[b]Contenido[/b][br][br]- Conceptos[br][br]- Hipérbola con eje focal horizontal[br][br]- Hipérbola con eje focal vertical[br][br][br][b]Hipérbola[/b][br][br]Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante: [math]distancia\left(F_1P\right)-distancia\left(PF_2\right)=2a[/math]. La constante es [b]2a[/b] y equivale a la [b]medida del eje transverso[/b] de la hipérbola.

En la figura se muestra una hipérbola con eje focal horizontal. En ella se detallan los diferentes elementos:[br][br][b]Centro, C = (h, k)[/b]. Es el puto de intersección entre el eje transverso y el eje conjugado. Es el punto medio de cada uno de los dos ejes de la hipérbola.[br][br][b]Eje transverso, [math]V_1V_2[/math][/b]: Es el segmento entre los dos vértices.[br][br]La longitud del eje transverso es [b]2a[/b]. Por lo tanto [b]a[/b] es la longitud del semieje transverso. Equivale a la distancia [math]CV_1[/math] o [math]CV_2[/math]. [br][br][b]Eje conjugado, [math]DD'[/math][/b]: Es el segmento mediatriz del eje transverso. Su longitud es [b]2b[/b], por lo tanto, [b]b[/b] es la longitud del [b]semieje conjugado[/b].[br][br]Cuando el eje conjugado tiene igual longitud que el eje transverso, [b]a = b[/b], se tiene una [b]hipérbola equilátera[/b].[br][br][b]Focos[/b], [math]F_1[/math] y [math]F_2[/math]: Son dos puntos fijos de la hipérbola que hacen que la diferencia de las distancias de ellos a un punto de la hipérbola sea una constante. Son simétricos al centro de la hipérbola y se ubican en la prolongación del eje transverso.[br][br][b]Eje focal[/b]: Es la recta que pasa por el centro y contiene los focos y los vértices de la hipérbola.[br][br][b]Semidistancia focal, c[/b]: Es la distancia entre el centro y uno cualquiera de los focos, es decir, la distancia [math]CF_1[/math] o [math]CF_2[/math]. [br][br][b]Relación entre semieje transverso, semieje conjugado y semidistancia focal[/b]:[br][br]La relación es pitagórica pero a diferencia de la elipse, [b]c[/b] es mayor que [b]a[/b] y mayor que [b]b[/b]. Así, [br][math]\left(semidistanciafocal\right)^2=\left(semiejetransverso\right)^2+\left(semiejeconjugado\right)^2[/math] [math]\Longrightarrow[/math] [math]c^2=a^2+b^2[/math][br][br][b]Excentricidad[/b], [math]\epsilon[/math]: Es la razón entre la semidistancia focal y el semieje transverso, [math]\epsilon=\frac{c}{a}[/math]. Dado que [b]c > a[/b], la excentricidad de la hipérbola siempre es mayor que la unidad, [math]\epsilon[/math] > 1.[br][br][b]Asíntotas[/b]: Son dos rectas que pasan por el centro de la hipérbola a las cuales sus ramas se va acercando indefinidamente. [br][br]Para graficar las asíntotas de la hipérbola basta con trazar las diagonales del rectángulo con centro en [b]C[/b] y sus lados son eje transverso y eje conjugado.[br][br]Las asíntotas permiten hacer una gráfica aproximada de la hipérbola: se ubican los vértices y se trazan las asíntotas.[br][br]Se presentan dos applets de la hipérbola. El primero con eje focal horizontal y el segundo con eje focal vertical.

[b]Ecuación canónica y ecuación general de la hipérbola[br][br]Ecuación canónica[/b]: [br][br]- Si el eje focal es horizontal, la ecuación canónica es de la forma [math]\frac{\left(x-h\right)^2}{a^2}-\frac{\left(y-k\right)^2}{b^2}=1[/math].[br][br]- Si el eje focal es vertical, la ecuación canónica es de la forma [math]\frac{\left(y-k\right)^2}{a^2}-\frac{\left(x-h\right)^2}{b^2}=1[/math].[br][br]Dos observaciones importantes:[br][br]1. La ecuación canónica es la diferencia entre dos términos racionales. El primer término (minuendo) siempre es positivo y determina la dirección del eje focal. Si el término de [b]x[/b] es positivo, la hipérbola tiene su eje focal horizontal. Si el término de [b]y[/b] es positivo, la hipérbola tiene su eje focal vertical. [br][br]2. La longitud del semieje transverso es el denominador del término positivo independientemente si es mayor, menor o igual que la longitud del eje conjugado.[br][br]Ejemplo:[br][br]Sean dos hipérbolas definidas por su ecuación canónica:[br][br]a) [math]\frac{\left(x-2\right)^2}{9}-\frac{\left(y+1\right)^2}{4}=1[/math] b) [math]\frac{\left(y-2\right)^2}{4}-\frac{\left(x+1\right)^2}{9}=1[/math][br][br]- Eje focal de la primera es horizontal y el eje focal de la segunda es vertical.[br][br]- Eje transverso y eje conjugado: En la primera, [math]a=\sqrt{9}=3[/math] y [math]b=\sqrt{4}=2[/math], a > b. En la segunda, [math]a=\sqrt{4}=2[/math] [math]b=\sqrt{9}=3[/math], a < b.[br][br]- Centro: En la primera, C = (2, -1). En la segunda, C = (-1, 2).[br][br][b]Ecuación general de la hipérbola[/b]:[br][br]Sea que el eje focal es horizontal o vertical, la ecuación general es de la forma [math]Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+F=0[/math][br]. Se puede observar en los dos applets que los coeficientes [b]A[/b] y [b]C[/b] tienen signos distintos.[br][br]La ecuación general de la hipérbola, al igual que en las otras cónicas, es un caso particular de la ecuación general de segundo grado [math]Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0[/math]. Esta ecuación se analiza en el siguiente capítulo.