Die Dreiecke [i]APE [/i]und [i]BPD [/i]sind gleichschenklig und es gilt [math]|AE|=|EP|[/math]sowie [i][math]|PD|=|BD|[/math][/i][br]Der Umfang der Rechtecke [i]PDCE [/i]ist demnach [i][math]U_{PDCE}=|CE|+|EP|+|PD|+|DC|=|CE|+|AE|+|BD|+|DC|=|AC|+|BC|[/math][/i]

Wenn gilt [i]P=M[/i] ist das Rechteck maximal groß. Es entspricht dann dem Quadrat [i]MFCG [/i]und hat den Flächeninhalt [math]A_{PDCE}=\frac{1}{2}\cdot A_{ABC}[/math]

Mögliche Begründung: [br]Ist [i]P = M , [/i]so sind die rote und die weiße Fläche gleich groß.[br]Bewegt man [i]P [/i]von [i]M [/i]in Richtung [i]B, [/i]wird das linke Dreieck größer um die Fläche [i]MPGE [/i]und das rechte Dreieck kleiner um die Fläche [i]MPDF. [/i]Das Dreieck [i]MPH [/i]kommt hinzu und fällt weg und muss daher nicht mehr betrachtet werden.[br]Es genügt zu zeigen, dass die Fläche vom dazukommenden Rechteck [i]GMHE [/i]größer ist als die des wegfallenden Rechtecks [i]HPDF. [br][/i]Das Dreieck [i]HMP [/i]ist ebenfalls ein rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck und somit [i]|HM|=|HP|. [br][/i]Die Rechtecke [i]GMHE [/i]und [i]HPDF[/i] haben demnach eine gleich lange Seite. Es genügt demnach zu zeigen, dass die Seite [i]EH [/i]des linken Rechtecks länger ist als [i]FH [/i]des rechten Rechtecks. Dies folgt aus der Voraussetzung, dass [i]P [/i]zwischen [i]M [/i]und [i]B [/i]bewegt wird.

Die Seitenlänge des Quadrats [i]PDFH [/i]ist ein Viertel mal so lang wie eine Seite des Dreiecks.[br]Der Umfang des Quadrats ist somit so groß wie ein Schenkel des Dreiecks [i]ABC [/i]: [math]U_{PDFH}=4\cdot\frac{1}{4}\cdot AB=AB[/math][br]Der Flächeninhalt von [i]PDFH [/i]ist ein Viertel von [i]MFCG [/i]und somit ein Achtel vom Dreieck [i]ABC[/i].