunque le due radici sono diametralmente opposte nella circonferenza che ha centro nell'origine e raggio [math]|A|^n[/math].[br][br][b]Esercizio 1:[/b] Le radici di i sono numeri complessi? Se sì, individuale.[br][br]In generale, una radice n-esima di un numero complesso [math]r(\cosα+i\sinα)[/math] si trova dividendo per [math]n[/math] l'angolo α, le altre si trovano distanziate da questa di [math]\frac{2k\pi}{n}[/math], con k=1,…,n−1. Il modulo di tutte queste radici sarà la radice n-esima di r.[br][br][b]Esercizio 2:[/b] (l'errore di Leibnitz). Nel 1702 Leibnitz, uno dei più grandi matematici della sua epoca, sostenne di aver trovato un controesempio al [url=http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_fondamentale_dell%27algebra]teorema fondamentale dell'algebra[/url] (dimostrato 100 anni dopo da Gauss): secondo lui, non era possibile trovare le radici di [math]x^4+1=0[/math]. Tu sai trovarle tutte e quattro?[br][br][b]Esercizio 3:[/b] Moltiplicando [math](x−a+ib)[/math] per [math](x−a−ib)[/math] si ottiene un polinomio di secondo grado a coefficienti reali. Utilizza questo risultato per fattorizzare il polinomio [math]x^4+1[/math] nel prodotto di due polinomi a coefficienti reali.[br][br][b]Esercizio 4:[/b] L'interpretazione dell'elevazione a potenza come una rotazione, non è un pettegolezzo, ma uno strumento di calcolo. Prova ad usarla per calcolare [math]\left(\frac{\sqrt{2}}{2}−\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)^{65}[/math] . Suggerimento: calcola prima [math]\left(\frac{\sqrt{2}}{2}−\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)^8[/math], poi [math]\left(\frac{\sqrt{2}}{2}−\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)^{16}[/math]…[br][br]Esattamente come si fa per i numeri reali, possiamo allora definire le potenze razionali di un numero complesso, per poi estendere la nozione a potenze reali di numeri complessi.