CÓNICAS
Cónicas
Table of Contents
- Introducción
- Introducción
- Secciones cónicas
- Secciones cónicas
- Estudio analítico de las cónicas
- Estudio analítico de las cónicas en el plano.
- Clasificación afín de las cónicas. Centro, ejes y diámetros.
- CLASIFICACIÓN AFÍN DE CÓNICAS.
- Las cónicas como lugares geométricos
- Las cónicas como lugares geométricos.
- Las cónicas como curvas paramétricas
- Las cónicas como curvas paramétricas.
- Las cónicas como envolventes
- Las cónicas como envolventes
- Cónica dados 5 puntos
- Cónica dados 5 puntos
Introducción
Las secciones cónicas tienen diferentes aplicaciones en la vida real, por ejemplo: los cables de los puentes colgantes, los detectores de radar o los focos de los coches tienen forma parabólica; las órbitas de los planetas que giran alrededor del sol y algunas lentes ópticas son elíptica.[br]La primera definición de sección cónica (cono circular recto) apareció en la civilización Griega.[br]Apolonio de Perga efectuó estudios matemáticos sobre secciones cónicas, y compuso un tratado sobre curvas cónicas.[br]Durante varios siglos, las cónicas no tuvieron un papel relevante en los estudios matemáticos, hasta que se descubrió que gran parte de fenómenos físicos tenían trayectorias cónicas.[br]Los estudios de Galileo demostraron que las trayectorias de los proyectiles siguen una trayectoria parabólica, y los estudios de Kepler demostraron que los planetas seguían una trayectoria elíptica.
Secciones cónicas
Se denominan SECCIÓN CÓNICA a la curva formada por la intersección de plano con un cono.
¿RECUERDAS las ecuaciones de rectas y planos en el espacio?. Si no las recuerdas repásalas.
Cono
CONO
[br]Un CONO es aquel que se puede generar al girar una recta s con respecto a otra no paralela r (EJE DE ROTACIÓN), y cuyo VÉRTICE es [math]P_0=P_0(x_0,y_0,z_0)=r\cap s[/math].[br]Si [math]\vec{v}=(a,b,c)[/math] es el vector director de r tal que [math]|\vec{v}|=1[/math] y [math]\theta=\angle\left(r,s\right);0<\theta<90^\circ[/math].[br]Un punto [math]P=P(x,y,z)[/math] pertenece al CONO si cumple:[br][math]\left(\vec{P_0P}\bullet\vec{v}\right)^2=\left(\left|\vec{P_0P}\right|\cdot\left|\vec{v}\right|\cdot cos\left(\theta\right)\right)^2[/math][br]Que equivale a la ecuación:[br][math]\left(a\cdot\left(x-x_0\right)+b\cdot\left(y-y_0\right)+c\cdot\left(x-x_0\right)\right)^2=\left(\sqrt{\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2+\left(x-x_0\right)^2}\cdot\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot cos\left(\theta\right)\right)^2[/math][br]Desarrollando, esta expresión y teniendo en cuenta que [math]|\vec{v}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=1[/math], su ecuación implícita será:[br][math]F\left(x,y,z\right):\left(cos^2\left(\theta\right)-a^2\right)\cdot\left(x-x_0\right)^2+\left(cos^2\left(\theta\right)-b^2\right)\cdot\left(y-y_0\right)^2+\left(cos^2\left(\theta\right)-c^2\right)\cdot\left(z-z_0\right)^2[/math][br][math]-2\cdot\left(a\cdot b\cdot\left(x-x_0\right)\cdot\left(y-y_0\right)+a\cdot c\cdot\left(x-x_0\right)\cdot\left(z-z_0\right)+b\cdot c\cdot\left(y-y_0\right)\cdot\left(z-z_0\right)\right)=0[/math]
CONO: Selecciona las casillas de control y escribe los datos adecuados.
Observación:
Si [math]P_0=(0,0,0)[/math] y [math]\vec{v}=(0,0,1)[/math], dividiendo por [math]cos^2(\theta)[/math], queda la ecuación:[br][math]F\left(x,y,z\right)=x^2+y^2-tan^2\left(\theta\right)\cdot z^2=0[/math]
SECCIONES CÓNICAS
Para entender mejor las secciones cónicas, veamos una cónica particular:[br]Tomemos el cono de vértice [math]P_0=(0,0,z_0)[/math], el vector director del eje del cono [math]\vec{v}=\left(0,cos\left(\alpha\right),sen\left(\alpha\right)\right)[/math], siendo [math]\alpha[/math] el ángulo entre el eje del cono y el plano [math]\pi:z=0[/math].[br]La intersección del cono y del plano vendrá dada por la ecuaciones:[br][math]\left(cos\left(\theta\right)\right)^2\cdot x^2+\left(\left(cos\left(\theta\right)\right)^2-\left(cos\left(\alpha\right)\right)^2\right)\cdot y^2-2\cdot cos\left(\alpha\right)\cdot sen\left(\alpha\right)\cdot\left(z-z_0\right)\cdot y+\left(\left(cos\left(\theta\right)\right)^2-\left(sen\left(\alpha\right)\right)^2\right)\cdot\left(z-z_0\right)^2=0[/math][br][math]z=0[/math][br]Resultando la ecuación de la CÓNICA:[br][math]\left(cos\left(\theta\right)\right)^2\cdot x^2+\left(\left(cos\left(\theta\right)\right)^2-\left(cos\left(\alpha\right)\right)^2\right)\cdot y^2+2\cdot cos\left(\alpha\right)\cdot sen\left(\alpha\right)\cdot z_0\cdot y+\left(\left(cos\left(\theta\right)\right)^2-\left(sen\left(\alpha\right)\right)^2\right)\cdot\left(z_0\right)^2=0[/math][br]Que denominando:[br][math]A=\left(cos\left(\theta\right)\right)^2;B=\left(\left(cos\left(\theta\right)\right)^2-\left(cos\left(\alpha\right)\right)^2\right);C=2\cdot cos\left(\alpha\right)\cdot sen\left(\alpha\right)\cdot z_0;D=\left(\left(cos\left(\theta\right)\right)^2-\left(sen\left(\alpha\right)\right)^2\right)\cdot\left(z_0\right)^2[/math][br]La ecuación de la cónica queda como:[br][math]A\cdot x^2+B\cdot y^2+C\cdot y+D=0[/math]
Cónica particular
OBSERVACIONES
Como [math]0<\alpha<90^{\circ}[/math] y [math]0<\theta<90^\circ[/math], A>0, y por tanto:[br]1.- Si [math]\alpha>\theta\Rightarrow B>0\Rightarrow[/math] la cónica es una ELIPSE.[br]2.- Si [math]\alpha=\theta\Rightarrow B=0\Rightarrow[/math] la cónica es una PARÁBOLA.[br]3.-Si [math]\alpha<\theta\Rightarrow B<0\Rightarrow[/math]la cónica es una HIPÉRBOLA.[br]En el caso particular de que [math]z_0=0[/math], tenemos una CÓNICA DEGENERADA, cuyas posibles soluciones serían:[br]1.- Si [math]\theta>\alpha\Rightarrow[/math] La única solución es el punto [math]P_0=(0,0,0)[/math].[br]2.- Si [math]\theta=\alpha\Rightarrow[/math] La solución es la recta que contiene al eje OY.[br]3.- Si [math]\theta<\alpha\Rightarrow[/math] La solución son dos rectas no paralelas que pasan por el origen de coordenadas y que están sobre el plano [math]z=0[/math].
Cono
CÓNICA GENERAL
Estudio analítico de las cónicas en el plano.
ECUACIÓN ALGEBRAICA DE UNA CÓNICA.
Una curva cónica C, en el plano XY, satisface una ecuación algebraica de grado dos respecto a las variables x e y. Por tanto su ecuación será de la forma:[br][math]A\cdot x^2+B\cdot y^2+C\cdot x\cdot y+D\cdot x+E\cdot y+F=0[/math][br]Siendo A, B, C, D, E y F números reales.[br]También podemos expresar la ecuación de la cónica C, en forma matricial de la forma:[br][math]\left(1,x,y\right)\cdot M\cdot\left(\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}\right)=0[/math][br]Siendo M una matriz cuadrada real de orden 3 y simétrica [math]\left(M=M^t\right)[/math]. M se denomina matriz de coordenadas.
MATRIZ DE COORDENADAS.
EJEMPLOS.
ECUACIÓN ALGEBRAICA DE LA CÓNICA.
Observaciónes:
1.- Decimos que dos puntos del plano [math]\left(u_1,u_2\right),\left(v_1,v_2\right)[/math] son conjugados respecto de la cónica [math]C:\left(1,x,y\right)\cdot M\cdot\left(\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}\right)=0[/math] si se cumple: [math]\left(1,u_1,u_2\right)\cdot M\cdot\left(\begin{matrix}1\\v_1\\v_2\end{matrix}\right)=0[/math].[br]Si se cumple: [math]\left(1,u_1,u_2\right)\cdot M\cdot\left(\begin{matrix}1\\u_1\\u_2\end{matrix}\right)=0[/math] , decimos que el punto [math]\left(u_1,u_2\right)[/math] es autoconjugado respecto de la cónica C. Es evidente que si el punto [math]\left(u_1,u_2\right)[/math] pertenece a la cónica C, entonces es autoconjugado [br]2.- Hay que observar que una cónica C, verifica infinitas ecuaciones de la forma [math]\left(1,x,y\right)\cdot M\cdot\left(\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}\right)=0[/math], ya que si N es una matriz proporcional a M, existe un real c no nulo, tal que se verifica:[br][math]\left(1,x,y\right)\cdot N\cdot\left(\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}\right)=c\cdot\left(1,x,y\right)\cdot M\cdot\left(\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}\right)=c\cdot0=0[/math][br]3.- Si [math]C:\left(1,x,y\right)\cdot M\cdot\left(\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}\right)=0[/math] es la ecuación de una cónica, respecto de un sistema de referencia R, y S es otro sistema de referencia, cuyas ecuaciones de cambio viene dadas por [math]\left(1,x,y\right)=\left(1,x',y'\right)\cdot N[/math] , entonces, la cónica C, respecto del nuevo sistema de referencia S vendrá dado por las ecuaciones :[br][math]C:\left(1,x,y\right)\cdot N^t\cdot M\cdot N\cdot\left(\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}\right)=0[/math]
EJEMPLOS.
RECTA POLAR
Si [math]P_0=(x_0,y_0)[/math] es un punto del plano afín, denominamos recta polar de [math]P_0[/math], respecto de la cónica [math]C:\left(1,x,y\right)\cdot M\cdot\left(\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}\right)=0[/math] [br]a la recta [br][math]r:\left(1,x_0,y_0\right)\cdot M=0[/math][br][br]
RECTA POLAR.
Observaciones:
1.- Si [math]\left(1,x_0,y_0\right)\cdot M=\left(t,0,0\right);t\epsilon\mathbb{R}-\left\{0\right\}\Rightarrow[/math] No existe ningún punto P del plano afín conjugado con [math]P_0[/math]. [br]2.- Si [math]\left(1,x,y\right)\cdot M=\left(0,0,0\right)\Rightarrow[/math] Cualquier punto P del plano afín es conjugado con [math]P_0[/math].
PUNTOS SINGULARES
El conjunto de los puntos singulares de la cónica [math]C:\left(1,x,y\right)\cdot M\cdot\left(\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}\right)=0[/math] es:[br][math]\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2:\left(1,x,y\right)\cdot M=\left(0,0,0\right)\right\}[/math].[br]Es decir, dichos puntos resultan de resolver el sistema de ecuaciones:[br][math]m_{00}+m_{01}\cdot x+m_{02}\cdot y=0[/math][br][math]m_{01}+m_{11}\cdot x+m_{12}\cdot y=0[/math][br][math]m_{02}+m_{12}\cdot x+m_{22}\cdot y=0[/math][br]Además, teniendo en cuenta la compatibilidad de dicho sistema se cumplirá:[br]- Si rango(M)=3, C no tiene puntos singulares.[br]- Si rango(M)=2, existe un único punto singular.[br]- Si rango(M)=1, existe infinitos puntos singulares (pertenecientes a una recta).
EJEMPLO.
PUNTOS SINGULARES DE UNA CÓNICA C.
Observaciones:
- La cónica [math]C:\left(1,x,y\right)\cdot M\cdot\left(\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}\right)=0[/math] es regular si [math]\left|M\right|\ne0[/math], en otro caso es degenerada.[br]- Si la cónica C es regular y r es una recta polar del punto [math]P_0(x_0,y_0)[/math], entonces [math]P_0[/math] es único y se denomina polo de la recta r.[br]
EJEMPLOS.
POSICIÓN DE RECTA Y CÓNICA
Si r es una recta y C una cónica, los puntos de intersección [math]r\cap C[/math], se obtendrán al resolver el sistema de ecuaciones de la recta r y de la cónica C. Y se cumplirá:[br]- Si es un sistema incompatible, la recta r será exterior a la cónica C.[br]- Si es un sistema compatible determinado:[br] * Si tiene solución única r es tangente a C[br] * Si tiene dos soluciones r es secante a C.[br]- Si C es compatible indeterminado r esta incluida en C, y r es generatriz de C.
Ejemplo
Y dado que (2,2) es un punto de la Cónica, esta recta es la recta tangente a la Cónica que pasa por el punto (2,2).
Observaciones:
1.- Si la cónica C posee una recta generatriz, entonces C es unión de dos rectas del plano afín.[br]2.- Si C es una cónica y [math]P_0[/math] es un punto singular de C, entonces, toda recta que pasa por [math]P_0[/math] o es recta tangente a C o es recta generatriz de C.
CÓNICAS REGULARES
Si [math]C:\left(1,x,y\right)\cdot M\cdot\left(\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}\right)=0[/math] es una CÓNICA REGULAR es decir si |M| ≠ 0. [br]Si denominamos:[br][math]M_{00}=\left(\begin{matrix}m_{11}m_{12}\\m_{12}m_{22}\end{matrix}\right)[/math][br]Resolviendo el sistema (1,x,y).M = (λ,0,0) ; λ ∈ R - {0}, se cumple:[br]a) Si [math]\left|M_{00}\right|\ne0[/math] , existe un único punto Q que es centro de la cónica C.[br]b) Si [math]\left|M_{00}\right|=0[/math], entonces la cónica C no tiene centro, ya el sistema (1,x,y).M = (λ,0,0) ; λ ∈ R - {0}, sería incompatible.[br][br]
CENTRO DE UNA CÓNICA
Un punto P ∈ A (plano afín) es CENTRO de la CÓNICA C, cuando no existe ningún punto P ' conjugado con P, respecto de la cónica C.[br]Como los puntos P ∈ A (plano afín), que no poseen puntos conjugados deben de cumplir la ecuación:[br](1,x,y).M = (λ,0,0) ; λ ∈ R - {0}[br]Es equivalente a resolver el sistema de ecuaciones:[br][math]m_{00}+m_{01}\cdot x+m_{02}y=λ;λ∈R-\left\{0\right\}[/math][br][math]m_{01}+m_{11}\cdot x+m_{02}\cdot y=0[/math][br][math]m_{12}+m_{12}\cdot x+m_{22}\cdot y=0[/math][br][b]Ejemplo[/b]: [br]Dada la cónica:[br][math]x^2+4\cdot y^2+2\cdot x\cdot y+4\cdot x-2\cdot y+1=0[/math][br]Resolviendo las ecuaciones:[br][math]1+2\cdot x-y=\lambda[/math][br][math]2+x+y=0[/math][br][math]-1+x+4y=0[/math][br]Obtenemos el Centro de la elipse (-3,1).
CÓNICAS DEGENERADAS
Si [math]C:\left(1,x,y\right)\cdot M\cdot\left(\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}\right)=0[/math] es una cónica degenerada, es decir [math]\left|M\right|=0[/math], resolviendo el sistema:[br](1,x,y).M = (λ,0,0) ; λ ∈ R - {0}[br]y teniendo en cuenta que para que exista solución, se tiene que cumplir:[br][math]rango\left(M\right)=rango\left(\begin{matrix}\begin{matrix}m_{00}m_{01}m_{02}\lambda\end{matrix}\\m_{01}m_{11}m_{12}0\\m_{02}m_{12}m_{22}0\end{matrix}\right)[/math][br]a) Si [math]\left|M_{00}\right|\ne0[/math], el sistema no tiene solución y C no tiene centro.[br]b) Si [math]\left|M_{00}\right|=0[/math], [math]m_{01}=0[/math] y [math]m_{02}=0[/math][br] - Si [math]m_{00}=0[/math] C no tiene centro.[br] - Si [math]m_{00}\ne0[/math] Si rango(M)=1, C no tiene centro y si rango(M)=2, el centro de C es una recta.[br]
RECTA TANGENTE A CÓNICA Y HAZ DE CÓNICAS.
CLASIFICACIÓN AFÍN DE CÓNICAS.
CLASIFICACIÓN AFÍN.
CENTRO Y DIÁMETRO O EJES DE LAS CÓNICAS.
CLASIFICACIÓN AFÍN
Las cónicas como lugares geométricos.
Si consideramos el plano afín euclídeo, dado un punto f (denominado FOCO), una recta D (denominada DIRECTRIZ) y un número real e (denominado EXCENTRICIDAD). Denominamos CÓNICA C al conjunto de puntos del plano A cuya distancia al foco es igual al producto de e por su distancia a la directriz. Es decir:[br][math]C=\left\{p\epsilon A:d\left(p,f\right)=e\cdot d\left(p,D\right)\right\}[/math][br]Teniendo en cuenta que hay varios tipos de cónicas, según el valor de su excentricidad, podemos clasificar:[br] si e < 1 es una ELIPSE .[br] si e = 1 es una PARÁBOLA.[br] si e > 1 es una HIPÉRBOLA.[br]Como resumen, en el caso de las ecuaciones reducidas de las cónicas, los correspondientes focos, directrices y excentricidades vienen dadas por:
Como ejemplo de cónicas, estudiaremos los casos particulares de la parábola, la elipse y la hipérbola en sus formas canónicas (tomando un sistema de referencia adecuado).
ELIPSE
En el plano afín real E, se llama ELIPSE a la CÓNICA que tiene por focos los puntos f(C) y f‘(C’) (situados a una distancia dist(f,f’) = 2.c), y cuya constante es 2a ∈ R (siendo a>c), al lugar geométrico de los puntos P(x,y) de E, tales que:[br] dist(P,f) + dist(P,f’) = 2 a[br]Se denominan EJES de la elipse (por ser sus ejes de simetría ortogonales), a la recta que pasa por f y f’ (de segmento mayor) y a su mediatriz (de segmento menor)
El punto de intersección de los ejes de la elipse, es su CENTRO, y los puntos de intersección con la elipse se denomina vértices (A y A‘ para el eje mayor, B y B’ para el eje menor).[br]De la definición se desprende que la ELIPSE es simétrica respecto de los segmentos AA’ y BB’. De donde se deduce:[br] dist(A,f) + dist(A,f ’) = dist(A’,f) + dist(A’,f ’) = 2.a ( por definición ) =[br] = dist(O,A) + dist(O,A’) = 2. dist(O,A)[br] ⇒ dist(O,A) = dist(O,A’) = a.[br]Y como los puntos B y B’, son simétricas respecto de los focos f y f’:[br] dist(B,f) = dist(B,f ’) = dist(B’,f) = dist(B’,f ’) = a[br]Denominando:[br] dist(O,B) = dist(O,B ’) = b.[br]Y teniendo en cuenta que[br] dist(O,f) = dist(O,f’) = c.[br]será:[br] [math]a^2=b^2+c^2[/math][br]Entonces, tomando el caso particular, de que los ejes mayores y menores de la elipse sean respectivamente el eje X e Y, de un sistema de referencia cartesiano.[br]Los focos f y f ’ tendrán de coordenadas (c,0) y (-c,0) respectivamente. Y para cada punto P de la elipse, la condición:[br] d (P,f) + d (P,f ’) = 2.a.
PARÁBOLA
HIPÉRBOLA
Las cónicas como curvas paramétricas.
Las cónicas como envolventes
Esta forma de introducir las curvas, nos permite efectuar las derivadas de primer y segundo orden, de x e y respecto del parámetro t, de forma que podemos estudiar el comportamiento de la curva, así como representarla el plano afín euclideo.[br]A partir de ciertas familias de rectas, se genera como envolventes las curvas CÓNICAS en el plano.
ELIPSE
Sean dos rectas perpendiculares e y h (podemos considerar e=OX y h=OY)[br]Si [math]F,F'\epsilon e[/math] (focos de la elipse), con OF=-OF'.[br]Si P es un punto de la circunferencia de centro [math]O=\left(e\cap h\right)[/math] y radio [math]r\left(r\ge d\left(O,F\right)\right)[/math][br]Si r es la semirrecta de origen F, que pasa por P, y s la semirrecta de origen F' que pasa por P.[br]Las rectas perpendiculares a r y s, que pasan por P, cuando P gira alrededor de la circunferencia, generan como envolvente la elipse de focos F y F'.[br]Nota.- Si F=F'=O, se genera la circunferencia de centro O y radio F.
ELIPSE COMO ENVOLVENTE
HIPÉRBOLA
Sean dos rectas perpendiculares e y h (podemos considerar e=OX y h=OY)[br]Si F y F' [math]\epsilon[/math] e (focos de la hipérbola), con OF=-OF'.[br]Si P es un punto de la circunferencia de centro y radio r [math]\left(r\le d\left(O,F\right)\right)[/math] .[br]Si r es la semirrecta de origen F, que pasa por P, y s la semirrecta de [br]origen F' que pasa por P.[br]Las rectas perpendiculares a r y s, que pasan por P, cuando P gira [br]alrededor de la circunferencia, generan como envolvente la hipérbola de [br]focos F y F'.
HIPÉRBOLA COMO ENVOLVENTE
PARÁBOLA
Sean dos rectas perpendiculares e y h (podemos considerar e=OX y h=OY)[br]Si F [math]\epsilon[/math] e (foco de la parábola).[br]Si P es un punto de h (distinto de O).[br]Si r es la semirrecta de origen F, que pasa por P,[br]Las rectas perpendiculares a r que pasan por P, cuando P se mueve a lo largo de e, genera como envolvente la parábola de foco F.
Cónica dados 5 puntos
