[code][/code]Führen Sie im folgenden Applet Schritt für Schritt die Konstruktion mit den Steuerungspfeilen [img]https://mategnu.de/bilder/modul_3/KonstruktionStrg.png[/img] unter der 3D-Ansicht durch. [br]a) Begründen Sie, warum die Spurpunkte [code][/code][code]A, B, C[/code] in der Ebene [code]E[/code] liegen. Wie wurden die Spurpunkte wohl berechnet?[br]b) Erklären Sie, wie sich aus den Spurpunkten die Parameterform der Ebenengleichung für [code]E[/code] ermitteln lässt.[br]c) Ermitteln Sie eine Parameterform der Ebenengleichung, blenden Sie die bereits eingezeichnete Ebene im Applet aus und geben Sie die Ebenengleichung in Parameterform rechts im Eingabefeld ein. Überprüfen Sie damit ihr Ergebnis.[br]d) In c) wurden Sie aufgefordert EINE Ebenegleichung in Parameterform anzugeben - könnte es mehrere geben? Begründen Sie.[br]e) Man nennt die im Applet angegebene Form der Ebenengleichung [b]Koordinatenform[/b]. Stellen Sie eine Vermutung auf, warum.
a) Setzt man die Punkte in die im Applet angegebene Ebenengleichung E:x+2y+3z=6 ein, erhält man eine wahre Aussage. Die Punkte erfüllen also die Gleichung und liegen deshalb in der Ebene.[br]b) Die drei Spurpunkte [math]\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}[/math] bilden ein Dreieck, liegen also nicht auf einer Geraden, also lässt sich mit ihnen eine Ebene definieren. Man kann z.B. [math]\vec{A}[/math] als Bezugspunkt wählen und die beiden Vektorpfeile [math]\overrightarrow{AB}[/math] und [math]\overrightarrow{AC}[/math] als Richtungsvektoren der Ebene. Dann erhält man folgende Gleichung:[br][math]\vec{X}=\vec{A}+s \cdot \overrightarrow{AB}+t \cdot \overrightarrow{AC}[/math].[br]d) Wählt man [math]\vec{B}[/math] als Bezugspunkt und die beiden Vektorpfeile [math]\overrightarrow{BA}[/math] und [math]\overrightarrow{BC}[/math] als Richtungsvektoren der Ebene entsteht eine andere Gleichung für dieselbe Ebene.[br]e) In der Koordinatenform entsprechen die Koordinaten jedes Punkts der Ebene direkt x, y und z.[br]