ある方向の直線ｙ＝2ｘつまり、[b]ｘ[/b]＝[math]\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)[/math]=[math]\left(\begin{matrix}t\\2t\end{matrix}\right)[/math] があるとして、[br]変換[math]\left(\begin{matrix}-2,2\\-2,3\end{matrix}\right)[/math]をしたらどうなるか？[br][b]T(x)[/b]=[math]\left(\begin{matrix}-2t+4t\\-2t+6t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2t\\4t\end{matrix}\right)=2\left(\begin{matrix}t\\2t\end{matrix}\right)[/math]=2[b]x[/b]。[b]T(ｘ)＝2ｘ[/b]になったね。[br]直線上の点が座標が２倍になるだけで、もとの直線上にとどまっている。[br]ということは、このｙ＝２ｘは[b]不動直線[/b]ということになるね。[br]このTに対して不動直線が他にもないかを探したいときはどうしたらいいだろうか？[br][br]一般化した形で問題を設定してみよう。[br][br]ｎ次行列Aに対してｎ次ベクトルｘと変数λがあり、[br][b]Ax[/b]=[i]λ[/i][b]ｘ[/b][br]となるときのλをAの[color=#0000ff][b]固有値[EigenValue][/b][/color]、λに属するｘを[color=#0000ff][b]固有ベクトル[Eigenvector][/b][/color]という。[br]λに属する固有ベクトル全体と零ベクトルがなす、部分空間を[color=#0000ff][b]固有空間[/b][/color]という。[br]これを[b]ｘ[/b]≠[b]０[/b]の条件で解けるとすると[br]([b]A[/b]-[i]λ[/i][b]E[/b]）[b]x[/b]=[b]0[/b]から[br][size=150][color=#0000ff][size=200]|[b]A[/b]-[i]λ[/i][b]E[/b]|＝[b]０[br][/b][/size][/color][/size]が条件となる。[br]左辺det(A-λE)をAの[b]固有多項式[/b]といい、固有多項式＝０の方程式をAの[b]固有方程式[/b]という。[br]変数λについてのAの固有多項式χ[sub]A[/sub](λ)など変数tについてのAの固有多項式χ[sub]A[/sub](t)などとかく。[br][b][color=#9900ff]・ケイリーハミルトンの定理[/color][br][/b]このとき、変数λやtやｘなどの文字の代わりに行列Aを、[br]定数項の文字にあたる文字の０乗、つまり、１の代わりに行列Eを[br]代入すると、λ[sub]A[/sub](A)=[b]O となるという定理[br][/b][color=#9900ff][b]・固有方程式の解[/b][/color][br]この解λ1,λ2,...が[b]固有値[/b]で、これら対するベクトル[b]x1,x2,...が、固有ベクトル[/b]で線形独立になる。[br]それぞれに対する固有空間W1,W2,W3,....について、[br]固有空間の和W1+W2＋…は、各空間の共通部分が０ベクトルになるから直和[math]W1\oplus W2\oplus W3\oplus......[/math] である。固有空間の和は、固有ベクトルは独立しているから、その直積空間W1✕W2✕…　と同型になる。[br][br][b][size=150]＜行列の対角化＞[br][/size][/b]ｎ次行列Aの固有方程式の解[b]λ1,λ2,...,λnが固有値[/b]で、これに対する[b]列ベクトル[/b]が、[b]x1,x2,...ｘn[/b]。[br]すると、ｎ個の等式ができるね。[br][b]Ax1[/b]=λ1[b]x1[/b]、[b]Ax2[/b]=λ2[b]x2[/b]、。。。。。、[b]Axn[/b]=λn[b]xn[/b]、[br][b]A[x1,x2,....,xn][/b]=[λ1[b]x1[/b], λ2[b]x2[/b],.......,λn[b]xn[/b]][br]=[[b]x1,x2,.....,xn[/b]][b][color=#0000ff][size=150][math]\left(\begin{matrix}λ_1,0,........0\\0,λ_2,........0\\............\\0,........λ_n\end{matrix}\right)[/math][/size][/color][/b][br][b]行列P=[x1,x2,...,xn][/b]を使って、[br]AP＝PQとかけるね。[br][b][color=#0000ff][size=150]Q＝P[sup]-1[/sup]AP[br][/size][/color][size=200][color=#9900ff]対角成分がすべて固有値で、他の成分は０。[br][/color][/size][/b]Pを[color=#0000ff][b][size=150]変換行列[/size][/b][/color]、Aを[color=#0000ff][b]対角化可能な行列[/b][/color]という。[br]Aと対角化された行列Bを[b]相似[/b]ということもあるね。[br][b][size=150][color=#0000ff]対角化[diagonalization][/color][/size]するだけなら、[color=#0000ff]固有値がわかれば終了[/color][/b]だ。[br]しかし、行列を[b]表現行列[/b]としてみれば、その[b]写像が不変にする方向ベクトル[/b][br][b][color=#0000ff]固有ベクトルどうしの関係性、写像のしくみを明確にする[/color][/b]ためには固有ベクトルを考えることは[br]とても大切だね。[br][br][color=#0000ff]（例）[br][b]A=[/b][/color][math]\left(\begin{matrix}1,2\\-1,4\end{matrix}\right)[/math][color=#0000ff][b] の対角化は？[br][/b][/color]A-λE = [math]\left(\begin{matrix}1-\lambda,2\\-1,4-\lambda\end{matrix}\right)[/math] [br]det(A-λE)=(λ-1)(λ-4)+2=λ2-5λ+6=(λ-2)(λ-3)から、[br][u]固有値はλ=2,3[/u]だから、[br]対角化はすぐできるね。[br][math]\left(\begin{matrix}2,0\\0,3\end{matrix}\right)[/math]となるはず。[br][color=#0000ff]（確認）[/color][br]λ1=2ならA-２E= [math]\left(\begin{matrix}-1,2\\-1,2\end{matrix}\right)[/math][br]-x+2y=0　となる列ベクトルは[b]x1[/b]= [math]\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)[/math]= [math]\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)[/math][br]λ2=3ならA - 3E= [math]\left(\begin{matrix}-2,2\\-1,1\end{matrix}\right)[/math][br]-x+y=0　となる列ベクトルは[b]x2[/b]= [math]\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)[/math]= [math]\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)[/math][br]P=[x1,x2]= [math]\left(\begin{matrix}2,1\\1,1\end{matrix}\right)[/math] 固有列ベクトルを２つまとめたものが変換行列Pだね。[br]P[sup]-1[/sup]=1/1 [math]\left(\begin{matrix}1,-1\\-1,2\end{matrix}\right)[/math] だから、[br]P[sup]-1[/sup]AP= [math]\left(\begin{matrix}1,-1\\-1,2\end{matrix}\right)[/math] [math]\left(\begin{matrix}1,2\\-1,4\end{matrix}\right)[/math] [math]\left(\begin{matrix}2,1\\1,1\end{matrix}\right)[/math] [br]= [math]\left(\begin{matrix}1,-1\\-1,2\end{matrix}\right)[/math] [math]\left(\begin{matrix}4,3\\2,3\end{matrix}\right)[/math][br]=[math]\left(\begin{matrix}2,0\\0,3\end{matrix}\right)[/math]　と固有値を並べた行列になった。対角化できた。

[b][size=150]＜直交行列＞[/size][/b][br]内積の定義された空間を、[b]線形計量空間[/b]と呼ぶことがあります。[br]ベクトルaにそれ自身をかけた内積の√を[b]ノルムといい、ベクトルの大きさ[/b]を表します。[br]基底が直交する場合、[b]直交[/b]基底といいます。[br]基底が正規（ノルムが１）の基底を[b]正規[/b]基底といいます。[br]だから、正規直交基底というのは、大きさが１で直交する基底です。[br]R[sup]n[/sup]の[color=#0000ff][b]正規直交基底[/b][/color]ｎ個[b]e1,e2,...,en[/b]としよう。[br]ベクトルu,vをこの基底を使い、u=[a1,a2,...,an],v=[b1,b2,...,bn]とすると、[br][b]eiei[/b]=1, [b]eiej[/b]=0(i≠j)なので、[br][b]u・v[/b]=(a[sub]1[/sub][b]e[sub]1[/sub][/b]+a[sub]2[/sub][b]e[sub]2[/sub][/b]+....+a[sub]n[/sub][b]e[sub]n[/sub][/b])(b[sub]1[/sub][b]e[sub]1[/sub][/b]+b[sub]2[/sub][b]e[sub]2[/sub][/b]+.....+b[sub]n[/sub][b]e[sub]n[/sub][/b])=a[sub]1[/sub]b[sub]1[/sub]+a[sub]2[/sub]b[sub]2[/sub]+....+a[sub]n[/sub]b[sub]n[/sub][br]内積は,標準基底と同様に同じ位置の成分どうしの積の和になるね。[b]u・v[/b]=∑a[sub]k[/sub]b[sub]k[/sub][br]列ベクトルとして並べた行列[b]U=[e1,e2,...,en[/b]][br]を直交行列という。[br][sup]ｔ[/sup]UU＝U[sup]ｔ[/sup]U＝Eとなる。だから、[sup]t[/sup]U=U[sup]-1[/sup][br][br][b][size=150]＜シュミット法＞[br][/size]a1,a2,a2[/b]を正規直交基底[b]u1,u2,u3[/b]に直そう。[br]正規化して、１つめは [b]u1[/b]=[i][b]a1[/b]/[/i]||[b]a1[/b]||[br][b]a2[/b]の[b]u1[/b]への正射影(u1・a2) [b]u1[/b]を始点にし、[br][b]a2[/b]を終点にしたベクトル [b]b2[/b]=[i][b]a2ー(u1[/b][i][b]・a2 [/b]) [b]u1 。[br][/b][/i][/i]これを正規化して、２つめは [i][b]u2[/b]=[b]b2[/b]/[/i]||[b]b2[/b]||[br][b]a3[/b]の[b]u1,u2[/b]への正射影(u1・a2)[b]u1 [/b]と(u2・a2)[b]u2[/b]の和を始点にし、[br][b]a3[/b]を終点にしたベクトル [b]b3[/b]=[b]a3ー{(u1[/b][b]・a3 [/b][i]) [/i][b]u1+ (u2・a3 ) u2} 。[br][/b]これを正規化して、３つめは[i] [b]u3=[b]b2[/b][i]/[/i]||[b]b2[/b]||[br][/b][/i][color=#0000ff][b]（例）「[i]a1[/i]=[1,1,0],a[i]2[/i]=[1,2,1],a3=[1,0,1]を正規直交基底u1,u2,u3に直そう。[br][/b][/color]正規化して[b]u1[/b]=[b]a1[/b]/√(1[sup]2[/sup]+1[sup]2[/sup]+0)=1/√2 [b]a1[/b]=(1/√2,1/√2,0)[br]=[u]1/√2(1,1,0)[/u][br][b]b2[/b]=[b]a2[/b]-(a2・u1)[b]u1[/b]=(1,2,1)-1/√2(1+2+0)(1/√2,1/√2,0)=(1,2,1)-3/2(1 , 1, 0)[br]=1/2(-1, 1,2)[br]正規化して[b]u2[/b]=[b]b2[/b]/(1/2√(1+1+4))=2/√6・1/2(-1, 1,2)[br]=[u]1/√6(-1, 1,2)[/u][br][b]b3[/b]=[b]a3[/b]-{(a3・u2)[b]u2[/b]+(a3・u1)[b]u1}[/b]=[b]a3[/b]-{1/√6(-1+0+2)[b]u2[/b]+1/√2(1+0+0)[b]u1[/b]}[br] =a3-{1/√6・1/√6(-1, 1,2)+1/√2・1/√2(1,1,0)}[br] =(1,0,1)-{1/6(-1,1,2)+1/2(1,1,0)}=(1,0,1)-1/6(2,4,2)=1/6(4,-4,4)[br]=2/3(1,-1,1)[br]正規化して[b]u3[/b]=[b]b3[/b]/(2/3√3)=√3/2[b]b3[/b]=√3/2・2/3(1,-1,1)[br]=[u]1/√3(1,-1,1)[/u]。[br][b]直交確認[/b]してみよう。[br](1,1,0)・(-1,1,2)=-1+1+0=0[br](1,1,0)・(1,-1,1)=1-1+0=0[br](1,-1,1)・(-1,1,2)=-1-1+2=0[br]

AをTで対角化してQにできたとしよう。[b]T[sup]-1[/sup]AT=Q[/b][br]対角化したあとのQは[b]対称行列[/b]だから、[b]tQ=Q[/b]となるね。[br]Tが直交行列なら[b][sup]t[/sup]T=T[sup]-1[/sup][/b][br]tQ=[sup]t[/sup](T[sup]-1[/sup]AT)=[sup]t[/sup]T [sup]t[/sup]A [sup]t[/sup]T[sup]-1[/sup]＝T[sup]-1[/sup] [sup]t[/sup]A [sup]tt[/sup]T＝T[sup]-1[/sup] [sup]t[/sup]A T[br]Q=T[sup]-1[/sup]AT[br]これが等しくなるから、[b][sup]t[/sup]A=A[/b]でAが対称行列となる。[br]逆に、[br][b][color=#0000ff][size=150]対称行列Aに対して、直交行列Tを変換行列にすることで、対角化ができるだろう。[br][/size][/color][/b][br][color=#0000ff]たとえば、[br]対称行列A=[/color][math]\left(\begin{matrix}1,2\\2,-2\end{matrix}\right)[/math][color=#0000ff] を対角化しよう。[br][/color]固有ベクトルを求めると、|A-λE|=(λ-1)(λ+2)-2・2=λ[sup]2[/sup]+λ-6=（λ-2)(λ+3)=0から、固有値λ=2,-3に対して、[br]λ=2のとき、(1-2)x+2y=0 からx=2yで、 [b]a=[/b](x,y)=k(2,1) 、正規化するにはk=1/√5[br]λ=-3のとき、(1+3)x+2y=0から2x+y=0で、[b]b=[/b](x,y)=l(1,-2)、正規化するにはl=1/√5[br][b]a・b[/b]=kl(2・1+1(-2))=0だから、固有ベクトルは直交する。[br]だから、変換行列Pはa,bを列ベクトルとして横にならべて、[b]P=[a,b][/b][br]P= [math]\left(\begin{matrix}2,1\\1,-2\end{matrix}\right)[/math] [br]正規化すると、[br]T=[math]\frac{1}{\sqrt{5}}[/math] [math]\left(\begin{matrix}2,1\\1,-2\end{matrix}\right)[/math] [br] [br]tTT= [math]\frac{1}{\sqrt{5}}[/math] [math]\left(\begin{matrix}2,1\\1,-2\end{matrix}\right)[/math] [math]\frac{1}{\sqrt{5}}[/math] [math]\left(\begin{matrix}2,1\\1,-2\end{matrix}\right)[/math] =[math]\frac{1}{5}\left(\begin{matrix}5,0\\0,5\end{matrix}\right)=E[/math] [br]だから、[br]Tは直交行列だから、対称行列を対角化できる。[br]実際、T[sup]-1[/sup]AT= [math]\left(\begin{matrix}2,0\\0,-3\end{matrix}\right)[/math] [br] [br][b]T[/b]のように直交行列の変換行列を[b][color=#0000ff][size=150]直交変換[/size][/color][/b]行列という。[br]正規直交基底[b]e1,e2,...,en[/b]に、直交変換[b]T[/b]をしたT([b]e1),T(e2),...,T(en)も正規直交基底になる。[/b][br]Tが直交変換であることと変換後の内積と変換前の内積が等しいこと（T(u)・T(v)=u・v）は同値。[br][b]だから、直交変換では、内積もノルムも変わらないので、図形の形は変わらない。[br]だから、直交変換することで、形を変えずに、２次曲線の式を単純にすることができる。[br][/b]

[color=#0000ff][b]行列Aが対角化可能なら変換行列PとA[sup]n[/sup]を求めよう。さらにAを対角化する直交変換行列Tを求めよう。[br]A= [/b][/color][math]\left(\begin{matrix}1,2,2\\2,1,2\\2,2,1\end{matrix}\right)[/math][sup]　t[/sup]A=Aだから、Aは対称行列。[br]・[b]固有ベクトルを求める[/b]。|A-tE|=[math]\left|\begin{matrix}1-t,2,2\\2,1-t,2\\2,2,1-t\end{matrix}\right|[/math]=0[math]\left|\begin{matrix}5-t,5-t,5-t\\2,1-t,2\\2,2,1-t\end{matrix}\right|=\left(5-t\right)\left|^{\begin{matrix}1,1,1\\2,1-t,2\\2,2,1-t\end{matrix}}\right|=\left(5-t\right)\left|\begin{matrix}1,1,1\\0,-1-t,0\\0,0,-1-t\end{matrix}\right|=\left(5-t\right)\left(t+1\right)\left(t+1\right)=0[/math][br]t=-1,5[br]t=5のとき、A-5Eを簡約しよう。[br] 　z=kとすると、x-z=0, y-z=0から、(x,y,z)=k(1,1,1)　[b]固有空間の次元は１[/b]。[br]t=1のとき、A＋Eを簡約しよう。[br]　[math]\left(\begin{matrix}2,2,2\\2,2,2\\2,2,2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1,1,1\\0,0,0\\0,0,0\end{matrix}\right)[/math] 主成分がない２，３行のy=p,z=qとおくと、１行目からx+p+q=0。[br]　(x,y,z)=(-p-q, p,q)=p(-1,1,0)+q(-1,0,1)。固[b]有空間の次元は２[/b]。[br][br][b]２つの固有空間の次元の和は１＋２＝３だから、対角化可能[/b]。[br] これから、列ベクトルa=[math]\left(\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}\right)[/math] , b=[math]\left(\begin{matrix}-1\\1\\0\end{matrix}\right)[/math], c=[math]\left(\begin{matrix}-1\\0\\1\end{matrix}\right)[/math]が固有ベクトルとなる。[br][b]・変換行列Pを求める。[br][/b]固有ベクトルを１列に並べてまとめたのが変換行列Pと対角化は、[br]P=[a,b,c]= [math]\left(\begin{matrix}1,-1,-1\\1,1,0\\1,0,1\end{matrix}\right)[/math] Q=P[sup]-1[/sup]AP=[math]\left(\begin{matrix}5,0,0\\0,-1,0\\0,0,-1\end{matrix}\right)[/math]　だから、Q[sup]n[/sup]=(P[sup]-1[/sup]AP)[sup]n[/sup]= [math]\left(\begin{matrix}5^n,0,0\\0,\left(-1\right)^n,0\\0,0,\left(-1\right)^n\end{matrix}\right)[/math] [br]一方、det(P)=1-(-1-1)=3, P11=det((1,0),(0,1))=1, P12=-det((1,0),(1,1))=-1,P13=det({1,1),(1,0))=-1[br]P21=-det((-1,-1)(0,1))=1, P22=det((1,-1)(1,1)=2, P23=-det((1,-1)(1,0))=-1[br]P31=det((-1,-1)(1,0))=1, P32=-det((1.-1)(1,0))=-1, P33=det((1,-1)(1,1))=2[br]P[sup]-1[/sup]=1/3 [sup]t[/sup] [math]\left(\begin{matrix}1,-1,-1\\1,2,-1\\1,-1,2\end{matrix}\right)[/math] = [math]\frac{1}{3}\left(\begin{matrix}1,1,1\\-1,2,-1\\-1,-1,2\end{matrix}\right)[/math] で、A[sup]n[/sup]=PQ[sup]n[/sup]P[sup]-1[/sup]= [math]\left(\begin{matrix}1,-1,-1\\1,1,0\\1,0,1\end{matrix}\right)[/math] [math]\left(\begin{matrix}5^n,0,0\\0,\left(-1\right)^n,0\\0,0,\left(-1\right)^n\end{matrix}\right)[/math] [math]\frac{1}{3}\left(\begin{matrix}1,1,1\\-1,2,-1\\-1,-1,2\end{matrix}\right)[/math] [br]= [math]\frac{1}{3}\left(\begin{matrix}a+2b,a-b,a-b\\a-b,a+2b,a-b\\a-b,a-b,a+2b\end{matrix}\right)\left(a=5^n,b=\left(-1\right)^n\right)[/math] [br]・正規直交基底を求めて、[b]直交変換行列T[/b]を求める。[br]固有ベクトルa=[math]\left(\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}\right)[/math] , b=[math]\left(\begin{matrix}-1\\1\\0\end{matrix}\right)[/math], c=[math]\left(\begin{matrix}-1\\0\\1\end{matrix}\right)[/math] を正規直交化する。[br]aは正規化するだけでよい。[br][b]u1[/b]=[b]a[/b]/||[b]a[/b]||= [math]\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}\right)[/math] [br][br][b]aの張る空間とbcの張る空間は直交している[/b]から、bとｃを直交させてから、正規化すればよい。[br][b]bの正規化。u2[/b]=[b]b[/b]/||[b]b[/b]||=[math]\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{matrix}-1\\1\\0\end{matrix}\right)[/math] [br][b]cをbに直交させてc2とする。[br]c[/b]の[b]u2[/b]への正射影(c・u2) [b]u2[/b]を始点にして、[b]c[/b]を終点にしたベクトル[br]c2=[b]c[/b] - ([b]c[/b]・[b]u2[/b]) [b]u2[/b] = [math]\left(\begin{matrix}-1\\0\\1\end{matrix}\right)[/math] ー（[math]\left(\begin{matrix}-1\\0\\1\end{matrix}\right)[/math] ・[math]\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{matrix}-1\\1\\0\end{matrix}\right)[/math] ）　[math]\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{matrix}-1\\1\\0\end{matrix}\right)[/math] [br]= [math]\left(\begin{matrix}-1\\0\\1\end{matrix}\right)[/math] ー ([math]\frac{1}{\sqrt{2}}[/math])　[math]\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{matrix}-1\\1\\0\end{matrix}\right)[/math] = [math]\left(\begin{matrix}-1\\0\\1\end{matrix}\right)[/math] ー [math]\frac{1}{2}\left(\begin{matrix}-1\\1\\0\end{matrix}\right)[/math]= [math]\frac{1}{2}\left(\begin{matrix}-1\\-1\\2\end{matrix}\right)[/math][br]正規化する。[b]u3[/b]=[b]c2[/b]/||[b]c2[/b]||=[math]\frac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{matrix}-1\\-1\\2\end{matrix}\right)[/math] [br]T=[u1,u2,u3]=[ [math]\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}\right)[/math] , [math]\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{matrix}-1\\1\\0\end{matrix}\right)[/math] , [math]\frac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{matrix}-1\\-1\\2\end{matrix}\right)[/math] ][br]=[math]\frac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{matrix}\begin{matrix}\begin{matrix}\sqrt{2},-\sqrt{3},-1\\\sqrt{2},\sqrt{3},-1\\\sqrt{2},0,2\end{matrix}\end{matrix}\end{matrix}\right)[/math] tTT=Eとなるから、Tは直交行列。[br][b]Tで対角化してもPで対角化したと同じ行列Qになる。[/b]