Pitagyros oder so ähnlich
Ähnlichkeit - Strahlensätze - Satzgruppe des Pythagoras. Ein Lehrgang zur Geometrie (Gy 9, Niedersachsen) Dieses Buch wächst parallel zum Unterricht ab März 2021.
Table of Contents
- Ähnlichkeit
- 1) Ähnliche Figuren
- 2) Wie groß soll es denn sein?
- 3) Zentrische Streckung
- Strahlensätze
- 1) Strahlensätze
- 2) Rechnen mit den Strahlensätzen
- Satzgruppe des Pythagoras
1) Ähnliche Figuren
Ist Dir das auch schon einmal passiert: Du fügst in einer Präsentation Fotos ein, rückst sie zurecht, bis alles passt, und auf einmal sind die Bilder ganz verzerrt ... wie sieht das denn aus![br]Von den Bildern oben haben jeweils zwei die richtigen Proportionen.[br][br]Beim Verändern der Größe am Computer kannst Du das in den meisten Anwendungen vermeiden, indem Du die Umschalt-Taste während des Veränderns gedrückt hältst und/oder nur an den Ecken ziehst.[br][br]Aber was macht das "richtige" Bild denn eigentlich aus? Es ist doch auf allen Bildern das Gleiche drauf.
Wenn Original und verändertes Bild gleich aussehen, gilt:
Umgangssprachlich formuliert:
[color=#ff0000][size=150]Figuren, die exakt die gleiche Form haben, heißen zueinander [b]ähnlich[/b].[br]Sind die Figuren auch gleich groß, heißen sie zueinander [b]kongruent[/b].[br][/size][/color]
Notiere die Paare der zueinander [b]ähnlichen[/b] Figuren und vergleiche:
Notiere die Paare der zueinander [b]kongruenten[/b] Figuren und vergleiche:
Bedingungen für Kongruenz und Ähnlichkeit
Wir beschränken uns auf die Betrachtung von Dreiecken.[br][br]1) Kongruenz:[br]Dreiecke sind kongruent, wenn alle drei Seiten gleich lang sind. Damit sind auch automatisch alle drei Winkel gleich groß. Es reicht, drei bestimmte Größen zu kennen, um die Kongruenz von Dreiecken festzustellen. Vergleiche hierzu die [b]Kongruenzsätze[/b] sss, wsw, ssw und sws.[br][br]2) Ähnlichkeit:[br]Ähnliche Figuren haben "die gleiche Form", also sind alle Winkel in den Figuren gleich. Die Längen ändern sich mit dem gleichen Faktor. Für Dreiecke gilt also:[br][br][size=150][color=#ff0000]Wenn zwei Dreiecke in zwei* Winkeln übereinstimmen, sind sie zueinander ähnlich.[br][/color][/size][br][size=85]*automatisch ist dann auch der dritte Winkel gleich.[/size]
1) Strahlensätze
a) Was ist das?
Die Strahlensätze sind Aussagen über gleiche Streckenverhältnisse in ähnlichen Dreiecken. [br]Die Dreiecke verstecken sich dabei in einer [color=#ff0000][b]Strahlensatzfigur[/b][/color].[br]Eine Strahlensatzfigur besteht aus einem Paar sich schneidender Geraden und einem Paar paralleler Geraden.
Schau Dir Strahlensatzfiguren an. Finde die ähnlichen Dreiecke zuerst selbst.
b) Vom Streckfaktor zum Strahlensatz
Ähnliche Dreiecke entstehen durch zentrische Streckung mit dem Streckfaktor k. [br]Es gilt also für die Dreiecksseiten[br][left][math]a´=k\cdot a[/math]; [math]b´=k\cdot b[/math] und [math]c´=k\cdot c[/math].[br]Dies nutzen wir, um Beziehungen zwischen verschiedenen Strecken in einer Strahlensatzfigur angeben zu können.[/left]
Schau Dir dazu das Video an:
c) Die immer wieder entscheidende Frage
Wozu ist das gut?[br][br]Du kannst damit unbekannte Strecken berechnen, die nicht direkt messbar sind. Beispiele findest Du auf dem Arbeitsblatt [i]Wie breit ist der Fluss?[/i].[br][br]Wenn Du mit modernsten Messgeräten mit Lasertechnik ausgestattet bist oder gar nichts messen möchtest, dann brauchst Du es für den Erkenntnisgewinn und als Gehirntraining.