Der Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitung(en)
Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihren Ableitungen
Table of Contents
- Einstieg
- Radtour und Verkaufszahlen
- Das Monotonieverhalten einer Funktion
- Das Monotonieverhalten mit der Ableitung untersuchen
- Monotoniebereiche rechnerisch ermitteln
- Besondere Punkte des Graphen
- Besondere Punkte: Hoch-, Tief- und Wendepunkt
- Notwendige Bedingung für ein lokales Extremum
- Notwendige und hinreichende Bedingung bei Hoch- und Tiefpunkt
- Übung
- Tangenten-Malerei
- Tangentenmalerei
- Die zweite Ableitung
- Einführung Krümmung
- Hinreichende Bedingung für Hoch-,Tief- und Wendepunkte
Radtour und Verkaufszahlen
In dem skizzierten Graphen einer Funktion f sind besondere Punkte markiert. Beschreibe die Bedeutung dieser Punkte, wenn die Funktion[br](1) den Pegelstand eines Flusses während einer Woche beschreibt[br]ODER[br](2) das Höhenprofil einer Radtour darstellt
Meine Antwort
In welchen Punkten ist der Pegelstand bzw. das Höhenprofil lokal am geringsten?
In welchen Punkten ist die lokale Änderungsrate am geringsten?
In welchen Punkten ist der Pegelstand bzw. das Höhenprofil lokal am größten?
In welchen Punkten ist die lokale Änderungsrate am größten?
Gib an! In welchem Bereich des Graphen ist der Pegelstand/Höhenprofil streng monoton zunehmend bzw. streng monoton abnehmend?
Begründe, dass der grüne Graph die Ableitung f' von der Funktion f darstellt. Beschreibe Zusammenhänge zwischen dem Kurvenverlauf von f und der Ableitungsfunktion f' (insbesondere an den besonderen Punkten)
[size=150][color=#ff0000]In den nächsten Kapiteln lernst du, wie du die obigen Punkte (besondere Punkte des Graphen) auch rechnerisch ermitteln kannst, ohne Rückgriff auf die grafische Darstellung des Graphen zu nehmen[/color][/size]
Das Monotonieverhalten mit der Ableitung untersuchen
Nach oben oder nach unten?
Unten ist eine Animation, in der ein Funktionsgraph [math]f(x)[/math] und ein Punkt mit einer Tangente eingefügt ist. Der Punkt lässt sich über den Schieberegler am unteren Ende der Animation bewegen.[br][br]Außerdem kann man sich den Funktionsgraphen der Ableitungsfunktion [math]f'(x)[/math] anzeigen lassen. Die Tangentensteigungen und die Ableitungsfunktion [math]f'(x)[/math] sind phantastische Werkzeuge, um Eigenschaften der Funktion [math]f(x)[/math] zu analysieren:
Steigend oder fallend?
[size=100][size=150]Wie kann man an der Ableitungsfunktion [math]f'(x)[/math] erkennen, wo der Funktionsgraph von [math]f(x)[/math] steigt und wo erfällt?[/size][/size]
Extrempunkte
Ein [b]Extrempunkt[/b] (auch Extremum genannt. Die Mehrzahl heißt "Extrema") ist ein [b]Hoch-[/b] oder ein [b]Tiefpunkt[/b]. Im übertragenden Sinne also ein "Berggipfel" oder eine "Talsohle". Einen Hochpunkt nennt man auch "Maximum" (die Mehrzahl heißt "Maxima") und einen Tiefpunkt "Minimum" (die Mehrzahl heißt "Minima").[br][br]Der Funktionsgraph der oben stehenden Animation hat einigen Hoch- und Tiefpunkte.[br]Solche Extrempunkte kann man hervorragend an Hand der Tangentensteigung erkennen. [br][br][size=150]Untersuche in der folgenden Animation den [color=#980000][b]Zusammenhang zwischen Extrempunkten und der Tangentensteigung[/b][/color] einer Funktion: [br][/size]
Notwendige Bedingung für Extremstellen
[color=#ff0000][b][size=150]Welche Bedingung bezüglich der Tangentensteigung ist bei Extrempunkten stets erfüllt?[/size][/b][/color]
Vokabeln zur Analyse von Funktionen
[list][*]Wenn der Funktionsgraph in einem Intervall[b][i] nur steigt[/i][/b], dann sagt man, dass dieser Funktionsgraph [color=#980000][b]streng monoton steigend ist[/b][/color]. [/*][*]Für die Ableitung einer solchen Funktion gilt, dass an solchen Stellen die Funktionswerte der Ableitungsfunktion immer größer als Null [math]f'\left(x\right)>0[/math] sind.[/*][*]Wenn ein Funktionswert in einem Intervall steigt oder an einigen Stellen die [b]Steigung Null[/b] hat, dann ist er hier nur [color=#980000][b]monoton steigend[/b][/color].[br][/*][/list][list][*]Wenn der Funktionsgraph in einem Intervall [i][b]nur fällt[/b][/i], dann sagt man dieser Funktionsgraph ist [color=#3c78d8][b]streng [color=#1e84cc]monoton fallend[/color][/b][/color][color=#1e84cc].[color=#000000] [/color][/color][/*][*]Für die Ableitung einer solchen Funktion gilt, dass an solchen Stellen die Funktionswerte der Ableitungsfunktion immer größer als Null [math]f'\left(x\right)<0[/math]sind.[/*][*]Wenn ein Funktionswert in einem Intervall fällt oder an einigen Stellen die [b]Steigung Null[/b] hat, dann ist er hier nur [color=#1e84cc][b]monoton fallend[/b][/color].[/*][/list]
Besonderer Graphenpunkt
[size=150]Besitzt der Graph einen Punkt mit Tangentensteigung Null, der KEIN Extrempunkt ist? Gib - falls vorhanden - die Koordinaten des Punktes an[/size]
Erklärvideo (3:33 - 9:45)
Besondere Punkte: Hoch-, Tief- und Wendepunkt
Begriffserklärungen zu Hochpunkt, Tiefpunkt und Wendepunkt.
Nutze das Applet, um den Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung zu erforschen, insbesondere für die genannten besonderen Punkte.
An welchen oben genannten Punkten ist die Tangensteigung Null?
An welchen Punkten wechselt die Ableitung [math]f'\left(x\right)[/math] das Vorzeichen von + zu - (Durchlaufsinn von links nach rechts)
An welchen Punkten wechselt die Ableitung [math]f'\left(x\right)[/math]das Vorzeichen von Negativ auf Positiv (Durchlaufsinn von links nach rechts)
An welchen Punkten wechselt die Ableitung [math]f'\left(x\right)[/math] NICHT das Vorzeichen (Durchlaufsinn von links nach rechts)
Vermutungen aufstellen: Hoch- und Tiefpunkte
Formuliere eine "griffige Regel", die einen Hochpunkt bzw. einen Tiefpunkt charakterisieren. Verwende in deiner Regel die 1. Ableitung.
Vermutungen aufstellen: Wendepunkte bzw. Sattelpunkte
Formuliere eine "griffige Regel", die einen Wendepunkt bzw. einen Sattelpunkt charakterisieren. Verwende in deiner Regel die 1. Ableitung.
Die Punkte des Graphen aus dem Eingangsbeispiel sind besondere Punkte. Gib sie an und benenne sie!
Tangentenmalerei
Du kannst mit Scharen von Tangenten interessante Bilder malen (siehe Bild). Das obige Bild wurde mit einem Schieberegler "a" (Bereich von -5 bis 5, Schrittweite 0.1) und dem Befehl [br]Gerade((a,0),(2a,4a²)) erstellt. Aktiviert man "Spur ein" für die Geraden und verändert man den Schieberegler, so entsteht die Tangentenschar für eine "bekannte" Funktion. Kannst du erkennen, welche?
Mit einem Schieberegler ("a") und dem Befehl Tangente([i]Punkt[/i],[i]Funktion[/i]) kannst du die obige Tangentenschar nachbilden. Du musst die Argumente [i]Punkt[/i] und [i]Funktion[/i] durch die richtigen Argumente ersetzen. Probiere es aus! Schreibe den Befehl in die Antwortleiste!
Einführung Krümmung
Das Steigungsverhalten einer Funktion hast du schon mit der ersten Ableitung erkundet.[br]In diesem Abschnitt geht es um das KRÜMMUNGSVERHALTEN einer Funktion.[br]Wir unterscheiden[br][list][*]Linkskrümmig (Fachwort: konvex)[/*][*]Rechtskrümmig(Fachwort: konkav)[/*][/list]Wir stellen uns vor, dass der Graph einer Funktion das Profil einer Strasse ist, die in positiver Richtung von links nach rechts durchfahren wird. [br]Ein Graph heißt in einem bestimmten x-Bereich linkskrümmig , wenn der Fahrer beim Durchfahren das Lenkrad nach links dreht, und rechtskrümmig , wenn der Fahrer das Lenkrad nach rechts dreht.[br](Das ist natürlich nur eine Modellvorstellung).[br]Betrachte das obige Applet. Bediene den Schieberegler.[br]Beantworte anschliessend die Fragen
Der Graph ist im x-Bereich [-10;0] ...
Der Graph ist im x-Bereich [0;10] ...
Der Graph ist im x-Bereich [-4,5;4,5] ...
Gib ein weiteres Intervall aus dem x-Bereich an, w der Graph rechtskrümmig ist
Betrachte jetzt die zweite Ableitung f'' der Funktion. Die zweite Ableitung gibt das Steigungsverhalten der ersten Ableitung wieder. Welches Vorzeichen haben die Werte der zweiten Ableitung im Krümmungsbereich [-10;0]?
Welches Vorzeichen haben die Werte der zweiten Ableitung im Krümmungsbereich [0;10]?
Bedeutung der 2.Ableitung - Lies und notiere!
Lies und notiere!
Graphenpuzzle
Dargestellt sind die Graphen von Funktionen (blau) und ihren zweiten Ableitungen. Ordne die Graphen zu!
Graph (1) gehört zu
Graph (2) gehört zu
Graph (3) gehört zu
Graph (4) gehört zu
2.Ableitung bilden
Gegeben ist die Funktion g(x)=x^3 +x²+5. Bilde die 2.Ableitung![br][br]Anleitung: Bilde die erste Ableitung f'(x) und bilde anschließend die Ableitung der Ableitung (zweimaliges Ableiten)[br]Symbolisch: f''(x)=(x^3+x²+5)''
2.Ableitung bilden
Gegeben ist die Funktion g(x)=3x^4 -x^3+5x. Bilde die 2.Ableitung!
Krümmungsbereiche ermitteln
1) Bilde die 2.Ableitung[br]2) Bestimme - falls vorhanden - die Nullstellen der 2.Ableitung[br]3) Erstelle eine Vorzeichentabelle für die 2.Ableitung (nutze hierfür wieder Teststellen)
Wahr oder falsch?
Wahr oder falsch? Die zweite Ableitung einer Potenzfunktion in der Form f(x)=ax^6 ist wieder eine Potenzfunktion mit Potenzanteil x^4
2.Ableitung und Krümmung
Das Schaubild zeigt den Graphen der Funktion f(x)=-x² +6x. Wie du siehst, ist der Graph rechtskrümmig. Bilde die zweite Ableitung und überprüfe, dass f''(x) negative Wert für alle reellen Zahlen x annimmt.[br][br]Anleitung:[br]Schritt 1: f'(x)=_________________ , f''(x)=___________________ [br][br]Schritt 2: Vorzeichen der Konstante der 2.Ableitung notieren[br][br]Antwortsatz: das Vorzeichen der Konstante ist ______________, die Funktion besitzt einen rechtskrümmigen Graph
2. Ableitung und Krümmung (Beispiel 2)
Das Schaubild zeigt den Graphen der Funktion f(x)=-1/3 x^3 +x²+2 . Du siehst, dass der Graph auf dem Bereich ]-∞;1] rechtskrümmig und auf dem Bereich [1;+∞[ linkskrümmig ist.[br]Überprüfe![br]Anleitung: [br]Schritt 1: f'(x)= ______________________ , f''(x)=__________________________ (Ableitungen bilden)[br][br]Schritt 2: Nullstellen bestimmen: f''(x)= _______________________ = 0 (Nullstellengleichung aufstellen)[br]Lösung x=______________ (1)[br][br]Schritt 3: Vorzeichentabelle für f''(x) erstellen[br][br]linke Teststelle wählen x_L=_______, f''(____)=______ (Vorzeichen notieren)[br][br]rechte Teststelle wählen x_R=_________, f''(____)=________ (Vorzeichen notieren)[br][br]Antwortsatz aufschreiben