[size=200][b]VII. Warum Cosinus hyperbolicus?[/b][br][math]\quad\quad[/math]Lösung der Differentialgleichung[/size]

Die Kettenlinie soll mit einer Funktion [math]f\left(x\right)[/math] beschrieben werden.[br]Für die Ableitung [math]f'\left(x\right)[/math] dieser Funktion wurde auf der vorigen Seite eine Differentialgleichung (DGL) hergeleitet:[br][math][br]{\rm VIII}\quad\quad [br]\boxed{[br]a\cdot f''(x) = \sqrt{1+f'(x)^2} \quad\quad \textrm{DGL für die Kettenlinie}[br]}[br][/math][br]Aus Gleichung VIII folgt[br][math][br]\phantom{\mathrm{IX}}\quad\quad\quad[br]a\cdot\frac{f''(x)}{\sqrt{1+f'(x)^2}}\, = \, 1[br][/math][br]Wir integrieren auf beiden Seiten:[br][math][br]\phantom{{\rm X}\quad\quad\quad}[br]a\cdot\int{[br] \frac{f''(x)}{\sqrt{1+f'(x)^2}}[br]}\,\mathrm{d}x\, = \, \int{1}\,\mathrm{d}x [br][/math] oder anders geschrieben:[br][math][br]{\rm IX}\quad\quad\quad[br]a\cdot\int{[br] \frac{1}{\sqrt{1+f'(x)^2}}\cdot f''(x)[br]}\,\mathrm{d}x\, = \, \int{1}\,\mathrm{d}x [br][/math][br]

[math][br]\phantom{{\rm IX}\quad\quad\quad}[br]\int{ 1 }\,\mathrm{d}x\, = \, \underline{x + C_1}[br][/math], [br]denn eine Stammfunktion zu [math]1[/math] ist [math]x[/math] oder [math]x+C_1[/math].

Für die linke Seite betrachten wir zunächst das etwas einfachere Integral[br][math][br]\int{\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}}\,\mathrm{d}t[br][/math][br]Hier können wir die [i]Substitutionsregel[/i] anwenden: [math]\int{f(t)}\,\mathrm{d}t=\int{f\left(\varphi(x)\right)\cdot\varphi'(x)}\,\mathrm{d}x[/math][br]In unserem Fall ist [math]f(t)=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}[/math].[br]Es wird substituiert: [math]t = \varphi(x)=\sinh(x)[/math]. [br]Dann ist [math]\varphi'(x)=\cosh(x)[/math] und [math]x = \varphi^ {-1}(t)=\sinh^{-1}(t)[/math]. [br][size=85][Zu [math]\sinh(t)[/math] ist [math]\sinh^{-1}(t)= \operatorname{arsinh}(t)[/math] die Umkehrfunktion. Sie wird auch als [i]area sinus hyperbolicus[/i] bezeichnet.][/size][br]Anwenden der Substitutionsregel ergibt[br][math][br]\int{\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}}\,\mathrm{d}t = \int{\frac{1}{\sqrt{1+\left(\sinh(x)\right)^2}}\cdot\cosh(x)}\,\mathrm{d}x =\int{\frac{1}{\cosh(x)}\cdot\cosh(x)}\,\mathrm{d}x = \int{1}\,\mathrm{d}x = x + C = \sinh^{-1}(t) + C[br][/math], also[br][math][br]\int{\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}}\,\mathrm{d}t = \sinh^{-1}(t) + C[br][/math][br]Im nächsten Schritt interpretieren wir die Substitutionsregel andersherum und schreiben[br][math]\int{f\left(\varphi(x)\right)\cdot\varphi'(x)}\,\mathrm{d}x = \int{f(t)}\,\mathrm{d}t[/math].[br]Mit [math]f(t)=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}[/math] und [math]t = \varphi(x)[/math]wird daraus[br][math]\int{\frac{1}{\sqrt{1+\left(\varphi(x)\right)^2}}\cdot\varphi'(x)}\,\mathrm{d}x = \int{\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}}\,\mathrm{d}t = \sin^{-1}(t) + C = \sinh^{-1}\left(\varphi(x)\right)+C[/math].[br]Wenn [math]\varphi(x)[/math] nun für die Ableitung der Kettenlinienfunktion, also für [math]f'(x)[/math] steht, gilt demzufolge[br][math]\int{\frac{1}{\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}}\cdot f''(x)}\,\mathrm{d}x = \sin^{-1}\left(f'(x)\right)+C[/math][br]und somit[br][math]a\cdot\int{\frac{1}{\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}}\cdot f''(x)}\,\mathrm{d}x = \underline{a\cdot\left(\sin^{-1}\left(f'(x)\right) + C\right)}[/math].

In Gleichung IX werden linke und rechte Seite durch die Terme aus (2.) und (1.) ersetzt: [br][math][br]\begin{array}{lrll}[br] &[br]a \cdot \left(\sin^{-1}\left(f'(x)\right)+C\right) [br]&[br]=\; x + C_1[br]&[br]\\[br] &[br] \sin^{-1}\left(f'(x)\right) [br]&[br]=\; \frac{x}{a} + \frac{C_1}{a} - C[br]&\quad\quad \vert \textrm{ ersetzen } \frac{C_1}{a} - C =:\frac{-c}{a}[br]\\[br]&[br] \sin^{-1}\left(f'(x)\right)[br]&[br]=\; \frac{ x -c}{a}[br]&\quad\quad \vert \sinh()[br]\\[br]{\rm X} [br]&[br] f'(x)[br]&[br]=\; \sinh\left(\frac{ x -c}{a}\right)[br]&[br]\\[br]\end{array}[br][/math][br]Die Funktionsgleichung X ist die allgemeine Lösung für die Funktion [math]f'(x)[/math]. Um daraus die allgemeine Funktion [math]f(x)[/math] für die Kettenlinie zur erhalten müssen beide Seiten noch einmal integriert werden. Das ergibt[br][math][br]\begin{array}{lrl}[br]\quad\quad &\int{f'(x)}\,\mathrm{d}x [br] &= \int{\sinh\left(\frac{x-c}{a}\right)}\,\mathrm{d}x[br]\\[br] &f(x)[br] &= a\cdot \cosh\left(\frac{x-c}{a}\right) + C_3[br]\end{array}[br][/math][br]Schreibt man [i]b[/i] für die Integrationskonstante [i]C[/i][sub]3[/sub], so erhält man die endgültige Lösung für die Kettenlinienfunktion[br][math][br]\mathrm{XI}\quad\quad\quad[br]\boxed{[br]f(x)[br]\,=\, a\cdot \cosh\left(\frac{x-c}{a} \right) + b[br]}[br][/math][br]Der Parameter [i]a[/i] in dieser Funktionsgleichung bestimmt die Streckung in x- und in y-Richtung und damit die Form des Funktionsgraphen. [br]Der Parameter [i]b[/i] bestimmt mit seinem Wert die vertikale Position des Graphen.[br]Der Parameter [i]c[/i] ist der Wert, um den der Graph parallel zur x-Achse verschoben ist.

Die Gleichung XI zeigt, dass der Faktor [i]a[/i] vor [math]\cosh[/math] der gleiche sein muss wie im Nenner vom Argument der Funktion.[br]Gelegentlich findet man im Internet Aufgaben zur Kettenlinie, bei denen der Faktor vor der [math]\cosh[/math]-Funktion (für die Streckung in y-Richtung) ein anderer ist als der im Nenner des Arguments (für die Streckung in x-Richtung).[br]Wird die Funktion [math]\cosh(x)[/math] jedoch in x-Richtung mit einem anderen Faktor gestreckt als in y-Richtung, handelt es sich zwar noch um eine [math]\cosh[/math]-Funktion, aber [i]nicht[/i] mehr um eine Kettenlinie, wie diese Herleitung zeigt.