Vektorrechnung Teil 2: Geraden und Ebenen
Vektorrechnung Geraden und Ebenen
Table of Contents
- Geraden
- Gerade aus zwei Punkten
- Gegenseitige Lage von Geraden
- Winkelhalbierende Geraden
- Ebenen
- Ebene aus drei Punkten
- Normalenebene
- Normalebene Umrechnung
- Verschiedene Ebenengleichungen
- Spezielle Ebenen
- Schnittprobleme
- Gerade schneidet Ebene
- Schneiden von Ebenen
- Winkel zwischen Ebene und Gerade
- Winkel zwischen zwei Ebenen
- Abstandsprobleme
- Abstand windschiefe Geraden
- Abstand Punkt - Ebene (Gerade)
- Abstand Punkt - Ebene (HNF)
- Abstand windschiefe Geraden (HNF)
Gerade aus zwei Punkten
Gegeben sind zwei Punkte A und B. Der Richtungsvektor [math]$\overrightarrow{AB}$[/math] zeigt in Richtung der Geraden.[br]Der Punkt R mit dem Ortsvektor [math]$\vec{r}$[/math] liegt auf der Geraden [math]$g:\ \vec{r}=\vec{a}+k \cdot \overrightarrow{AB}$[/math]
Aufgabe 1
Verändern Sie den Parameter k. Beschreiben Sie den Einfluss des Parameters auf die Zeichnung.[br][size=85]Hinweis: Mit der Maus kann das Koordinatensystem gedreht werden, was die Orientierung einfacher manchen kann.[/size]
Aufgabe 2
Verschieben Sie die Punkte A und B und beschreiben Sie, was passiert.
Aufgabe 3
Verändern Sie nun die Gerade, indem Sie die Koordinaten der Punkte A und B verändern. Lösen sie dann die Aufgaben 1 und 2 nochmal für die neue Gerade. Was ändert sich und was bleibt gleich?
Ebene aus drei Punkten
Gegeben sind drei Punkte A, B und C, die mit Hilfe von Schiebereglern (z.B. a[sub]x[/sub], a[sub]y[/sub] und a[sub]z[/sub]) positioniert werden können. Aus den drei Punkten werden zwei Richtungsvektoren [math]$\vec{u}=\overrightarrow{AB}$[/math] und [math]$\vec{v}=\overrightarrow{AC}$[/math] gebildet, die sich in der Ebene befinden. R ist ein beliebiger Punkt auf der Ebene E mit dem Richtungsvektor [math]$\vec{r}$[/math]. Die Ebene kann wie folgt beschrieben werden: E: [math]$\vec{r}=s\cdot\vec{u}+t\cdot\vec{v}$[/math].[br]Die Zeichenfläche lässt sich mit der Maus drehen um eine gute 3D-Übersicht zu erhalten.
[list=1][*]Verändere die Schieberegler t und s und beobachte wie sich der Punkt R über die Ebene bewegt.[/*][*]Findest du eine Einstellung für t und s in dem der Punkt R nicht mehr auf der Ebene liegt?[/*][/list]
Aufgabe 1
Verändern Sie die Werte s und t. Was geschieht mit dem Punkt R?
Aufgabe 2
Finden Sie eine Einstellung für s und t so dass sich der Punkt R nicht mehr auf der Ebene befindet?
Aufgabe 3
Wie bewegt sich der Punkt R, wenn t bei t=0 fixiert wird?
Aufgabe 4
Lesen Sie die Koordinaten der Punkte A, B und C von den Schiebereglern ab und formulieren Sie eine Ebenengleichung der Ebene E mit Zahlen. [br][size=85]Hinweis: Wenn Sie die Schieberegler bereits verändert haben, setzen Sie die Konstruktion mit Hilfe des Refresh-Symbols zurück.[/size]
Gerade schneidet Ebene
Gegeben ist eine Ebene mit [math]$\vec{a}$[/math], [math]$\vec{u}$[/math] und [math]$\vec{v}$[/math] sowie eine Gerade mit [[math]$\vec{b}$[/math] und [math]$\vec{w}$[/math]. Die Gerade schneidet die Ebene im Punkt S.
[list=1][*]Lesen Sie aus den Schiebereglern die Komponenten der Vektoren ab und berechnen Sie den Schnittwinkel β zwischen der Gerade und der Ebene.[br]Falls du Hilfe benötigst, könnte dir vielleicht die Hilfestellung weiterhelfen.[/*][*]Verändere die Schieberegler. Gibt es Spezialfälle? Wann treten die auf?[/*][/list]
Aufgabe 1
Lesen Sie aus den Schiebereglern eine Parametergleichung der Ebene und eine Parametergleichung der Geraden ab.
Aufgabe 2
Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S.
Aufgabe 3
Berechnen Sie den Schnittwinkel [math]\beta[/math] zwischen der Geraden und der Ebene. [br]Das Applet kann Ihnen eine Hilfestellung geben.
Aufgabe 4
Verändern Sie die Schieberegler. Welche Spezialfälle finden Sie?
Abstand windschiefe Geraden
Aufgabe 1
Gezeichnet sind zwei Geraden. Wie stehen diese Geraden zueinander?
Aufgabe 2
Rot ist eine Verbindung zwischen den beiden Geraden gezeichnet. Welche Bedingungen erfüllt diese Verbindungslinie und was bedeutet die rote Zahl?
Aufgabe 3
Verschieben Sie den Punkt P und beobachten Sie die rote Zahl sowie die beiden Winkel. Bei welchen Einstellungen erhält man Abstand zwischen den Geraden?
Aufgabe 4
Wie können Sie den Abstand von zwei windschiefen Geraden berechnen?[br]Geben Sie ein mögliches Vorgehen an.