Computerorientierte Anwendungen
Unterlagen und Materialien zur Lehrveranstaltung "Computerorientierte Anwendungen". Work in progress
Table of Contents
- Zufallszahlen
- Monte Carlo-Näherung für Pi - Variante
- Irrfahrt - Random Walk
- Zufallszahlengenerator - Lineare Kongruenzmethode
- Zufallszahlengenerator (HP-Verfahren) 1
- Zufallszahlengenerator (HP-Verfahren) 2
- Zufallszahlengenerator nach Lehmer
- Zufallszahlengenerator (Fibonacci-Generator)
- Excel-Arbeitsblätter
- Schaltalgebra/Digitaltechnik
- Schaltfunktion 1
- Logische Schaltungen - Gatter
- Halbaddierer
- Volladdierer
- Simulationen mit LOGIGATOR
- Kurven und Flächen
- Näherungsverfahren
- Animationen und Simulationen mit GeoGebra
- Galtonbrett
- Glücksrad
- Fadenpendel mit 15 Kugeln
- Lineare Optimierung
- Marmeladenproduktion (Lineare Optimierung)
- GeoGebra: Solver, AI, ...
Monte Carlo-Näherung für Pi - Variante
Schaltfunktion 1
Galtonbrett
Das [b]Galtonbrett [/b]geht zurück auf [i]Sir Francis C. Galton (1822-1911)[/i].[br][br]In dieser Simulation werden Hindernisse - bei einer realen Umsetzung beispielsweise Nägel - in Form eines Dreiecks in 6 Reihen angeordnet. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel bei einem Hindernis nach rechts fällt (mit der Wahrscheinlichkeit [math]p[/math]) oder nach links fällt (mit der Wahrscheinlichkeit [math]q=1-p[/math]), ist gleich groß: [math]p=q=\frac{1}{2}[/math].[br]Die Verteilung der Kugeln in den sechs Behältern entspricht einer [b]Binomialverteilung[/b] mit [b]n = 6[/b] und [b]p = 0,5[/b].[br][br][b]Berechnung der Wahrscheinlichkeiten[/b][br][br]Die Zufallsvariable X gibt an, wie oft die Kugel den Weg nach rechts nimmt.[br][math]\text{1 = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)}[/math][br] [math]=\binom{6}{0}\cdot0,5^6+\binom{6}{1}\cdot0,5^5\cdot0,5^1+\binom{6}{2}\cdot0,5^4\cdot0,5^2+\binom{6}{3}\cdot0,5^3\cdot0,5^3+\binom{6}{4}\cdot0,5^2\cdot0,5^4+\binom{6}{5}\cdot0,5^1\cdot0,5^5+\binom{6}{6}\cdot0,5^6=[/math] [br] = 1·0,5[sup]6[/sup] + 6·0,5[sup]6[/sup] + 15·0,5[sup]6[/sup] + 20·0,5[sup]6[/sup] + 15·0,5[sup]6[/sup] + 6·0,5[sup]6[/sup] + 1·0,5[sup]6[/sup][br] [b]= 0,0156 + 0,0938 + 0,2344 + 0,3125 + 0,2344 + 0,0938 + 0,0156[/b]
Vergleich mit dem Wahrscheinlichkeitsrechner
Im Vergleich dazu die Wahrscheinlichkeitsfunktion für eine Binomialverteilung mit n = 6 und p = 0.50.
Marmeladenproduktion (Lineare Optimierung)
Aufgabenstellung
Ein Unternehmen produziert Marillen- und Erdbeermarmelade. Die Marillenmarmelade wird in 250 g Gläsern angeboten, während die Erdbeermarmelade in 350 g Gläser abgefüllt wird.[br]Die Produktionskosten betragen für ein Glas Marillenmarmelade € 1,55 und für ein Glas Erdbeermarmelade € 1,25. Der Verkaufspreis für den Großhändler beträgt pro Glas € 2,10 für Marillen- und € 1,80 für die Erdbeermarmelade.[br]Insgesamt stehen dem Unternehmen für den Produktionsprozess € 80.000 zur Verfügung, und es können aus Auslastungsgründen maximal 55.000 Gläser abgefüllt werden.[br]Wie viele Gläser Marillen- und Erdbeermarmelade sollen produziert werden, damit der erzielte Gewinn möglichst groß ist?[br]Wie groß ist der maximale Gewinn?[br]-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------[br][i][b]Lösung[/b][/i][br][br][table][tr][td][/td][td]Produktionskosten[/td][td] Verkauspreis [/td][td] Gewinn [/td][/tr][tr][td][center]Marillenmarmelade[/center][/td][td][center]1,55[/center][/td][td][center]2,20[/center][/td][td][center]0,65[/center][/td][/tr][tr][td][center]Erdbeermarmelade[/center][/td][td][center]1,25[/center][/td][td][center]1,80[/center][/td][td][center]0,55[/center][/td][/tr][/table][br]x ... Anzahl der Gläaser Marillenmarmelade[br]y ... Anzahl der Gläser Erdbeermarmelade[br][br] I: x ≥ 0[br] II: y ≥ 0[br]III: x + y ≤ 55.000[br]IV: 1,55x + 1,25y ≤ 80.000[br][br]Gewinn G = 0,65x + 0,55y → Maximum[br][br] [math]y=-\frac{0,65}{0,55}x+\frac{G}{0,55}[/math][br][br][b]Applet[/b][br]Im Applet ist die Gerade [math]y=-\frac{0,65}{0,55}x[/math] gezeichnet. [br]Verschiebe den [color=#0000ff][b]Punkt A[/b][/color] und somit auch die durch A gehende parallel Gerade. Beobachte, wie sich der Gewinn dabei verändert.
Der maximale Gewinn von € 34.000 wird bei 37.500 Gläsern Marillen- und 17.500 Gläsern Erdbeermarmelade erzielt.