Legyen adott a P- modellen az [i]A,B,C [/i]és[i] D[/i] pont, amelyek ebben a (ciklikus) sorrendben helyezkednek el a H-sik egy adott [i]s[/i] körén. Mit állíthatunk a kapott [i]ABCD[/i] húrnégyszög szögeiről?  Hogyan tudnánk a sejtésünket igazolni?

Az eddigiek alapján nyilvánvaló, hogy a húrnégyszögekre kimondott "klasszikus" euklideszi tétel[color=#ff0000] a hiperbolikus geometriában [b]nem[/b] érvényes:[/color][br][br][list][*][color=#1e84cc][b]A húrnégyszög szemközti szögei 180°-ra egészítik ki egymást.[br][br][/b][/color][/*][/list]Ugyanakkor felvethetjük ugyanezt a kérdést kissé enyhébb formában úgy, hogy a sejtésünk abszolút geometriai összefüggés legyen. Igaz-e, hogy:[br][list][*][color=#9900ff][b]A húrnégyszög két-két szemközti szögének az összege egyenlő.[/b][/color][/*][/list][color=#333333]Ha ez igaz, akkor ebből a háromszög szögösszegére vonatkozó tételt kihasználva kapjuk a közismert euklideszi geometriai összefüggést. [br][br]A sejtésünk igazolásához mindössze azt kell kihasználnunk, hogy [/color][b][color=#9900ff]az egyenlő szárú háromszög alapján fekvő szögek egyenlők. [/color][/b]

Belátható, hogy:[list][*][color=#980000][b]A[/b] [/color][b][color=#980000]G-háromszög szögösszege nagyobb az egyenesszögnél,[/color][color=#783f04] [/color][/b][color=#783f04]azaz defektusa negatív;[/color][/*][*][color=#b45f06] [b]Az egyenlő szárú G-háromszög alapon fekvő szögei egyenlők;[/b][/color][/*][*][b][color=#b45f06]A G-húrnégyszög két-két szemközti szögének az összeg egyenlő.[/color][/b][/*][/list][color=#333333]Ezt a legutóbbi kijelentésünket igazolja az alábbi applet.[/color]