[b]Die Zykloide ist die Kurve, die von einem festen Punkt auf einem[br]Kreis gezeichnet wird, der auf einer Geraden abrollt[/b]

[list][*]Gewöhnliche Zykloiden werden von Punkten auf der Lauffläche eines Autoreifens oder sonstiger Laufräder (Eisenbahn, Seilbahn) und von den Punkten längs der Lauffläche rollender [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Murmeln]Murmeln[/url] beschrieben.[/*][*]Verkürzte Zykloiden werden von Punkten mit einem Radius kleiner dem der Lauffläche beschrieben, etwa Punkte von [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Speiche_(Rad)]Fahrradspeichen[/url] oder die Ansatzpunkte von [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Pleuelstange]Pleuelstangen[/url]bei einer [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Dampflokomotive]Dampflokomotive[/url].[/*][*]Verlängerte Zykloiden werden von Punkten mit einem Radius größer dem der Lauffläche beschrieben; im Fall von [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Eisenbahn]Eisenbahnen[/url] wären das alle Punkte des [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Spurkranz]Spurkranzes[/url].[/*][/list][size=150]Die Form einer gewöhnlichen Zykloide gleicht einer Aneinanderreihung weiterer [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Kreisbogen]Bögen[/url], die verlängerte Zykloide weist an den Spitzen zwischen den Bögen noch Schleifen auf, während bei den verkürzten Zykloiden die Spitzen abgerundet sind.[br]Eine [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone]Brachistochrone[/url] beziehungsweise Tautochrone entsteht durch [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Spiegelung_(Geometrie)]Spiegelung[/url] einer Zykloide an der [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Abszisse]x-Achse[/url].[/size]

Eine gewöhnliche Zykloide entsteht, wenn ein Kreis auf einer Geraden abrollt. Anschaulich gesprochen bewegt sich ein Punkt auf einem Reifen eines fahrenden Fahrrades (näherungsweise das [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Ventil]Ventil[/url]) auf einer gewöhnlichen Zykloide. Die [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Katakaustik]Katakaustik[/url], die [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Evolute]Evolute[/url] und die [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Evolvente]Evolvente[/url] der Zykloide sind selbst wieder Zykloiden. Die [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Mittelpunkt]Mittelpunkte[/url] der [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Kr%C3%BCmmungskreis]Krümmungskreise[/url] einer Zykloiden liegen vollständig auf ihrer Evolute.[br]Eine verkürzte Zykloide entsteht, wenn die Bahn eines Punktes im Inneren des Kreises betrachtet wird, anschaulich etwa der Seitenstrahler beim Fahrrad. Eine verlängerte Zykloide setzt dagegen voraus, dass ein Punkt außerhalb des abrollenden Kreises sich mit dem Kreis mitbewegt. Diese beiden Kurven heißen auch Trochoiden ([url=https://de.wikipedia.org/wiki/Altgriechische_Sprache]altgriechisch[/url] τροχός [i]trochos[/i]»Rad«).