Graphen gebrochen-rationaler Funktionen
[b]Graphen gebrochen-rationaler Funktionen[/b][br][br]Du hast schon Graphen gebrochen-rationaler Funktionen gesehen. Klaus dagegen anscheinend nicht. Er[br]hat die Funktionsvorschrift [math]f:x\mapsto\frac{1}{x-0,5}+2[/math] gegeben und dazu eine Wertetabelle erstellt:
Mithilfe derer zeichnet er folgenden Graphen:
[b][i]Aufgabe[/i][/b]: [br][i]a) [/i][i]Sieh dir den Funktionsterm noch einmal an und bestimme die Definitionslücke. Dieser[br]Lücke wird [u]kein[/u] Funktionswert [math]f\left(x\right)=y[/math][/i][i] zugeordnet![/i][br][br][b]Definitionslücke[/b]: x =
[i]Taucht sie in Klaus‘ Wertetabelle auf?[/i][br][br][br][i]a) [/i][i]Plotte nun selbst die Funktion und beschreibe kurz in deinem Übungsheft den Verlauf der Funktion links und rechts von der Definitionslücke. Nutze dazu die Zoom-Funktion des Plotters. [br]Benenne den Fehler, den Klaus gemacht hat. [/i]
[b]Hinweis: [/b][br]Klicke "Antworten überprüfen", um einen Hinweis zu erhalten. [br][br][br]
Und weiter geht es mit dem [b][color=#0b5394]Hefteintrag[/color][/b]: [br][br][color=#0b5394][b]Graph:[/b][br]Bei Definitionslücken haben die Graphen gebrochen-rationaler Funktionen so genannte [u]senkrechte Asymptoten[/u]. Das sind Geraden, denen sich der Graph beliebig anschmiegt, ohne sie zu berühren. [/color]
[b][i]Aufgabe[/i][/b][i]: [/i][br][i]Betrachte noch einmal den eben geplotteten Graphen. Siehst du auch noch eine [b]waagrechte Asymptote[/b]?[br][br][/i][b]Hinweis: [/b][br]Klicke "Antworten überprüfen", um einen Hinweis zu erhalten.
[b]Gleichung der waagrechten Asymptote[/b]: y =
[b][i]Aufgabe: [br][/i][/b][br][i]a) [/i][i]Setze nun sehr große Werte (1000, 10.000, 100.000) und sehr kleine Werte (-1000, -10.000,[br]-100.000) in die Funktionsgleichung von oben, [math]f\left(x\right)=\frac{1}{x-0,5}+2[/math][/i][i], ein, und berechne die Funktionswerte.[br]Notiere dir die Ergebnisse auch in deinem Übungsheft und beschreibe dort (gerne auch stichpunktartig, aber nachvollziehbar) deine Beobachtungen. [/i][br][br][i]b) [/i][i]Stelle eine Hypothese auf, woran du am Funktionsterm die waagrechte Asymptote erkennen kannst, und schreibe diese ebenfalls in dein Heft. [br][br]Überprüfe deine Hypothese, indem du in die folgenden drei Funktionsgleichungen ebenfalls die Werte +/-[/i][i]1000, +/- [/i][i]10.000 und +/- [/i][i]100.000 einsetzt und einen Bezug zu den Termen herstellst:[/i][br][br][br][i][math]a\left(x\right)=\frac{2}{x}-3,5[/math] [/i][i], [math]b\left(x\right)=\frac{1}{x+2}+1[/math] [/i][i] und [math]c\left(x\right)=-\frac{2}{4-0,5x}[/math][/i][br][br][br]
[b]Gleichungen der waagrechten Asymptoten der Funktionen a, b und c: [/b]
Woran erkennt man schon am Term die [b]Gleichung der waagrechten Asymptote[/b]?
Der letzte Teil des [b][color=#0b5394]Hefteintrags [/color][/b]in diesem Abschnitt:[br][br][color=#0b5394][b]Merke[/b]: Den Graphen einer gebrochen-rationalen Funktion nennt man [b][u]Hyperbel[/u][/b]. Er besteht aus zwei nicht[br]verbundenen Ästen, die punktsymmetrisch zum Schnittpunkt der [b]Asymptoten [/b]des Graphen sind.[br][br][br][b]Skizze[/b]: [/color]([i]bitte auch ins Schulheft übernehmen![/i])
