Eine häufige Anwendung von bedingten Wahrscheinlichkeiten sind Gesundheitstests. Wir definieren dazu vier Ereignisse:[br][list][*][math]\mathbf K[/math] eine Person hat die untersuchte Krankheit[/*][*][math]\mathbf {\overline K}[/math] eine Person hat die untersuchte Krankheit nicht[/*][*][math]\mathbf {T}[/math] der Test auf die untersuchte Krankheit ist positiv[/*][*][math]\mathbf {\overline T}[/math] der Test auf die untersuchte Krankheit ist negativ[/*][/list]Dazu sind drei Wahrscheinlichkeiten besonders wichtig:[br][list][*]die [color=#980000][b]Prävalenz[/b][/color]: [math]P(K)[/math] ist die Wahrscheinlichkeit, mit der die Krankheit in der betrachteten Bevölkerung auftritt[/*][*]die [color=#980000][b]Sensitivität[/b][/color]: [math]P_K(\mathbf{T})[/math] ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Test eine kranke Person auch ls krank erkennt[/*][*]die [color=#980000][b]Spezifität[/b][/color]: [math]P_{\overline{K}}(\mathbf{\overline{T}})[/math] ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Test [b][i]richtig[/i][/b] erkennt, dass die Person die Krankheit [i][b]nicht[/b][/i] hat (also Testergebnis negativ)[/*][/list][br]

Als erstes definieren wir die Ereignisse:[br][list][*][math]\mathbf{C}[/math] eine Person hat Corona[/*][*][math]\mathbf{\overline C}[/math] eine Person hat kein Corona[/*][*][math]\mathbf{T}[/math] der Schnelltest war positiv[/*][*][math]\mathbf{\overline T}[/math] der Schnelltest war negativ[/*][/list][br]Die Berliner Universitätsklinik Charité hat im Mai 2021 die Sensitivität von Corona-Schnelltests als [math]P_C(T)=80\%[/math] bestimmt und die Spezifität war [math]P_{\overline{C}}(\overline{T})=99,5\%[/math]. Laut RKI gab es in Deutschland am 26.11.2022 [math]566\,000[/math] aktive Coronafälle, das heißt die Prävalenz ist bei einer Einwohnerzahl von 83 Millionen [math]P(C)=\frac{566\,000}{83\,000\,000}\approx 0,7\%[/math]. Damit lässt sich folgendes Baumdiagramm aufstellen:

[math][br]\begin{array}{c | c | c | c }[br]& C & \overline{C} & \\[br]\hline[br]T & P(C\cap T)=0,0056&P(\overline C\cap T)=0,004965 & P(T)=0,010565\\[br]\hline[br]\overline T & P(C\cap\overline T)=0,0014& P(\overline C \cap\overline T)=0,988035 & P( \overline T)=0,989435\\[br]\hline[br]& P(C)=0,007 & P( \overline C)=0,993 & 1[br]\end{array}[/math]

Gefragt ist hier: Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind Sie krank, unter der Bedingung, dass ihr Test vorher positiv war? Also [math]P_T(C)[/math][br][br]Mit Hilfe der Vierfeldertafel lässt sich diese Wahrscheinlichkeit bestimmen:[br][math]P_T(C)=\frac{P(T\cap C)}{P(T)}=\frac{0,0056}{0,010565}\approx0,53=\underline{\underline{53\%}}[/math][br][br]Dieses Ergebnis scheint doch überraschend: Ob wohl die Sensitivität des Tests mit 80% und die Spezifität mit 99,5% sehr hoch scheinen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie krank sind, nur etwas mehr als 50%.[br][br][b]Dies ist ein typisches Ergebnis für einen Test, bei dem die Prävalenz sehr klein ist.[br][br][color=#980000]Trauen Sie bei einer kleinen Prävalenz erstmal keinem Testergebnis![/color][/b]

Tests, bei denen eine kleine Prävalenz vorliegt, haben ein unsicheres Ergebnis. Das liegt daran, dass die "falsch-positiven" Ergebnisse, dass jemand gesundes als krank diagnostiziert wird, genauso oft oder sogar häufiger vorkommen, als die tatsächlich positiven Testergebnisse.[br][br][b][color=#980000]Sie sollten daher in einem solchen Fall bei einem positiven Testergebnis grundsätzlich mindestens einen zweiten Test machen lassen. [/color][/b][br][br]Im Beispiel oben haben Sie bei einem positiven Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von 53% tatsächlich Corona. Das heißt, wenn der Test einmal positiv war, dann ist danach die Prävalenz schon 53% und damit das Testergebnis des zweiten Tests schon wesentlich aussagekräftiger.