Bissectrices in een driehoek
1 Bissectrices in een driehoek - definitie
In de bovenstaande driehoek ABC zijn de 3 bissectrices getekend.
Bekijk de 3 bissectrices van de driehoek ABC en versleep de hoekpunten van de driehoek. Duid alle juiste antwoorden aan:[br]
[b]Nu heb je zelf de definitie van een bissectrice in een driehoek ontdekt, vul de definitie verder aan:[/b][br]Een bissectrice in een driehoek is een rechte die door een (...) gaat en de bijhorende hoek in twee (...) hoeken verdeelt.
2 Bissectrices in een driehoek - kenmerk
Bekijk de tekening hieronder en los onderstaande vragen op:[br]
Het punt D ligt op de bissectrice h, versleep het punt D over deze bissectrice h. [br][br]Wat valt er op tussen de afstand van [DE] en [DF]?
[b]Zo komen we tot het kenmerk van de bissectrice. Vul dit kenmerk verder aan:[br][/b]Een punt van de bissectrice van een hoek ligt op (...) afstand van de benen van de hoek.
We hebben dit kenmerk toegepast op de bissectrice van een hoek, dit was herhaling.[br][br]Nu gaan we dit kenmerk toepassen op de bissectrices in een driehoek en vervolgens gaan we dit kenmerk ook bewijzen.
3 Bissectrices in een driehoek - bewijs kenmerk
We gaan dit kenmerk bewijzen voor de bissectrice h van de hoek A in de driehoek ABC.[br][br]Met behulp van de pijltjes onderaan de tekening, kan je het gegeven en te bewijzen van dit kenmerk vinden. Om jullie op weg te helpen om het vervolg van het bewijs te vinden, zal je de eerste stap van het bewijs al kunnen zien. [br]Probeer steeds zelf na te denken (en kijk goed naar de tekening) voordat je verder gaat.[br][br]Los onderstaande vragen op nadat je de applet hieronder hebt doorgenomen.
Om het bewijs verder af te maken, zullen we moeten aantonen dat twee driehoeken congruent zijn. Vervolgens kunnen we dan aantonen dat de afstand tussen E en D gelijk is aan de afstand tussen D en O. [br][br]In welke twee driehoeken kunnen we de congruentie aantonen?
Nu weten we al in welke twee driehoeken we de congruentie moeten bewijzen, welk congruentiekenmerk kunnen we hiervoor gebruiken?
Probeer dit bewijs zelf eerst op te schrijven en bekijk vervolgens de onderstaande applet. [br][br]Onderaan de applet kan je met behulp van de pijltjes de verschillende stappen bekijken.
We hebben dit nu aangetoond voor een punt op de bissectrice van één hoek van de driehoek, maar in de volgende tekening zie je dat dit kenmerk voor elke bissectrice van een hoek van de driehoek geldt.[br][br]Vink het eerste vakje aan, beweeg het punt G op de bissectrice i en kijk wat er met de afstand tussen de punten op de benen van de hoek (J en K) en het punt op de bissectrice (G) gebeurt.[br]Je zal zien dat deze afstand steeds hetzelfde blijft.[br][br]Doe hetzelfde voor de bissectrice g en de bissectrice k.
4 Bissectrice - Hoe teken ik een bissectrice?
Via de volgende applet kan je zien hoe je de bissectrices in een driehoek moet tekenen, je zal merken dat dit lijkt op het tekenen van een bissectrice van een hoek (zie herhaling). Met behulp van de pijltjes onderaan de tekening kan je de verschillende stappen zien.[br][br]Bij het tekenen van de bissectrices in een driehoek moeten we dus rekening houden met de definitie. Deze zegt dat de bissectrice door een [b]hoekpunt[/b] gaat en de bijhorende hoek in twee [b]even grote hoeken[/b] verdeelt.