Länge: 2-(-1) = 3 (x-Koordinaten)[br]Breite: 3-(-1) = 4 (y-Koordinaten)[br]Höhe: 3-1 = 2 (z-Koodinaten)[br]B(2|3|1), C(-1|3|1), D(-1|-1|1), E(2|-1|3), F(2|3|3), H(-1|-1|3)

[math]V=4\cdot3\cdot2=24[/math] Volumeneinheiten

Die x- und y-Koordinaten sind positiv und negativ, die z-Koordinate nur positiv, d.h. der Quader liegt in den "oberen" vier Oktanten, also in I, II, III, IV.

Der Quader liegt oberhalb der xy-Ebene, also können die x- und y-Achse nicht geschnitten werden. Da positive und negative x- und y-Koordinaten vorkommen, wird die z-Achse geschnitten und zwar in den Punkten S(0|0|1) und T(0|0|3).

z-Achse: Die z-Koordinaten bleiben gleich, also befindet sich auch der gespiegelte Quader oberhalb der xy-Ebene und befindet sich in den Oktanten I bis IV.[br]xy-Ebene: Der Quader befindet sich in den Oktanten V-VIII.

[math]\vec{AB}=\left(5\left|4\right|8\right),\vec{CD}=\left(10\left|8\right|16\right)[/math] [color=#e06666][i](Achtung, eigentlich untereinander geschrieben, da Vektoren und keine Punkte)[/i][/color]

[math]\mid\vec{AB}|=\sqrt{105},\mid\vec{CD}\mid=2\sqrt{105}[/math]

Es gilt [math]2\cdot\vec{AB}=\vec{CD}[/math], also ist [math]\vec{CD}[/math] doppelt so lang wie [math]\vec{AB}[/math]. Beide Vektoren sind also gleich orientiert und parallel.

[math]\vec{AB_0}=\frac{1}{\sqrt{105}}\cdot\left(5\left|4\right|8\right),\vec{CD}_0=\frac{1}{2\cdot\sqrt{105}}\cdot\left(10\left|8\right|16\right)=\frac{1}{\sqrt{105}}\cdot\left(5\left|4\right|8\right)[/math]

[math]\vec{0}[/math] (Achtung! Nullvektor!)

1) [math]=\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD}=\vec{AD}[/math][br]2) [math]=2\vec{P}-\vec{P}+\vec{RS}+\vec{PQ}+\vec{QR}=\vec{P}+\vec{PQ}+\vec{QR}+\vec{RS}=\vec{S}[/math]

[math]\vec{a}=\vec{u}+\vec{w}[/math][br][math]\vec{b}=\vec{u}+\vec{w}+\vec{v}[/math][br][math]\vec{c}=\frac{1}{2}\vec{u}+\vec{v}[/math]

Sei [math]\mid\vec{b}\mid[/math] die Länge der Diagonale der Grundfläche, dann gilt nach Pythagoras:[br][math]\mid\vec{b}|^2=\mid\vec{a}|^2+|\vec{a}|^2\Rightarrow\mid\vec{b}|=\sqrt{2}\cdot\mid\vec{a}|[/math][br]Für die Raumdiagonale gilt ebenfalls nach Pythagoras:[br][math]|\vec{d}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+2\cdot|\vec{a}|^2=3\cdot|\vec{a}|^2\Rightarrow\mid\vec{d}|=\sqrt{3}\cdot|\vec{a}|[/math]

[math]\vec{a}=\vec{v}-\vec{u}[/math][br][math]\vec{b}=\vec{v}+\vec{u}[/math]

[math]3\cdot\left(2\left|1\right|0\right)+2\cdot\left(-3\left|0\right|1\right)=\left(6\left|3\right|0\right)+\left(-6\left|0\right|2\right)=\left(0\left|3\right|2\right)[/math][br][math]\Rightarrow\vec{c}=3\cdot\vec{a}+2\cdot\vec{b}[/math][br]Betrachte die y- und z-Koordinate. Will man [math]\vec{d}=\left(1\left|1\right|1\right)[/math] mit Hilfe von [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}[/math] darstellen, so muss man [math]\vec{d}=1\cdot\vec{a}+1\cdot\vec{b}[/math] wählen. [br]Aber: [math]1\cdot\vec{a}+1\cdot\vec{b}=\left(2\left|1\right|0\right)+\left(-3\left|0\right|1\right)=\left(-1\left|1\right|1\right)\ne\vec{d}[/math]

[math]|\vec{v}|=\sqrt{\left(1-x\right)^2+\left(1+x\right)^2+\left(-4\right)^2}=\sqrt{1-2x+x^2+1+2x+x^2+16}=\sqrt{2x^2+18}[/math][br]Länge 10 bedeutet, dass [math]2x^2+18=100[/math][br]Also: [math]x^2=41\Rightarrow x_1=\sqrt{41},x_2=-\sqrt{41}[/math]

[math]|\vec{AB}|=|\left(4\left|3\right|3\right)|=\sqrt{34}[/math][br][math]|\vec{AC}|=\left(k\left|0\right|0\right)=\sqrt{k^2}[/math][br][math]|\vec{BC}|=|\left(k-4\left|-3\right|-3\right)|=\sqrt{\left(k-4\right)^2+\left(-3\right)^2+\left(-3\right)^2}=\sqrt{k^2-8k+34}[/math][br][math]\vec{AB}[/math] und [math]\vec{AC}[/math] gleich lang für [math]k^2=34[/math], also [math]k_1=\sqrt{34},k_2=-\sqrt{34}[/math][br][math]\vec{AB}[/math] und [math]\vec{BC}[/math] gleich lang für [math]34=k^2-8k+34\Leftrightarrow k^2-8k=0,[/math] also [math]_{ }k_3=0,k_4=8[/math][br][math]\vec{AC}[/math] und [math]\vec{BC}[/math] gleich lang für [math]k^2=k^2-8k+34\Leftrightarrow8k=34,[/math] also [math]k_5=4,25[/math]