ASEgg, Mar 25, 2018

Dit is een uitgewerkte versie van hoofdstuk 3 van Bottema. Dit is bedoeld om de stof die is uitgelegd in het boek te verduidelijken met voorbeelden en bewijzen. Hoofdstuk 3 van Bottema bevat 7 onderdelen, elk van deze 7 onderdelen heeft een aparte sectie in dit GeoGebraboek gekregen. In elke sectie zijn enkele werkbladen die verwijzen naar de tekst in Bottema. De werkbladen bevatten de uitwerking en een stapsgewijze constructie van het bewijs. Je kan het geheel automatisch afspelen en dan op het einde alles rustig doorlezen, of je kan met behulp van de navigatie onderin het scherm stap voor stap de tekst lezen en de constructie volgen. De voorkennis die wij verwachten is: - Stelling van Pythagoras - Dat middelloodlijnen van een driehoek door één punt gaan - ingeschreven, omgeschreven en aangeschreven cirkels

In paragraaf 1 van hoofdstuk 3 gaan we van specifieke loodlijnen bewijzen dat ze door één punt gaan. Richting paragraaf 2 gaan we deze stelling algemener maken voor alle loodlijnen door één punt. Werkblad 1: Bewijs dat middelloodlijnen van een driehoek door één punt gaan. Werkblad 2: Bewijs dat hoogtelijnen van een driehoek door één punt gaan m.b.v. middelloodlijnen. Werkblad 3: Bewijs dat hoogtelijnen door één punt gaan m.b.v. bissectrices. Werkblad 4: De stelling van Gudermann (Parallellenaxioma*) Werkblad 5: Vervolg stelling van Gudermann *Parallellenaxioma: een bijzonderheid in de meetkunde, omdat Gudermann de enige is geweest die een bewijs heeft gevonden zonder gebruik te maken van evenwijdigheid.

• 1. Middelloodlijnen gaan door één punt
• 2. Middelloodlijnen die hoogtelijnen zijn
• 3. Hoogtelijnen die bissectrices zijn
• 4. Gudermann deel 1
• 5. Gudermann Deel 2

Het bewijs dat we in paragraaf 2 gaan leveren heeft te maken met de concurrentie van hoogtelijnen. Het bewijs dat we hier gaan leveren is van belang voor de rest van het hoofdstuk. De andere delen van dit hoofdstuk zijn vooral toepassingen van dit bewijs. In werkblad 1 bewijzen we dat [math]PB^2-PC^2 = constant[/math]. Dit volgt uit de stelling van Pythagoras (zie hoofdstuk 1). In werkblad 2 gebruiken we het bewijs van werkblad 1 om dezelfde stelling aan te tonen in een driehoek. We breiden de stelling uit, waardoor we de concurrentie der loodlijnen krijgen. Dit is analoog aan de stelling van Ceva uit hoofdstuk 2. In werkblad 3 gaan we van de concurrentie der loodlijnen uit en bewijzen we m.b.v. Pythagoras dat het omgekeerde geldt, de stelling is dus equivalent. In werkblad 4 maken we gebruik van de hoofdstelling en passen we deze toe.

• 1. PB² - PC² is constant
• 2. Hoofdstelling H3 (bewijs)
• 3. Hoofdstelling H3 (omgekeerd bewijs)
• 4. Toepassing hoofdstelling H3

In paragraaf 3 van hoofdstuk 3 gaan we bewijzen dat loodlijnen door één punt gaan aan de hand van cirkels en machtlijnen. Werkblad 1: We bewijzen dat het product van de afstand van een punt tot 2 willekeurige punten in een cirkel constant is. Werkblad 2: Lijn aan een cirkel Werkblad 3: Wat is de machtlijn. Werkblad 4: We bewijzen dat de machtlijnen door één punt gaan. Werkblad 5: Vervolg op werkblad 4.

• 1. De macht van P t.o.v. cirkel (P buiten cirkel)
• 2. De macht van P t.o.v. cirkel (P binnen cirkel)
• 3. De macht van een cirkel (PM² - r² = constant)
• 4. De macht van een cirkel (negatief)
• 5. De machtslijn van twee cirkels
• 6. 3 Machtlijnen door één punt

In paragraaf 4 van hoofdstuk 3 laten we zien dat twee driehoeken ortholoog kunnen zijn. Hiertoe construeren we een driehoek PQR over ABC heen, waarbij we rekening houden met de concurrentie der loodlijnen, ofwel de loodlijnen snijden door één punt. De loodlijnen waar we het hier over hebben worden gevormd op de driehoek PQR.

• 1. Loodlijnen in driehoeken

In paragraaf 5 van hoofdstuk 3, gaan we wederom aan de slag met de concurrentie der loodlijnen. We construeren de orthopool, het snijpunt van de loodlijnen vanuit geprojecteerde punten op een willekeurige lijn op basis van driehoek ABC.

• 1. Loodlijnen 5 Loodlijnen uit een driehoek op een lijn

• 1. Meetkundige plaats van de voetpuntsdriehoek
• 2. Meetkundige plaats van voetpuntsdriehoek

• 1. Oppervlakte van een voetpuntsdriehoek
• 2. Oppervlakte van een voetpuntsdriehoek 2
• 3. Oppervlakte van een voetpuntsdriehoek 3
• 4. Oppervlakte van een voetpuntsdriehoek 4