В тетраэдре DABC точка М - середина DA, РDС и DР:РС=1:3. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М и Р и параллельно ВС. Найдите площадь сечения, если все ребра тетраэдра равны а.

AD=BD=CD=AB=BC=CA=a[br]MD=0.5a [br]DP=DF=FP=0.25a[br][br]Рассмотрим треугольники ADB и MPH[br]ADB - равносторонний [br]MFP - равнобедренный, MF=MP[br][br]По теореме косинусов:[br][math]MF^2=MD^2+DF^2-2\times MD\times DF\times cos\angle MDF[/math][br][math]MF^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{a}{4}\right)^2-2\times\frac{a}{2}\times\frac{a}{4}\times cos60^{\circ}=\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{16}-2\times\frac{a^2}{8}\times\frac{1}{2}=\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{16}-\frac{a^2}{8}=\frac{3a^2}{16}[/math][br][math]MF=MP=\sqrt{\frac{3a^2}{16}}=\frac{a\sqrt{3}}{4}[/math][br][br]По т.Пифагора:[br][math]h_{\Delta FMP}=\sqrt{\frac{ }{ }MF^2-\left(\frac{1}{2}FP\right)^2}[/math][br][math]h_{\Delta FMP}=\sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2-\left(\frac{a}{4}\times\frac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{16}-\frac{a^2}{64}}=\sqrt{\frac{11a^2}{64}}=\frac{a\sqrt{11}}{8}[/math][br][br]Площадь сечения:[br][math]S_{\Delta FMP}=\frac{1}{2}h_{\Delta FMP}\times FP[/math][br][math]S_{\Delta FMP}=\frac{1}{2}\times\frac{a\sqrt{11}}{8}\times\frac{a}{4}=\frac{a^2\sqrt{11}}{64}[/math][br]Ответ:[math]S_{\Delta FMP}=\frac{a^2\sqrt{11}}{64}[/math]

В параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 основание АВСD - квадрат со стороной, равной 8 см, остальные грани прямоугольники, боковое ребро равно 3 см. Е - середина A1B1. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью , проходящей через АС и точку Е, и найдите периметр сечения.

[math]AC=\sqrt{CB^2+AB^2}[/math] (т. Пифагора)[br][math]AC=\sqrt{8^2+8^2}=8\sqrt{2}см[/math][br]FE - средняя линия в треугольнике C1B1A1[br][math]FE=\frac{1}{2}A1C1=\frac{1}{2}AC[/math][br][math]FE=\frac{1}{2}\times8\sqrt{2}=4\sqrt{2}см[/math][br][br][math]AE=\sqrt{AA1^2+\left(\frac{1}{2}A1B1\right)^2}[/math](т. Пифагора)[br][math]AE=CF=\sqrt{3^2+\left(\frac{1}{2}\times8\right)^2}=\sqrt{9+16}=5см[/math][br][br][math]P_{CAEF}=AC+FE+AE+CF[/math][br][math]P_{CAEF}=8\sqrt{2}+4\sqrt{2}+5+5=10+12\sqrt{2}см[/math][br]Ответ: [math]P_{CAEF}=10+12\sqrt{2}см[/math]