En las posiciones extremas se tienen estrellas de 5 puntas asimétricas, pero simétricas una de la otra. Todos los polígonos coloreados son rígidos, pero las uniones entre ellos están articuladas.

Si el lado del pentagóno central es [b]1[/b], ¿cualto valen las áreas [b]S(n)[/b] de los sucesivos triángulos y trapecios?[br][br]Haciendo [b]a(0)=0[/b], [b]a(1)=1[/b] y [b]a(n)[/b] las longitudes en orden de los distintos lados de los polígonos, se tiene que[br][br][b]a(n+1) = 2cos(54º)a(n)+a(n-1) = √(10-2√5)/2 a(n) + a(n-1)[/b][br][br]Las alturas de los triángulos y de los trapecios es:[br][br][b]h(n) = sen(54º)a(n) = (√5+1)/4 a(n)[/b][br][br]Y las áreas serán entonces;[br][br][b]S(n)=h(n) (a(n-1) + a(n+1))/2 = (√5+1)/4 a(n)(a(n-1) + √(10-2√5)/4 a(n))[/b][br][br]donde para los triángulos es [b]n = 1[/b].[br][br]Resolviendo la recurrencia lineal homogénea de 2º orden para [b]a(n)[/b], se puede obtener explícitamente:[br][br][b]a(n) = √(82√5 + 1066)/82((√(26 - 2√5)/4 + √(10 - 2√5)/4)ⁿ - (√(10 - 2√5)/4 - √(26 - 2√5)/4)ⁿ)[/b][br][br][b]S(n) = ((√(13 - √5) + √(5 - √5))²ⁿ - (√(13 - √5) - √(5 - √5))²ⁿ)·√(164·√5 + 451)/(2³ⁿ⁺²41)[/b][br][br]Para [b]n = 1..5[/b][br][br][b]a(n) = 1, √(10 - 2√5)/2, 7/2 - √5/2, √(65 - 22√5), 16 - 4√5[/b][br][br][b]S(n) = √(2√5 + 10)/8, √(170 - 2√5)/8, √(3370 - 802√5)/8, 3√(9290 - 3422√5)/8, 5√(1450 - 610√5)[/b]