Einführende Aufgaben
Antworten sehen
Um die Lösungen der folgenden Aufgaben zu sehen, geben Sie in die [br]Lösungsfelder ein beliebiges Zeichen ein und drücken dann auf "Antwort [br]überprüfen". Aber rechnen Sie lieber erst mal selbst.
Sparkonto mit Zinseszinz
Sie bekommen das Angebot Ihres Lebens: Eine Bank bietet Ihnen für Ihr Erspartes [math]5\%[/math] Zinsen pro Jahr. Sie legen 1000€ auf dieses Konto.
a)
Wie viel Geld ist nach drei Jahren auf dem Konto?
b)
Nach wie viel Jahren haben sie mehr als 2000€?
c)
Bestimmen Sie eine Funktion [math]g(x)[/math], mit der Sie berechnen können, wie viel Geld nach [math]x[/math] Jahren auf dem Konto liegt.
Sichtweite
Je weiter ein Gegenstand entfernt ist, desto ungenauer kann man ihn erkennen. Das liegt daran, dass der Kontrast zum Hintergrund mit größeren Entfernungen abnimmt. [br]Nehmen wir an, wir haben an einem Tag klare Sicht. Bei klarer Sicht nimmt der Kontrast pro Kilometer Entfernung um 17% ab. Gehen Sie davon aus, dass der Kontrast bei einem Abstand von [math]x=0km[/math] genau gleich 1 ist.
a)
Wie groß ist der Kontrast, wenn ein Gegenstand 3 Kilometer entfernt ist?
b)
Die Sichtweite ist als die Entfernung definiert, in der der Kontrast nur noch [math]2\%[/math] beträgt. Berechnen Sie nach wie viel Kilometern diese Entfernung erreicht ist.
c)
Bestimmen Sie eine Funktion [math]K(x)[/math] für den Kontrast. Setzt man für die Variable [math]x[/math] die Entfernung in Kilometern ein, dann soll diese Funktion den Kontrast wiedergeben.
Wachstums- und Zerfallsvorgänge
Im wesentlichen unterscheidet man 4 Arten für Wachstums- und Zerfallsvorgänge:[br][list][br][*]lineares Wachstum oder linearen Zerfall[/*][*]exponentielles Wachstum oder exponentiellen Zerfall[/*][*]beschränktes Wachstum oder beschränkten Zerfall[/*][*]logistisches Wachstum[/*][br][/list]Eine logistische Zerfallskurve ist vielleicht auch denkbar, dafür gibt es aber kaum Beispiele aus dem Leben.[br][br]Im Folgenden werden die Funktionsgleichungen der Wachstumsarten vorgestellt. Dabei werden folgende Bezeichnungen für die Parameter verwendet:[br][table][br][tr][td][math]f_0[/math][/td][td]Der Startwert. Es gilt [math]f_0=f(0)[/math][/td][/tr][br][tr][td][math]k[/math][/td][td]Dieser Parameter steht für die Geschwindigkeit des Vorgangs. [/td][/tr][br][tr][td][math]G[/math][/td][td]Dies ist eine obere oder untere Grenze eines Wachstums- oder Zerfallsvorgangs, die niemals über- oder unterschritten wird.[/td][/tr][br][/table][br]
Lineare Wachstums- oder Zerfallsvorgänge
Beispiele:[br][list][*]Ein Haar wächst jede Woche [math]2\,mm[/math].[/*][*]Eine brennende Kerze wird jede Stunde [math]2\,cm[/math] kürzer.[/*][/list][br][img]data:image/png;base64,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[math]f(t)=k\cdot t+f_0[/math][br][math]k>0\Rightarrow[/math] Lineares Wachstum[br][math]k<0\Rightarrow[/math] linearer Zerfall[br][br]Differentialgleichung: [math]f'(t)=k[/math][br][br]In Worten die Änderungsrate ist eine konstante Zahl.
Exponentielle Wachstums- und Zerfallsvorgänge
Beispiele:[br][list][*]Die Anzahl Bakterien verdoppelt sich jede Stunde (nimmt also jede Stunde um [math]100\%[/math] zu)[/*][*]SIchtweite: Eine Lampe wird von einem Beobachter entfernt. Die Helligkeit verringert sich alle [math]100\,m[/math] um [math]30\%[/math][/*][/list][img]data:image/png;base64,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Wachstums- oder Zerfallsvorgänge sind imme dann vorhanden, wenn sich der Bestand prozentual ändert.[/b][br][br]Funktionsgleichung: [math]f(t)=f_0\cdot e^{k\cdot t}=f_0\cdot a^t[/math][br][math]k>0[/math] oder [math]a>1[/math] [math]\Rightarrow[/math] Exponentielles Wachstum[br][math]k<0[/math] oder [math]a<1[/math] [math]\Rightarrow[/math] Exponentieller Zerfall[br][br][math]k[/math] nennt sich [b][color=#980000]Wachstumskonstante[/color][/b][br][math]a[/math] nennt sich [b][color=#980000]Wachstumsfaktor[/color][/b][br][br]Differentialgleichung: [math]f'(t)=k\cdot f(t)[/math][br][br]In Worten: Die Änderungsrate ist proportional zum Bestand.
Beschränkte Wachstums- oder Zerfallsvorgänge
Beispiele:[br][list][*]Ein heißes Getränk kühlt sich ab. Die [b]Temperaturdifferenz[/b] zur Raumtemperatur sinkt alle 2 Minuten um [math]5\%[/math][/*][*]Ein kaltes Getränk aus dem Kühlschrank wird wärmer sich ab. Die [b]Temperaturdifferenz[/b] zur Raumtemperatur sinkt alle 2 Minuten um [math]5\%[/math] [/*][/list][br][img]data:image/png;base64,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[math]f(t)=G+(f_0-G)\cdot e^{-k\cdot t}[/math][br]Hier ist [math]k[/math] immer eine positive Zahl[br][math]G > f_0 \Rightarrow[/math] beschränktes Wachstum[br][math]G < f_0 \Rightarrow[/math] beschränkter Zerfall[br][br]Differentialgleichung: [math]f(t)=k\cdot(G-f(t))[/math][br][br]In Worten: die Änderungsrate ist proportional zur Differenz aus einer Grenze und dem Bestand.
Logistisches Wachstum
Beispiel:[br][list][*]Fische vermehren sich in einem kleinen Teich. Zuerst wächst die Anzahl schnell (wie in einem großen See) dann bleibt die Anzahl konstant, weil für mehr Fische nicht genug Nahrung vorhanden ist.[/*][/list][img]data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAMgAAAC8CAYAAAA96+FJAAAABHNCSVQICAgIfAhkiAAAHWZJREFUeF7tXWmYVMXVPrPvw+yDCCICigshLhEXjEswimGJIm6oYXFNyPIZYxJD4hOjyY/4iUk+EaMhPjGSqBgQFbe4IEQSVAiCREAQRHSAYYZhFhhm6e99i76dnp7umd7u7b7T5zxPM9ytqu5b9d6qOnXqnDQPRFQUAUUgKALpQc/acPLgwYOyfft2G1LWJBUB+xBwjCD//Oc/5e677xbtsOyrTE05/gg4RpCWlhbZu3dv/N9AU1QEbETAMYJs3rxZduzYIRxqqSgCbkHAEYIcOnRIVqxYIevXr5edO3e6BRstpyIgjhCEQ6uFCxcKibJx40aFXRFwDQKOEOSjjz7yAfL222+7BhwtqCLgCEHWrFnjQ3r58uXS3NysyCsCrkDAdoK0tbXJ66+/3oUgn3/+uSvA0UIqArYTpLa2Vp599tkuSG/atEmRVwRcgYDtBNmyZUs3IN55551u5/SEIpCMCNhOkLVr13Z7b/YoBw4c6HZeTygCyYaArQTp7OyUJUuWdHtnTto//fTTbuf1hCKQbAjYShBOxt97772g76zzkKCw6MkkQyDTzvJwgXD69Okmi23btgmHW5MmTTLH+/fvtzNrTVsRiAsCaU7tB6Gq949//KM8/vjjcSm4JqIIOIGArUMs6wWotXrzzTeNqbuauztRrZpHvBBwhCA1NTUSTN0br5fQdBQBuxBwhCATJkyQmTNn2vUOmq4iYBsCjhDEttJrwoqAzQgoQWwGWJN3NwK2qnmdhMbaa0Lbr7S0NDniiCPkmGOOkaysLCeLEVVeVFxwzYjbAjo6OiQ/P19GjBgh/fr1iyo9fSh+CPSJHoSk+O53vyt/+9vfDDJcwX/qqafkrrvuih9SNqVklfW2226TPXv2SG5urnAR9cYbbzRrRyqJRcD1PQi/uPfdd5+cd955MmXKFElPP8z5888/X7gP3hI2xPb2dqNmpkatpKREBgwYYGzCPv74Y0OqgQMHmvOWsFfKyMgwX/f6+npzf3l5ubnMa4HCvDMzM00eu3btMg0+JyfH9GQ8H0yoAn/mmWfkkUce8fUYZ555pkycOFH37wcDzOFzwWvN4ULEkh0bL3uOH/3oRz5yMD0Os4499lhf0h9++KHwK33OOefI0KFDDRlIih/+8Idy1llnSUFBgdx+++3ym9/8Ro477jjz3C233GLS4JCHjZ/bhtkzVVVVya9//WvjhIJCsrAMf/jDH+Syyy4z9mdPP/20fP3rX5d3333XDPNmz55tyBIoixYtkmnTpnUbTnF4pUOsQLQScMyVdCfktdde80ydOtWDRhnX7GC+4pkxY4YHPYkvXXy9PWi85tfa2mrOf/DBBx40OA/G+eaY96PRel5++WXfc1jt93zrW9/ylREN1/Pwww+b6yw3COR57rnnfPdb/3nllVc8Y8aMMfnBOZ4HJPTs27fPXMaGMQ+GSx44rej2HE9ccMEFHpDXdw27LX1lr6urC/qMnnQOAdf3IPymcPhiDa14/K9//ct4T2HvAGKY3oJy4YUXyuDBg83/+dV/8MEHTW/AOQwFDdLsfgT8pgeijB492vzl8Re/+MVuZvrvv/++gFTy5JNPmnzeeOMNKS4ulhdeeME8Z8nu3bu7HFsH7MX8h18cmoFwQotnDrW+8Y1vBH1OTzqDgOsJUlRUJBzHNzY2Cv9P4cIkG97cuXO7oMhhlNUYSQLOK770pS9JRUWF775x48b5yMGT/o3XIo1182effSazZs2SOXPmGPJQmO+wYcNMutb9p59+epe5jX+hTjjhBDMH4rCPMmTIELn55ptl8eLF0tDQ4H+r/j8BCLheizVo0CA59dRTha5N/SWwMQdiy4Z/9dVXm4kwG7T1Y0Pt7VmmRWtkznuuuuoq8ScVe6SVK1eaCb1/uv4k9C/L5ZdfbuYvgQ71wilD4DvpcfwRcH0Pwob+05/+1Kh5+UU/7bTTjOaJTuqotQq1DsLznLRzYv6Tn/zEaJo++eQT01DZ4HuThx56yEzS77jjDp86lpPq448/3vRgv/zlL+WKK64wPRDLQkUAyRwomLuYbQAsw+TJk6V///5meLh06VIZO3Zs4O167DACjpq7z58/35i72/F15BedGiOShFJdXW2GPZWVleaY5zkUs/ajWDhzrYFzFs5J+JUnwaxnuDWYQyX2BhRu/uJc5+STTzZDIA7r/GXkyJEmT6a1atUqQxy+K7Vio0aNCklWqqqpZVu3bp3QCwzXQk466SSjQSPZVRKHQJ8hSOIg1Jz7MgKun4P05crRd0s8AkqQxNeBliCJEXD9JD2JsdWiuQEBqOWp8sc/h0vr/b85B3GUIFwso/PqaCfpNNXgBNl/UZBrBVwMDCVU23LC7i+cDAdOsHmdk/Phw4d3uZearWAuiliWU045pcu7YPVcNmzY0K0ofF9O3vPy8nzXOBlfvXq1sd4NRzhhD1QVMy/mGSjUhFEr5y/UjAULgUeFAN/DX4gNMQoUNhoqLbKzs32XeI4qdqtB+T9D5YRlu2adD1VmWl9zDchfiDvxN+JtsMwnF/mPxIJvJ+zoOqF17IRSpBH/34IgTbzPnMP/PdBidra2yghgnAG8O/GDCYVZq3of/qFh5iAePOuhjzacowzG88aGGs9RHCUI1Z00LIxW2HipDfInCD2n0C4qlNAGKpAgMC+Rf/zjH90e4ZpEIEGoXaJKN1BIPJLVn+yhysIGxVV7f4JQ0zVv3rygDTwwLx7/4he/6EaQZcuWmVX3QLn++uu7EYQGmlzQDBSa1QcShKQLhinJvGDBgi4EYWN74IEHghpv3nvvvd0IYsr80kuHCYX02IjZaK+5+GIphdVCBxp2Jwjajo/pSmglH33rLcFXxDRg3se/w7Hg+z9eezlUgHmlnWjk9wb5UMKwSeZgnSzPTxsIoyT5P2gk+TdQvg88CrwLzrzmqBaLFquPPvpo1D0IG6N/I+MLsNJgbxX4nr5jNs5AS1qudbBiA4X3+X8deZ1fev4CJdKy8EvtT2x+CVmOYF/ewLx4HOw9+N7BeiA734P4B44AGF6vm+D9smhZjWttMOFpw4esHdbNjVB9H8RHpwMmNfzSWz1DJurW3O8n7aijtiCNmHflBKi/SYTWIHXK5HKRrq/M3vQOkGzI05z3yzcbbSCDx95zjvYg1OnTMjYQ4G7gRnDCSjOCR8w6Q7jCBcVQi42BaURSlmAEC0yvt+Ng1sGhnrHrPZhfPkjDL38bbNpa4aCjdetWOYShURv2tXSAFIHCRmcaXgAhutyHhuy7j7Z2bDckJ3+0ri4sNOfSUZdp+Aim8QOEnoU/c4xniDH/pqMOzTn+5Xn+aFntJYhpj96eKI1l4vlEECQQKD12KQJovG0YhrXS8gBkOIi50CH8Omk71lOjD3hdNvAMzPsyYGGQgX04GRjaZGK/TWZpqWR4G3wGiYDGnIaPKxst/2JIcPivA/A52oM48D6ahU0IcCJMQjT/5z/Sgkl5G7YHm8mtvwSQw3yx0cCzjjpKsqFkyAIZsjAZzwQRskAC87W3Gr33C25T8aNOVgkSNXR9/0FqiQ7A0rgJ2rYWmPF3cFtAkDkBz3HYkwki5GDynAMFRg5M/0mCTPQM5qufpATorRaVIL0hlGLXqSlqhRHmftinNUND1sF9LIGNG4RIRy+QA/Vw7oknSu7RR0sOewbsg4lkiOUGaJUgbqglB8rYgXWBJqjhG55/Xg5hE5ivp7DIgaFQFtZW8s8+W/KxhyUXvUUGeo1u5HGgrE5moQRxEu0kzKsdk+0GrAntx56UbhonkgKLd4XYiVnwhS+YXsIMl1JIlCApVNn+r9oOjdM+LNrthxOKTv9QFBg+ZcDyoBALd0Uw/edcgmrRVJXUffMUrXEOpdhjNGAPfWCPkQ0rhZLx46UA+1rM8EnFWVMTxTtxCHDy3Qjzir2I0dIBuyyfYBiVC/uq0ksvlXyoYlO5twhWO9qDBEOlj51rhe+w2ieekAPLl3dR0+bARqkMzvbyYX9krRz3sVeP+XWUIDFDmLwJ0BBwH4z96mAD58HQypJMrFOUTZ0qRbAw1h6j5/pTgvSMj2uv0jhwN4ZTB2gN6xXaK5XOmCEl554r6X6m9659SQcKrgRxAGRHs4AWqgnrGHvgQtWsfHslF07oKuGELsfrgMLRMrk4MyWIiysvsOgcUtVhr8s+bCkweycgNAEpu+EG02vQNkolMgSUIJHhlbR3dzQ1ye4//UmasRnJkiz46Kr+5jcl1+tuNWkLn8QFc4QgDANAL+wq9iBwCPjWcFeftU0W5iEFcH5Xde21QnNxlegR6LqFK/p0enyS8S/oSDqeG6V6zDCFLh6ECfpObCu2yMFhVBl6jf4IwKPkiL0hONKDXHfddSYkGmNmqMQPgRYECKqBi9NOaKwo6bCmrYIr1ELYTanEBwFHCEKv6pbn9fgUW1Np2bhRau6+2zg4oGTgA9T/xz+WPJieq8QPAUcIEr/iakpEgLv6SA5r8S8LC39HoOfIBklU4ouAEiS+eNqeWgscIey6557/kgOaqgE/+IFk+cU4sb0QKZSBEsRFlc3trzUghzWsysL21gFQfmSVlbnoLdxVVEe0WO6CJDlL2wovg4YcXk+KWXCip+Swv66UIPZjHHMOtKv6HN4jrf0bmXCTcwSiW+mwKmZoe01ACdIrRIm9gRucPofL0HYMrygZmGscceedku0NDJTY0vX93JUgSVzHtK3aBYtc40QBkgZ1eTVCteUceWQSl7pvFU0Jkqz1CavcvfAw0uJ1Ts19G1XQVuV7o+Ema7H7WrmUIElao/sRT3HfY4/5Sld6001SFBCmIEmL3qeKpQRJwuo8uH277IHxoRWzonDSJCmF6x0V5xFQgjiPeY85dsB0ZBc2O3lgvk6h98JKxHNPNX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1MvKOV5FkojPYN9DlFoAcEYiEHk1WC9ACuXlIElCDaBhSBHhBQgvQAjl5SBJQg2gYUgR4QUIL0AI5eUgSUINoGFIEeEFCC9ACOXlIElCDaBhSBHhBQgvQAjl5SBJQg2gYUgR4QUIL0AI5eUgT+HzIHgUnKwSFdAAAAAElFTkSuQmCC[/img][br][br]Funktionsgleichung: [math]f(t)=\frac{f_0\cdot G}{f_0+(G-f_0)\cdot e^{-k\cdot G\cdot t}}=\frac{G}{1+(\frac{G}{f_0}-1)\cdot e^{-k\cdot G\cdot t}}[/math][br][br]Differentialgleichung: [math]f'(t)=k\cdot f(t)\cdot(G-f(t))[/math]
Produktlebenszyklus
Anwendungen
Funktionsgleichungen sollen in der Regel als ein mathematisches Modell für Alltagssituationen sein. So kann man tatsächlich viele Wachstumsprozesse mit Hilfe von Exponentialfunktionen beschreiben (siehe [url=https://www.geogebra.org/m/zfszqkqz#chapter/838852]hier[/url]). Andere Prozesse, wie zum Beispiel eine Wurfparabel oder eine Kosten- oder Gewinnfunktion, lassen sich auch gut mit ganzrationalen Funktionen beschreiben. Für viele Anwendungen ist auch eine Kombination aus diesen beiden Funktionstypen interessant. Die Funktionsgrafen beginnen dann so, wie eine ganzrationale Funktion gehen aber für große Beträge von [math]x[/math] über in die Exponentialfunktion. [br]Beispiele dafür sind der Produktlebenszyklus eines Produktes oder die Wirkstoffkonzentration eines Medikamentes im Blut eines Patienten z.B. nach der Einnahme einer Medizin.
Die Produktlebenszyklus-Funktion
Die Produktlebenszyklus-Funktion beschreibt, wie hoch der Umsatz (Geld) oder der Absatz (Warenmenge) eines Unternehmens zu einem bestimmten Zeitpunkt ist. Die Funktionswerte werden daher in Umsatz pro Zeit (z.B. pro Monat) oder Absatz pro Zeit angegeben.[br]Ähnlich wie bei den Wachstumsfunktionen beschreibt hier die Abszisse die Zeit und nicht die Warenmenge, wie wir es von Kosten-, Erlös- oder Gewinnfunktionen gewohnt sind.[br]Typisch für viele Produkte ist, dass sie zu Beginn einen stark steigenden Absatz haben, irgendwann ein Maximum erreichen, um dann oft langsam wieder vom Markt zu verschwinden. Das lässt sich wunderbar mit einem Produkt aus einer ganzrationalen und einer Exponentialunktion beschreiben:
Fan-Utensilien
Manche Produkte haben zu einem bestimmten Zeitpunkt ihre Hauptsaison. Stellen sie sich vor im Februar ist die Basketball-Welteisterschaft und das Team Ihres Landes ist sehr beliebt und erfolgreich. Sie verkaufen daher Nachbildungen der Mannschaftstrikots. Der Verkauf geht Neujahr los und Ende Februar ist der höchste Absatz erreicht. Wenn im Laufe des Jahres die Euphorie der Fans abklingt, dann werden auch nicht mehr so viel Trikots gekauft.[br]Der Funktionsterm des im oben stehenden Applet abgebildeten Produktlebenszyklus ist:[br][math]\text{\Large{\[ab(t)=10\, (t-a)^2\cdot e^{-(t-a)}\]}} [/math][br]An Hand des Parameters [math]a[/math] können Sie den Funktionsgrafen entlang der Zeitachse verschieben, falls die Weltmeisterschaft nicht Anfang Januar beginnt, sondern in einem anderen Monat, zum Beispiel Anfang April ([math]a=3[/math])
Verketten von Funktionen
Was ist eine verkettete Funktion?
Wenn man in eine äußere Funktion [math]a(x)[/math] an Stelle des [math]x[/math] keine Zahl sondern eine Funktionsgleichung einsetzt (hier [math]i(x)[/math] für "innere Funktion"), dann erhält man eine verkettete Funktion.[br]Schreibweise: [br][math]\text{\Large{$\boxed{f(x)=a(i(x))=(a\circ i)(x)}$}}[/math][br]Die zweite Schreibweise ist seltener in Schulbüchern zu finden. Aber in der Hochschule wird sie oft verwendet.[br]Probieren Sie im folgenden Geogebra-Applet das Verketten von Funktionen aus:[br]
Grundzüge der Mengenlehre
Mengen und Zahlenmengen
Mengen sind im Grunde alles, was man irgendwie als Gruppe zusammenfassen kann. Die Menge der Schüler:innen einer Klasse, die Menge aller Autos auf unseren Straßen, die Menge aller schönen Geschenke, die man in seinem Leben erhalten hat ...[br]In der Mathematik gibt es Zahlenmengen:[br][list][*][b]Die Menge der natürlichen Zahlen[/b] (abgekürzt mit dem Symbol [math]\mathbb{N}[/math]) ist die Menge der Zahlen, mit denen man ganze Dinge zählen kann: [math]\mathbb{N}=\left\lbrace1, 2, 3, 4 ... \right\rbrace[/math]. Manchmal möchte man die Null dabei haben, dann schreibt man: [math]\mathbb{N}_0=\left\lbrace0, 1, 2, 3, 4 ...\right\rbrace[/math][/*][*][b]Die Menge der ganzen Zahlen[/b] ([math]\mathbb{Z}[/math]): [math]\mathbb{Z}_0=\left\lbrace ...,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3 ...\right\rbrace[/math] In dieser Menge sind die Natürlichen Zahlen enthalten und alle negativen ganzen Zahlen.[/*][*][b]Die Menge der rationalen Zahlen[/b] ([math]\mathbb{Q}[/math]): Das ist die Menge aller Zahlen, die man als Bruch darstellen kann. Die Mathematiker schreiben das so: [math]\mathbb{Q}=\left\lbrace a,b \in \mathbb{Z}\vert \frac ab \text{ mit } b\neq 0\right\rbrace[/math][/*][*][b]Die Menge der irrationalen Zahlen[/b] ([math]\mathbb{I}[/math]): Das ist die Menge aller Zahlen, die sich nicht als Bruch darstellen lassen. Beispiele dafür sind die Kreiszahl [math]\pi[/math] oder [math]\sqrt{2}[/math][/*][*][b]Die Menge der reellen Zahlen[/b] ([math]\mathbb{R}[/math]): Das sind alle rationelen und alle irrationalen Zahlen zusammen.[br][/*][/list]
Elemente, Mengen und Teilmengen, Schreibweisen
Eine Menge besteht in der Regel aus vielen Teilen. Diese Teile nennt man [color=#980000][b]Element[/b][/color] der Menge.[br][list][*]Wenn [math]m[/math] ein [b]Element[/b] der Menge [math]M[/math] ist, dann schreibt man [math]m\in M[/math] (sprich: "m ist Element der Menge M").[/*][*] Wenn [math]q[/math] [b]kein Element[/b] der Menge [math]M[/math] ist, dann schreibt man [math]q\notin M[/math] (sprich: "q ist [b]kein[/b] Element der Menge M")[/*][*]Wenn die Menge [math]T[/math] in der Menge [math]M[/math] enthalten ist, dann schreibt man [math]T\subset M[/math] (sprich: T ist [b]Teilmenge[/b] von M)[/*][*]Wenn T in der Menge M enthalten oder gleich M ist, dann schreibt man: [math]T\subseteq M[/math][/*][*]Wenn die Menge [math]N[/math] nicht in der Menge [math]M[/math] enthalten ist, dann schreibt man [math]N\not\subset M[/math] (sprich: N ist [b] nicht Teilmenge[/b] von M)[/*][*]Wenn T nicht in der Menge M enthalten oder gleich M ist, dann schreibt man: [math]T\not\subseteq M[/math][/*][br][/list]
Mengen-Operationen
Man kann Mengen sehr schön in Kreisen veranschaulichen, sogenannten Finn-Diagrammen:[br][img]data:image/png;base64,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man alle Elemente zusammen nimmt, die sowohl Teil der Menge [math]A[/math] als auch Teil der Menge [math]B[/math] sind, dann erhält man die [color=#980000][b]Vereinigungsmenge[/b][/color] [math]A\cup B[/math]: ("A vereinigt mit 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man nur die Elemente betrachtet, die sowohl Element der Menge [math]A[/math] als auch Element der Menge [math]B[/math] sind, dann erhält man die [color=#980000][b]Schnittmenge[/b][/color]: [math]A\cap B[/math] ("A geschnitten mit B")[br][img]data:image/png;base64,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Elemente, die zu Menge [math]A[/math] gehören, aber nicht zur Menge [math]B[/math] sind Element der [color=#980000][b]Differenzmenge[/b][/color] "A ohne B": [math]A\setminus 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Elemente, die nicht zur Menge [math]A[/math] gehören, sind Element der [color=#980000][b]Komplementärmenge[/b][/color] [math]\overline{A}[/math] (im Bild unten 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Zufallsvariablen
Zufallsvariablen
Eine Zufallsvariable ist eine beliebige Größe, die vom Zufall abhängig ist. Das kann der Geldgewinn bei einem Glücksspiel sein, das kann die Länge eines ausgefallenen Haares sein oder die Anzahl wie viel 6-en fallen, wenn Sie 10 mal Würfeln.[br][br]Wenn man eine Zufallsvariable betrachtet, dann erstellt man sich in der Regel eine Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Beispiel: "Klein gewinnt"
Bei dem Glücksspiel [b][i][color=#980000]Klein gewinnt[/color][/i][/b] bekommen Sie beim Würfeln einer 1 einen Gewinn von 2€ (also Ihren Einsatz zurück plus zwei Euro), beim Würfeln einer 2 gewinnen Sie 0,5€, bei einer 3 oder einer 4 bekommen Sie Ihren Einsatz zurück und in allen anderen Fällen zahlen Sie 1€ an die Bank.[br]Daraus lässt sich folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung erstellen:[br][math]\begin{array}{c|c|c|c|c}[br]\text{Zufallsvariable X}& 2€&0,5€ & 0€ & -1€\\[br]\hline[br]\text{Wahrscheinlichkeit }P(x_i)&\frac 16&\frac 16&\frac 13&\frac 13 [br]\end{array}[/math]
Erwartungswert einer Zufallsvariablen
Wenn man wissen möchte, ob sich ein Glücksspiel lohnt, wenn man es nur lange genug spielt, dann berechnet man den Erwartungswert. Wie viel erwarte ich auf Dauer zu gewinnen?[br][br]Nennen wir unsere Zufallsvariable [math]X[/math], dann gibt es die einzelnen Ergebnisse: [math]x_1[/math], [math]x_2[/math], [math]x_3[/math] ...[br]Dann lautet die Formel zum Berechnen des Erwartungswertes [br][br][math]E(X)=x_1\cdot P(x_1)+x_2\cdot P(x_2)+x_3\cdot P(x_3)+...[/math][br][br]Diese Größe hat eine große Ähnlichkeit zum arithmetischen Mittel aus der Statistik. Oft wird auch das [b]Summenzeichen[/b] [math]\sum[/math] für diese Formel verwendet. Für [math]n[/math] verschiedene Zufallsvariablen gilt dann: [br][math]\displaystyle{E(X)=\sum_{i=1}^nx_i\cdot P(x_i)}[/math][br]Der Erwartungswert des oben genannten Glücksspiels ist: [br][math]E(X)=2€\cdot\frac{1}{6}+0,5€\cdot \frac 16+0€\cdot\frac{1}{3}+(-1€)\cdot\frac{1}{3}=\frac 1{12}€\approx 0,083€[/math][br]Dieses Glücksspiel sollten Sie spielen, wenn Sie Geld verdienen wollen. Sie sollten dabei im Schnitt ca. [math]0,08€[/math] also [math]8Cent[/math] verdienen.[br][br]Bei einem [color=#980000][b]fairen Spiel[/b][/color] ist der Erwartungswert [math]\mathit\mathbf\fgcolor{#980000}{E(X)=0€}[/math] . Das heißt die Bank gewinnt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit wie die Spieler:innen.
Machen Sie das Spiel fair (1. Methode)
Wenn Sie einen anderen Einsatz wählen, dann kann das Spiel fair werden. Bestimmen Sie den Einsatz, bei dem das Spiel fair ist.
Machen Sie das Spiel fair (2. Methode)
Es ist praktischer für ein Spiel, wenn eine runde Summe als Einsatz gezahlt wird. Der Einsatz soll also bei [math]1€[/math] bleiben. Auf wie viel Euro müssen Sie den Hauptgewinn beim Würfeln einer 1 verändern, wenn Sie ein faire Spiel haben wollen?
Standardabweichung einer Zufallsgröße
Wie in der Statistik, kann man hier von der Standardabweichung ablesen, ob der durchschnittliche Gewinn stark vom Mittelwert abweicht oder nicht. Die Gleichung für die Standardabweichung ist:[br][math]\sigma=\sqrt{\left(x_1-E(X)\right)^2\cdot P(x_1)+\left(x_2-E(X)\right)^2\cdot P(x_2)+\left(x_3-E(X)\right)^2\cdot P(x_3)+...}[/math][br]oder mit Summenzeichen:[br][math]\[ \sigma(X) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-E(X)\right)^2\cdot P(x_i)} \][/math][br][br]Für das obenstehende (nicht faire) Beispiel mit dem Erwartungswert von [math]E=\frac{1}{12}[/math] ist die Standardabweichung:[br][math]\sigma(X)=\sqrt{\left(2€-\frac 1{12}€\right)^2\cdot \frac 16+\left(0,5€-\frac 1{12}€\right)^2\cdot \frac 16+\left(0€-\frac 1{12}€\right)^2\cdot \frac 13+\left((-1)€-\frac 1{12}€\right)^2\cdot \frac 13}\approx 1,02€[/math][br][br]Das heißt, wenn Sie dieses Spiel spielen, dann gewinnen Sie [math]\frac{1}{12}€\approx8Cent[/math] pro Spiel, plus minus [math]1,02€[/math].[br]Die [b][color=#980000]Standardabweichung[/color][/b] ist also so etwas, wie [b][color=#980000]die mittlere Abweichung vom Erwartungswert[/color][/b].[br][br]Wenn Sie die Standardabweichung der beiden fairen Spielvarianten aus den oben stehenden Aufgaben berechnen, dann werden Sie feststellen, dass die Standardabweichung bei einem höherem Gewinn aber auch einem höheren Einsatz größer ist, als bei der zweiten Variante. Probieren Sie es aus.[br]Obwohl beide Spiele fair sind, und daher einen Erwartungswert von [math]0€[/math] haben, ist Ihr Glück bei der ersten Variante stärkeren Schwankungen ausgesetzt, denn Sie haben hier mehr zu gewinnen, aber auch mehr zu verlieren.
Die Bernoulli-Formel
Was ist ein Bernoulli-Experiment?
Ein [b][color=#980000]Bernoulli-Experiment[/color][/b] bzw. [b][color=#980000]Bernoulli-Zufallsexperiment[/color][/b] wird auch [b][color=#980000]Bernoulli-Prozess[/color][/b] oder [b][color=#980000]Bernoulli-Kette[/color][/b] genannt. Damit so ein Zufallsexperiment vorliegt, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:[br][list=1][*]Das Experiment hat nur zwei mögliche Ereignisse, also das gewünschte Ereignis [math]\mathbf{E}[/math] und das Gegeneeignis dazu [math]\mathbf{\overline{E}}[/math].[/*][*]Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten dieses Ereignisses [math]p(\mathbf{E})[/math] verändert sich nicht, wenn man das Experiment mehrmals durchführt.[br][/*][/list][br]Die folgenden Überlegungen, insbesondere die gesamte Theorie zur Binomialverteilung, setzen ein solches Bernoulli-Experiment voraus.
2 aus 5
Sie dürfen 5 mal würfeln. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Mal eine 6 fällt?[br]Das ist eine typische Frage für die Binomialverteilung.[br]Hier gibt es genau Ereignisse, "würfeln einer 6" und "würfeln einer anderen Zahl". [br]Das kann man doch in einem Baumdiagramm lösen? Der rote Pfeil heißt "Sechs" der schwarze steht für "keine Sechs".
Nicht sehr übersichtlich
Nach 5 Würfelversuchen, können genau so viel verschiedene Ergebnisse eingetreten sein, wie es Pfade im obenstehenden Wahrscheinlichkeitsbaum gibt. Es sind [math]2^5=32[/math] verschiedene Ergebnisse, die prinzipiell möglich sind. [br]Für zwei Sechsen bei fünf Würfelversuchen gibt es zehn verschiedene Möglichkeiten, diese sind oben im Bild grün mit durchgezogenen und gestrichelten Linien nachgezeichent. Die Wahrscheinlichkeit für jeden grünen Pfad ist die gleiche: [math]\left(\frac{1}{6}\right)^2\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^3[/math], denn jeder Pafad enthält zwei rote Pfeile ([math]p=\frac{1}{6}[/math]) und drei schwarze ([math]p=\frac{5}{6}[/math])[br]Da es 10 solcher Pfade gibt, ist die Wahrscheinlichkeit zwei Sechsen bei fünf Würfelversuchen zu erreichen nach den Pfadregeln für Baumdiagramme:[br][math]P(\text{2 von 5})=10\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^2\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^3\approx 0,1608\approx 16,1\%[/math][br][br]Das einzige, was dazu nötig war, diese Wahrscheinlichkeit auszurechnen, das waren[br][list][*]die Anzahl der Würfe [color=#980000][i][b]n[/b][/i][/color] (hier [color=#980000]5[/color] mal würfeln) [/*][*]die gewünschte Anzahl günstiger Ergebnisse [color=#980000][i][b]k[/b][/i][/color] (hier [color=#980000]2[/color] Sechsen)[/*][*]die Wahrscheinlichkeit [color=#980000][i][b]p[/b][/i][/color], mit der das günstige Ereignis eintritt (beim "Würfeln einer Sechs" also [math]p=\frac{1}{6}[/math])[/*][*]Die [color=#980000][b]Anzahl der Möglichkeiten[/b][/color], auf wie viel Wegen sich das günstige Ergebnis ([b]k[/b] Sechsen) erhalten lässt, wenn man [b]n[/b] Versuche macht.[/*][/list][br]
Das Pascal'sche Dreieck
Wie viel Möglichkeiten gibt es, wenn Sie 5 mal (n mal) würfeln, genau 2 (genau k) Sechsen zu erhalten? Das kann man sehr schön aus dem Pascal'schen Dreieck ablesen: [br]Im Pascal'schen Dreieck stehen außen nur Einsen und [b][color=#980000]jede andere Zahl ist die Summe der beiden Zahlen, die direkt darüber stehen[/color][/b].
n=5 und k=2 im Pascalschen Dreieck
Und wenn n sehr groß ist?
Wenn wir sehr große n haben, dann ist das erstellen eines Baumdiagrammes keine Option. Bei [math]n=20[/math] gibt es am unteren Ende schon über eine Millionen Äste ([math]2^{20}=1\,048\,576[/math]). Auch das Pascal'sche Dreieck ist für [math]n=20[/math] kaum noch auf ein Stück Papier zu bringen. Und zum Beispiel in der Qualitätskontrolle von Produkten rechnet man mit [math]n=100[/math] oder noch mehr. [br]Daher wäre es sehr hilfreich, wenn man auch ohne grafische Darstellung mit dem Pascal'schen Dreieck die Anzahl Möglichkeiten berechnen könnte, bei [math]n[/math]-maliger Versuchsdurchführung [math]k[/math] günstige Ergebnisse zu erhalten. Glücklicherweise gibt es eine Formel dafür, den [b]Binomialkoeffizienten[/b] "n über k":[br][br][math]\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}[/math][br][br]wobei das Ausrufezeichen [math]![/math], die "[b]Fakultät[/b]", eine eigene mathematische Bedeutung hat. Fakultät heißt: "multipliziere die Zahl mit dernächst kleineren ganzen Zahl und dann wieder mit der nächste kleineren usw.":[br][math]6!=6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1[/math][br]Dabei kann man die Eins am Ende natürlich auch weglassen (aber so sieht es schöner aus).
Die Bernoulli-Formel
Damit haben wir unseren letzten Baustein für die Binomialverteilung, oft auch Bernoulli-Formel genannt, zusammen: Die Anzahl, wie oft bei [math]n[/math] Versuchen das positive Ereignis eintritt, ist eine [color=#980000][i]Zufallsvariable[/i][/color] ([math]X[/math]). Und die Binomialverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für genau diese Zufallsvariable: Die Anzahl, wie oft das günstige Ereignis eintritt:[br][br][b]Die Wahrscheinlichkeit für k-maliges Auftreten eines günstigen Bernoulli-Experimentes bei n Versuchen ist[/b]:[br][math]\text{\Large{\[\boxed{P(n;p;X=k)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}}\]}}[/math][br][br]Dabei ist [br][math]n[/math] die Anzahl der durchgeführten Versuche[br][math]p[/math] die Wahrscheinlichkeit für das günstige Ereignis bei einmaliger Durchführung des Versuches [br][math]X=k[/math] die Häufigkeit, wie oft das günstige Ereignis vorkommen soll ist in der Binomialverteilung unsere Zufallsvariable [math]X[/math]. [math]X=k[/math] fragt also nach der Wahrscheinlichkeit für den Fall, dass die Zufallsvariable genau gleich [math]k[/math] ist.[br][br]Zwischen [math]n[/math], [math]p[/math] und [math]k[/math] schreibt man in der Regel ein Semikolon, weil sonst die Trennung der Zahlen im Deutschen nicht von einer Dezimalzahl zu unterschieden sind.
Verwendung des Taschenrechners HP-Prime und Geogebra
Für alle oben genannten Formeln, gibt es in CAS-Systemen wie Geogebra und den HP-Prime fertige Anweisungen:[br][br][size=200]HP-Prime[/size][br][b]Fakultät:[/b] [color=#0000ff][i][b]![/b][/i][/color] [shift]-[9]-[Enter] oder [Werkzeugkasten(Math)]-[5]-[1][br][b]Binomialkoeffizient "n über k":[/b] [color=#0000ff][b][i]comb(n,k)[/i][/b][/color] [Werkzeugkasten(Math)]-[5(Wahrscheinlichkeit)]-[1(Fakultät)][br][color=#0000ff][b][color=#000000]Binomialverteilung: [/color][/b][i][b]binomial(n,p,k)[/b][/i][/color] [Werkzeugkasten(Math)]-[5(Wahrscheinlichkeit)]-[6(Dichte)]-[5(Binom)][br][br][size=200]Geogebra:[/size][br][b]Fakultät:[/b] [color=#0000ff][i][b]![/b][/i][/color] ist einfach das Ausrufezeichen[br][b]Binomialkoeffizient "n über k":[/b] [color=#0000ff][b][i]nCr(n,k)[/i][/b][/color] [br][color=#0000ff][b][color=#000000]Binomialverteilung: [/color][/b][i][b]binomial(n,p,k,false)[/b][/i][/color] [Werkzeugkasten(Math)]-[5(Wahrscheinlichkeit)]-[6(Dichte)]-[5(Binom)][br][br]
Die Binomialverteilung grafisch
Vertrauensintervalle - die Herleitung
Die Herleitung des Vertrauens- oder Konfidenzintervalls
Von den Sigmaregeln haben wir gelernt, dass etwa [math]68\%[/math] aller Ergebnisse eines [math]n[/math]-fach wiederholten Bernoulli-Experimentes in der einfachen Sigma-Umgebung um den Erwartungswert zu finden sind. [br][br]Man kann auch umgekehrt argumentieren: [br][br]Wenn ein einziges solches Experiment gemacht wurde, dann liegt der Erwartungswert mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von etwa 68% im Bereich der einfachen Sigma-Umgebung um unser Messergebnis. Das ist in der Abbildung oben mit dem transparenten blauen Kasten um den blauen Messwert angedeutet. Der blaue Kasten ist genauso breit, wie eine sigma-Umgebung. Das Gleiche gilt natürlich auch für Vielfache der Sigma-Umgebung bei höheren Sicherheitswahrscheinlichkeiten.[br][br][b][color=#980000]Vertrauens- oder Konfidenzintervalle erlauben den Rückschluss von dem Messwert aus einer Stichprobe auf die Gesamtheit.[/color][/b][br][br]Sehen wir uns ein Beispiel an: [br][br]Wahlforschung: Eine Befragung von [math]n[/math] Personen wird durchgeführt und [math]M[/math] Personen geben an, dass sie die Partei [b][i]MLH[/i][/b] (Partei der [b]M[/b]athematik[b]L[/b]ieb[b]H[/b]aber) tatsächlich wählen wollen. Nach unseren Überlegungen oben muss - mit Hilfe der Sigmaregeln - folgende Ungleichung für den Erwartungswert [math]\mu[/math], die Standardabweichung [math]\sigma[/math] und die Anzahl der günstigen Ereignisse [math]M[/math] gelten:[br][br][math]\mu-c\cdot\sigma\le M\le\mu+c\cdot\sigma[/math][br][br]D.h. der Erwartungswert [math]\mu[/math] sollte mit der durch das [math]c[/math] vorgegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit in der [math]c[/math]-fachen Sigma-Umgebung um unseren Messwert [math]M[/math] herum liegen. Teilen wir diese Ungleichung durch [math]n[/math], dann erhalten wir mit [math]\mu=n\cdot p[/math], [math]\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}[/math] und der relativen Häufigkeit [math]h_n=\frac{M}{n}[/math][br][br][math]p-c\cdot\frac{\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}}{n}\le h_n\le p+c\cdot\frac{\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}}{n}[/math][br][br]Da [math]n=\sqrt{n^2}[/math] ist, kann man mit [math]\frac{\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}}{\sqrt {n^2}}=\sqrt{\frac{n\cdot p\cdot (1-p)}{n^2}}=\sqrt{\frac{p\cdot (1-p)}{n}}[/math] die Ungleichung auch so schreiben:[br][math]p-c\cdot\sqrt{\frac{p\cdot(1-p)}{n}}\le h_n\le p+c\cdot\sqrt{\frac{p\cdot(1-p)}{n}}[/math][br]Wir ziehen von allen Gliedern dieser Ungleichung [math]p[/math] ab und erhalten:[br][math]-c\cdot\sqrt{\frac{p\cdot(1-p)}{n}}\le h_n-p\le c\cdot\sqrt{\frac{p\cdot(1-p)}{n}}[/math][br]Und wenn nun alle Glieder dieser Ungleichung quadriert werden, dann fällt der linke Teil weg. Denn weil [i]minus mal minus = plus[/i] gilt, ist der linke Teil dann identisch mit dem rechten Teil der Ungleichung:[br][math]\Large \boxed{(h_n-p)^2\le c^2\cdot\frac{p\cdot(1-p)}{n}}[/math][br]Wenn man aus dieser Ungleichung die Gleichung [math](h_n-p)^2= c^2\cdot\frac{p\cdot(1-p)}{n}[/math] erstellt und diese nach p auflöst, dann erhält man zwei Zahlen als Ergebnis: Eine untere und eine obere Grenze eines Intervalls, in dem die Wahrscheinlichkeit [math]p[/math] im Rahmen der vorgegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit liegen wird.[br]
Lösen der Gleichung
Diese Gleichung wird in der Schule eigentlich immer mit einem CAS gelöst: [br]Mit dem HP-Prime: [color=#0000ff]solve([/color] [math]\fgcolor{#0000FF}{(h_n-p)^2= c^2\cdot\frac{p\cdot(1-p)}{n}}[/math] [color=#0000ff], [/color][math]\fgcolor{#0000FF}{p}[/math][color=#0000ff])[/color][br][br]Es geht aber auch händisch mit der pq- oder der Mitternachtsformel:[br][math]\begin{array}{ll}(h_n-p)^2&= c^2\cdot\frac{p\cdot(1-p)}{n}\\&= \frac{c^2}n\cdot(p-p^2)\end{array}[/math][br][math]\Rightarrow h_n^2 -2\,h_n\,p+p^2= \frac {c^2}n\cdot p-\frac {c^2}n\cdot p^2[/math][br]Da es einfacher ist ohne Brüche zu rechnen, multiplizieren wir hier die Gleichung mit [math]n[/math]:[br][math]\Rightarrow h_n^2\,n -2\,h_n\,n\,p+n\, p^2= c^2\, p-c^2\, p^2[/math][br]Nun alle Terme auf eine Seite bringen und nach Potenzen von [math]p[/math] sortieren:[br][math]\Rightarrow n\, p^2+c^2\, p^2 -2\,h_n\,n\,p-c^2\, p+h_n^2\,n= 0[/math][br][math]p[/math] Ausklammern:[br][math]\Rightarrow (n+c^2)\,p^2-(2\,h_n\,n+c^2)\,p+h_n^2\,n= 0[/math][br]Nun kann man die Mitternachtsformel ([math]x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}[/math]) anwenden, um die Gleichung nach [math]p[/math] aufzulösen. Es geht auch mit der pq-Formel, aber dann müssten wir zuerst die ganze Gleichung normieren, d.h. durch [math](n+c^2)[/math] teilen. [br][math]\begin{array}{ll}[br]p_{1,2}&=\frac{2\,h_n\,n+c^2\pm\sqrt{(2\,h_n\,n+c^2)^2\quad-\quad 4\,(n+c^2)\,h_n^2\,n}}{2(n+c^2)}\\[br]&=\frac{2\,h_n\,n+c^2\pm\sqrt{4\,h_n^2n^2+4\,c^2\,h_n\,n+c^4\,-\,4\,h_n^2\,n^2-4\,c^2\,h_n^2\,n}}{2(n+c^2)}\\[br]&=\frac{2\,h_n\,n+c^2\pm\sqrt{4\,c^2\,h_n\,n+c^4\,-4\,c^2\,h_n^2\,n}}{2(n+c^2)}[br]\end{array}[/math][br]unter der Wurzel lässt sich noch ein [math]c^2[/math] ausklammern und als [math]c[/math] vor die Wurzel ziehen. Dann erhalten wir[br][br][math]\Large\boxed{ p_{1,2}=\frac{2\,h_n\,n+c^2\pm c\,\sqrt{4\,h_n\,n+c^2\,-4\,h_n^2\,n}}{2(n+c^2)}}[/math]
Eine Funktionsgleichung für die Glockenkurve
Glockenkurve in der Binomialverteilung
Wenn eine Binomialverteilung [math]P(n;p;X=k)[/math] für alle [math]k[/math] berechnet wird und wenn die für jedes [math]k[/math] berechneten Wahrscheinlichkeiten in ein Koordinatensystem eingetragen werden, dann erhält man die typische Glockenkurve. Eigentlich setzt sich diese Glocke aber aus vielen Säulen zusammen. Insbesondere für große [math]n[/math] kann man die einzelnen Stufen, die von den benachbarten Säulen erzeugt werden, kaum noch erkennen. Der Rand der Glockenkurve sieht dann so glatt aus, wie ein Funktionsgraph aus der Analysis. Wenn wir im Weiteren eine Funktionsgleichung für diese Funktion finden, dann können wir auch Analyse- und Rechenmethoden aus der Analysis auf die Binomialverteilung anwenden.
Stetige Zufallsvariablen
Die Zufallsvariable [math]X[/math] in der Binomialverteilung gibt die Anzahl [math]k[/math] der günstigen Ereignisse wieder, wenn [math]n[/math]-mal ein Bernoulli-Experiment durchgeführt wird. [math]k[/math] ist daher immer eine ganze Zahl. Daher sagt man, [math]k[/math] ist eine [b]diskrete Zufallsvariable[/b] und die Binomialverteilung ist eine diskrete Verteilung. Diskret, weil sie aus einer endlichen Anzahl von Zahlen besteht. Werden alle mit der Binomialverteilung berechneten Wahrscheinlichkeiten In Abhängigkeit von [math]k[/math] in ein Koordinatenkreuz eingetragen, dann entsteht dabei eine Stufenfunktion.[br]Degegenüber gibt es auch [b][color=#980000]stetige Wahrscheinlichkeitsvariablen[/color][/b]. Für diese sind unendlich viele Werte möglich, die auch beliebig dicht beeinander liegen können. Ein Beispiel dafür ist die Körpergröße eines Menschen. Menschen haben nicht nur ganzzahlige Körpergrößen, wie [math]172\,cm[/math] oder [math]186\,cm[/math], sondern auch eine Größe von [math]177,12432\,cm[/math] ist möglich. Die Wahrscheinlichkeit dafür, wie groß ein Mensch wird, kann aber auch schön mit einer Glockenkurve dargestellt werden (siehe [url=https://wikiless.org/wiki/K%C3%B6rpergr%C3%B6%C3%9Fe_eines_Menschen?lang=de]Wikipedia "Körpergröße eines Menschen"[/url]).[br]Viele stetige Zufallsvariablen sind als Glockenkurve darstellbar, man sagt sie sind "normalverteilt".
Die Standardnormalverteilung
Eine Funktionsgleichung muss mehrere Bedingungen erfüllen, um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung als Glockenkuve darzustellen:[br][list=1][*]Der Funktionswert an den Rändern, für sehr große und sehr kleine Werte sollte gegen Null gehen[/*][*]Sie sollte ein Maximum bei unserem Erwartungswert [math]\mu[/math] haben[/*][*]Die Wendestellen sollten zur Extremstelle die Standardabweichung [math]\sigma[/math] als Abstand haben[/*][*]Die Fläche unter dem Funktionsgraphen, also das Integral von [math]-\infty[/math] bis [math]\infty[/math], sollte gleich [math]1[/math] sein, weil die Summe aller möglichen Wahrscheinlichkeiten nach wie vor [math]100\%[/math] ergeben muss.[/*][/list][br]Für den Erwartungswert [math]\mu=0[/math] und die Standardabweichung [math]\sigma=1[/math] erfüllt die [b][color=#980000]Dichtefunktion der Standardnormalverteilung[/color][/b] - auch die [b][color=#980000]Gauß'sche Glockenkurve[/color][/b] genannt, diese Bedingungen:[br][math]\Large{\boxed{n(x)=\frac 1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}}}[/math][br]Der Faktor [math]\frac 1{\sqrt{2\pi}}[/math] ist wichtig, weil die Fläche unter dem Funktionsgraphen sonst [math]\sqrt{2\pi}[/math] betragen würde.
Die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung
Die Dichtefunktion der Normalverteilung - beliebige Standardabweichung und beliebiger Erwartungswert
[b]Beliebige Standardabweichung:[/b][br]Wenn die Standardnormalverteilung um das [math]\sigma[/math]-fache entlang der Abszisse getrecke bzw. gestaucht wird, dann ist der Abstand der Wendestellen vom Maximum - wie gefordert - genau [math]\sigma[/math]. Das wird erreicht, indem jedes [math]x[/math] in der Standardnormalverteilung durch ein [math]\frac{x}{\sigma}[/math] ersetzt wird. Weil dabei aber auch die Fläche unter der Kurve um das [math]\sigma[/math]-fache geändert wird, muss die Gleichung dann noch durch [math]\sigma[/math] geteilt werden:[br][math]\varphi_{\mu=0,\sigma}(x)=\frac 1{\sigma}\,n\left(\frac x{\sigma}\right)[/math] also [math]\varphi_{\mu=0,\sigma}(x)=\frac 1{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma}\cdot e^{-\frac{1}{2}\,\left(\frac{x}{\sigma}\right)^2}[/math][br][br][b]Beliebiger Erwartungswert:[/b][br]Nun muss die Funktion nur noch so entlang der Abszisse verschoben werden, dass der Erwartungswert von [math]0[/math] auf den Wert [math]\mu[/math] verschoben wird. Das wird erreicht, indem jedes [math]x[/math] der Funktion durch ein [math](x-\mu)[/math] ersetzt wird, also [math]\varphi_{\mu,\sigma}(x)=\varphi_{\mu=0,\sigma}(x-\mu)[/math][br]Damit haben wir eine Funktionsgleichung für die gesuchte Glockenkurve erhalten, die [br][br][b][color=#980000]Normalverteilung[/color][/b]:[br][br][math]\Large{\boxed{\varphi_{\mu,\sigma}(x)=\frac 1{\sqrt{2\pi}\cdot \sigma}\cdot e^{-\frac 12\cdot\left(\frac {x-\mu}{\sigma}\right)^2}}}[/math][br][list][*]Der Erwartungswert dieser Funktion, also ihr Maximum, ist [math]\mu[/math][/*][*]Die Wendestellen haben einen Abstand zum Erwartungswert von genau [math]\sigma[/math][/*][*]Die Funktionswerte am Rand gehen gegen Null[/*][*]Die Fläche unter dem Funktionsgraphen von [math]-\infty[/math] bis [math]+\infty[/math] ist gleich [math]1[/math][/*][/list]Das kann im nächsten Geogebra-Applet ausprobiert werden:
Die Dichtefunktion ist nicht die Wahrscheinlichkeit
[b][color=#980000]Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich bei der Normalverteilung immer als eine Fläche unter der Dichte-Funktionskurve[/color][/b]. Diese Fläche kann nur mit Hilfe eines Integrals berechnet werden. Im folgenden Applet lassen sich der Erwartungswert [math]\mu[/math], die Standardabweichung [math]\sigma[/math] und die jeweiligen Integrationsgrenzen eintragen. Das Ergebnis der Normalverteilung wird dann graphisch als Fläche und auch als Ergebnis eines Integrals gezeigt.[br][br][b]Lassen sie sich optisch dabei nicht täuschen:[/b] Eigentlich verändert sich der Funktionsgraph der Dichtefunktion bei unterschiedlichen Werten von [math]\mu[/math] und [math]\sigma[/math], die Glocke ändert dann jeweils ihre [b]Höhe[/b], [b]Breite[/b] und [b]Position[/b]. Im Applet wurde eine Darstellung gewählt, in der sich nicht die Form der Funktion, sondern die [i][b]Skalierung[/b][/i] der Achsen verändert. Sonst wären Ergebnisse für sehr unterschiedliche Erwartungswerte und Standardabweichungen nur schwer in einem Koordinatensystem abzubilden.