[color=#cc0000][size=200]Verifique que ∇ × (∇ f ) = 0 para las siguientes funciones. [/size][/color]
[size=150][b]29. [/b][math]f(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac{1}{2}}[/math][/size][br][br]Resolvemos la parte ∇f de la siguiente manera:[br][br][math]\frac{\partial f}{\partial x}=x\left(x^2+y^2+z^2\right)^{-\frac{1}{2}}[/math][br][br][math]\frac{\partial f}{\partial y}=y\left(x^2+y^2+z^2\right)^{-\frac{1}{2}}[/math][br][br][math]\frac{\partial f}{\partial z}=y\left(x^2+y^2+z^2\right)^{-\frac{1}{2}}[/math][br][br][math]∇f=\left(x\left(x^2+y^2+z^2\right)^{-\frac{1}{2}}\right)i+\left(y\left(x^2+y^2+z^2\right)^{-\frac{1}{2}}\right)j+\left(x\left(x^2+y^2+z^2\right)^{-\frac{1}{2}}\right)k[/math][br][br]Ahora, resolvemos la parte ∇ × (∇ f ):[br][br]Primero , tenemos que [math]∇f=f_1i+f_2j+f_3k[/math]:[br][br]Ahora, calculamos el rotacional de este gradiente de la siguiente manera:[br][br][math]∇\times∇f=\left(\frac{\partial\left(f_3\right)}{\partial y}-\frac{\partial\left(f_2\right)}{\partial z}\right)i+\left(\frac{\partial\left(f_1\right)}{\partial z}-\frac{\partial\left(f_3\right)}{\partial x}\right)j+\left(\frac{\partial\left(f_2\right)}{\partial x}-\frac{\partial\left(f_1\right)}{\partial y}\right)k[/math][br][br]Entonces, resolviendo las integrales parciales, tenemos lo siguiente:[br][br][math]∇\times∇f=\left(\left(-zy+yz\right)i+\left(-xz+zx\right)j+\left(-yx+xy\right)k\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)^{-\frac{3}{2}}=\left(0i+0j+0k\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)^{-\frac{3}{2}}=0i+0j+0k[/math][br][br]Por lo tanto, cumple ∇×(∇ f )=0.[br]
[size=150][b]31. [/b][math]f(x,y,z)=\frac{1}{(x^2+y^2+z^2)}[/math][/size][br][br]Resolvemos la parte ∇f de la siguiente manera:[br][br][math]\frac{\partial f}{\partial x}=-2x\left(x^2+y^2+z^2\right)^{-2}[/math][br][br][math]\frac{\partial f}{\partial y}=-2y\left(x^2+y^2+z^2\right)^{-2}[/math][br][br][math]\frac{\partial f}{\partial z}=-2z\left(x^2+y^2+z^2\right)^{-2}[/math][br][br]Entonces, nos queda lo siguiente:[br][br][math]∇f=\left(-2x\left(x^2+y^2+z^2\right)^{-2}\right)i+\left(-2y\left(x^2+y^2+z^2\right)^{-2}\right)j+\left(-2z\left(x^2+y^2+z^2\right)^{-2}\right)k[/math][br][br]Ahora, calculamos el rotacional de este gradiente de la siguiente manera:[br][br][math]∇\times∇f=\left(\frac{\partial\left(f_3\right)}{\partial y}-\frac{\partial\left(f_2\right)}{\partial z}\right)i+\left(\frac{\partial\left(f_1\right)}{\partial z}-\frac{\partial\left(f_3\right)}{\partial x}\right)j+\left(\frac{\partial\left(f_2\right)}{\partial x}-\frac{\partial\left(f_1\right)}{\partial y}\right)k[/math][br][br]Entonces, resolviendo las integrales parciales, tenemos lo siguiente:[br][br][math]∇\times∇f=\left(\left(8zy-8yz\right)i+\left(8xz-8zx\right)j+\left(8yx-8xy\right)k\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)^{-2}=\left(0i+0j+0k\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)^{-2}=0i+0j+0k[/math][br][br]Por lo tanto, cumple ∇×(∇ f )=0.[br]
[size=150][b]33.- Muestre que [/b][math]F=y(cosx)i+x(seny)j[/math][b] no es un campo vectorial gradiente.[br][br][/b][/size]Como ya está en forma [math]\bigtriangledown f[/math], entonces pasamos a calcular la parte [math]\bigtriangledown\times\left(\bigtriangledown f\right)[/math] para ver si cumple con la condición. Entonces, tenemos a F de la siguiente manera:[br][br][math]F=y(cosx)i+x(seny)j+0k[/math][br][br]Ahora, calculamos el rotacional de este gradiente de la siguiente manera:[br][br][math]∇\times∇f=\left(\frac{\partial\left(f_3\right)}{\partial y}-\frac{\partial\left(f_2\right)}{\partial z}\right)i+\left(\frac{\partial\left(f_1\right)}{\partial z}-\frac{\partial\left(f_3\right)}{\partial x}\right)j+\left(\frac{\partial\left(f_2\right)}{\partial x}-\frac{\partial\left(f_1\right)}{\partial y}\right)k[/math][br][br]Entonces, resolviendo las derivadas, tenemos lo siguiente:[br][br][math]∇\times∇f=\left(0-0\right)i+\left(0-0\right)j+\left(sen\left(y\right)-cos\left(x\right)\right)k=\left(sen\left(y\right)-cos\left(x\right)\right)k[/math][br][br]Por lo tanto, como el rotacional de F no es cero en general, concluimos que F no es un campo vectorial gradiente.[br][br]