[list=1][*]Через сторону АС треугольника  АВС проведена плоскость [math]\alpha[/math], удаленная от вершины В на расстояние равное 4 см. АС=ВС = 8 см, ∠ABC=22 ͒ 30'. Найдите угол между плоскостями АВС и [math]\alpha[/math]  .[br][/*][/list]

Необходимо найти [math]\angle FEB[/math].[br]Для этого для начала выясним, чему равен угол ACB:[br][math]\angle ACB=180^\circ-22.5^\circ-22.5^\circ=135^\circ[/math][br][br]Далее находим угол ECB:[br][math]\angle ECB=180^\circ-135^\circ=45^\circ[/math][br][br]Находим длину отрезка EB:[br][math]sin\angle ECB=\frac{EB}{CB}[/math][br][math]EB=sin\angle ECB\cdot CB[/math][br][math]EB=sin45^\circ\cdot8=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot8=4\sqrt{2}[/math][br][br]И теперь выходим на угол FEB:[br][math]sin\angle FEB=\frac{FB}{EB}[/math][br][math]sin\angle FEB=\frac{4}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/math][br][math]arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}=45^\circ[/math][br][math]\angle FEB=45^\circ[/math][br][br]Ответ: угол между плоскостями ABC и [math]\alpha[/math] равен 45[math]^\circ[/math].

АBCD - квадрат со стороной, равной 4 см. Треугольник АМВ имеет общую сторону АВ с квадратом;  АМ =ВМ= 2[math]\sqrt{6}[/math] см. Плоскости треугольника и квадрата взаимно перпендикулярны.[br][list=1][*] Докажите, что ВС[math]\perp[/math]АМ[br][/*][*] Найдите угол между МС и плоскостью квадрата.[/*][*] Найдите расстояние от точки А  до плоскости DМС.[/*][/list]

1. BC[math]\bot[/math]AB, так как это стороны квадрата и угол между ними равен 90[math]^\circ[/math]. AB принадлежит как плоскости ABC, так и плоскости AMB. Также BC является проекцией наклонной MC, а значит BC[math]\bot[/math]MB. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости, то есть BC[math]\perp[/math]AMB и значит BC[math]\bot[/math]AM.[br][br]2. Необходимо найти угол MCE.[br]BE=2 cм, так как треугольник AMB равнобедренный, а значит, что высота, проведенная к основанию AB, делит его пополам.[br][br]По теореме Пифагора находим EC:[br][math]EC=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}[/math][br][br]По теореме Пифагора находим ME:[br][math]ME=\sqrt{\left(2\sqrt{6}\right)^2-2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}[/math][br][br]Выходим на угол MCE:[br][math]tan\angle MCE=\frac{ME}{EC}[/math][br][math]tan\angle MCE=\frac{2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=1[/math][br][math]arctan1=45^\circ[/math][br][math]\angle MCE=45^\circ[/math][br][br]3. Необходимо найти EH. (так как точка Е лежит на одной прямой с AB и эта прямая параллельна плоскости MDC)[br]По теореме Пифагора находим MG:[br][math]MG=\sqrt{GE^2+ME^2}[/math][br][math]MG=\sqrt{4^2+\left(2\sqrt{5}\right)^2}=\sqrt{36}=6[/math][br][br]Площадь треугольника MEG можно найти как[br][math]S=\frac{ME\cdot EG}{2}[/math] или [math]S=\frac{EH\cdot MG}{2}[/math][br][math]ME\cdot EG=EH\cdot MG[/math][br][math]2\sqrt{5}\cdot4=EH\cdot6[/math][br][math]EH=\frac{2\sqrt{5}\cdot4}{6}=\frac{4\sqrt{5}}{3}[/math][br][br]Ответ: угол между MC и плоскостью квадрата равен 45[math]^\circ[/math], расстояние от точки А до плоскости DMC [math]\frac{4\sqrt{5}}{3}[/math].[br]