Parabeln
Parabeln erforschen – eine vollständige Einheit im Umfeld quadratischer Funktionen und ihrer Graphen (Mittelstufe) Diese Unterrichtseinheit entstand im Rahmen der Initiative "Mathe.Forscher meets GeoGebra". Die Einheit ist für [i]GeoGebra-Classroom[/i] optimiert - aber auch als einfaches [i]GeoGebra-Buch[/i] nutzbar. Weitere Informationen zum Mathe.Forscher-Programm findet man auf [url]https://www.matheforscher.de/[/url]. [b][u]Autoren:[/u][/b] Ingo Kneißl und Dr. Matthias Hauck
Table of Contents
- I. Motivation
- I.1. Einstieg - Parabeln
- I.2. Exkurs - Modellierung
- I.3. Werkzeuge für dieses Buch
- II. Die Normalparabel
- II.1. Die Normalparabel mit der Gleichung y = x²
- II.2. y-Wert bei gegebenem x-Wert
- II.3. x-Wert/e bei gegebenem y-Wert
- II.4. Zusammenfassung
- III. Normalparabeln im Koordinatensystem verschieben
- III.1. Normalparabeln in y-Richtung verschieben
- III.2. Normalparabeln in x-Richtung verschieben
- III.3. Zusammenfassung - Normalparabeln im Koordinatensystem verschieben
- IV. Form einer Parabel verändern
- IV.1. Parabeln spiegeln und strecken
- IV.2. Den Streckfaktor a rechnerisch und graphisch bestimmen
- V. Die Scheitelform der Parabelgleichung
- V.1. Die Parameter der Scheitelform erkunden
- V.2. Scheitelform und Streckfaktor
- VI. Weitere Darstellungsformen der Parabelgleichung
- VI.1. Binomische Formeln und die Scheitelform der Parabelgleichung
- VI.2. Die allgemeine Form der Parabelgleichung
- VI.3. Besonderheiten der Parabelgleichung in allgemeiner Form
- VI.4. Sonderfall der allg. Form y = a·x² + b·x
- VI.5. Die Produktform der Parabelgleichung
- VII. Von der allg. Form zur Scheitelform der Parabelgleichung
- VII.1. Graphisch-rechnerisches Vorgehen
- VII.2. Binomische Formeln rückwärts
- VII.3. Umwandlung zusammengefasst
- VIII. Zusammenfassung des Buches
- VIII.1. Die Darstellungsformen der Parabelgleichung im Überblick
- VIII.2. Die Umwandlung der Darstellungsformen im Überblick
- Anhang: SchülerInnen-Arbeitsblätter
- WS3 ARBEITSBLAETTER
I.1. Einstieg - Parabeln
In der Natur und in der Technik gibt es Situationen, die man nicht mehr sinnvoll nur mit Geraden beschreiben kann.[br]Die Stahlkonstruktion der abgebildeten Brücken oder der Verlauf eines Regenbogens sind typische Beispiele dafür.[br][table][br][tr][br][td][img width=225,height=150]https://cdn.pixabay.com/photo/2015/11/06/14/01/river-1028118__340.jpg[/img][br][url=https://pxhere.com/de/photo/677609][size=50]Teufelsbrücke[/size][/url][/td][br][br][td][img width=226,height=150]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/88/Berliner_Bogen%2C_Hamburg_Hammerbrook.jpg/800px-Berliner_Bogen%2C_Hamburg_Hammerbrook.jpg[/img][br][url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Berliner_Bogen,_Hamburg_Hammerbrook.jpg][size=50]Berliner Bogen (Hamburg)[/size][/url][/td][br][br][td][img width=194,height=150]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b9/St_Louis_Gateway_Arch.jpg[/img][br][url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:St_Louis_Gateway_Arch.jpg][size=50]Gateway Arch (St. Louis)[/size][/url][/td][br][/tr][br][br][tr][br][td][img width=225,height=150]https://cdn.pixabay.com/photo/2018/08/11/16/48/elphi-3598944_960_720.jpg[/img][br][url=https://pixabay.com/de/photos/elphi-hamburg-elbphilharmonie-3598944/][size=50][left]Elbphilharmonie (Hamburg)[/left][/size][/url][/td][br][br][td][img width=226,height=150]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/44/Solingen_--_M%C3%BCngstener_Br%C3%BCcke_%2810403938084%29.jpg/800px-Solingen_--_M%C3%BCngstener_Br%C3%BCcke_%2810403938084%29.jpg[/img][br][url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Solingen_--_M%C3%BCngstener_Br%C3%BCcke_(10403938084).jpg][size=50][left]Müngster Brücke (Solingen)[/left][/size][/url][/td][br][br][td][img width=226,height=79]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/L-Bruecke-Wupper.png/800px-L-Bruecke-Wupper.png[/img][br][url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:L-Bruecke-Wupper.png?uselang=de][size=50][left][br][br][br][br][br]Müngster Brücke (Planung)[/left][/size][/url][/td][/tr][br][br][tr][br][td][img width=155,height=150]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2f/Unterkiefer_von_Mauer_(Replika).JPG/620px-Unterkiefer_von_Mauer_(Replika).JPG[/img][br][url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Unterkiefer_von_Mauer_(Replika).JPG][size=50]Unterkiefer Homo heidelbergensis (Mauer!)[/size][/url][/td][br][br][td][img width=267,height=150]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/Lanxess-Arena%2C_K%C3%B6ln-4103.jpg/800px-Lanxess-Arena%2C_K%C3%B6ln-4103.jpg[/img][br][url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lanxess-Arena,_K%C3%B6ln-4103.jpg][size=50]Lanxess-Arena (Köln)[/size][/url][/td][br] [br][td][img width=232,height=150]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ea/FreiwurfNowitzki.jpg[/img][br][url=https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:FreiwurfNowitzki.jpg][size=50]Freiwurf von Dirk Nowitzki (Dallas)[/size][/url][/td][/tr][br][br][tr][br][td][img width=225,height=150]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9d/Atomei_-_Forschungsreaktor_M%C3%BCnchen_I_%28FRM_I%29.JPG/800px-Atomei_-_Forschungsreaktor_M%C3%BCnchen_I_%28FRM_I%29.JPG[/img][br][url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Atomei_-_Forschungsreaktor_M%C3%BCnchen_I_(FRM_I).JPG][size=50]Atomei Forschungsreaktor (München)[/size][/url] [/td][br][br][td][img width=132,height=150]https://live.staticflickr.com/3787/8947372669_95df316f66_w.jpg[/img][url=https://www.flickr.com/photos/95783009@N06/8947372669][br][size=50]Berge in Ergaki (Russland)[/size][/url][/td][br] [br][td][img width=225,height=150]https://cdn.pixabay.com/photo/2014/09/17/21/55/railway-station-450145_960_720.jpg[/img][br][url=https://pixabay.com/de/photos/bahnhof-zug-tunnel-eisenbahn-450145][size=50]Eisenbahntunnel[/size][/url][/td][/tr][br] [br][tr][br][td][img width=200,height=150]https://cdn.pixabay.com/photo/2016/09/19/22/54/pavement-1681490_960_720.jpg[/img][br][url=https://pixabay.com/de/photos/b%C3%BCrgersteig-fu%C3%9Fweg-stra%C3%9Fe-1681490/][size=50]Absperrung[/size][/url][/td][br][br][td][img width=155,height=150]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Manneken_Pis_%28crop%29.jpg/617px-Manneken_Pis_%28crop%29.jpg[/img][url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Manneken_Pis_(crop).jpg][br][size=50]Manneken Pis (Brüssel)[/size][/url][/td][br] [br][td][img width=244,height=150]https://cdn.pixabay.com/photo/2015/03/16/10/54/rainbow-675832_960_720.jpg[/img][br][url=https://pixabay.com/de/photos/regenbogen-meer-k%C3%BCste-strand-675832/][size=50]Regenbogen[/size][/url][/td][/tr][/table][br][i][size=50][center](Die Bildquelle kann über die jeweiligen Hyperlinks der Titel aufgerufen werden)[/center][/size][/i][size=50][u]weitere interessante Bauwerke:[/u] Glienicker Brücke (Potsdam), Kaiser-Wilhelm-Brücke (Wilhelmshaven), Kingdom Centre (Riad)[/size]
Die "Golden Gate Bridge" mathematisch betrachtet
Die Golden Gate Bridge wird durch eine Konstruktion aus senkrecht verlaufenden Halteseilen stabilisiert. Sie sind an Trägerseilen befestigt.[br][img width=640,height=180]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2a/Golden_Gate_Bridge_Dec_15_2015_by_D_Ramey_Logan.jpg[/img][size=50][br]"[url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Golden_Gate_Bridge_Dec_15_2015_by_D_Ramey_Logan.jpg##]Golden Gate Bridge Dec 15 2015 by D Ramey Logan.jpg[/url] from [url=https://commons.wikimedia.org/wiki/Main_Page]Wikimedia Commons[/url] by [url=https://don.logan.com/]D Ramey Logan[/url], [url=https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.en]CC-BY 4.0[/url]"[/size][br][b][size=150][size=200][size=150][u][icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_showhidelabel.png[/icon][/u][b] [u]Arbeitsauftrag 1:[br][/u][/b][/size][/size][/size][/b]Verschiebe in der schematischen Darstellung der Golden Gate Bridge (Abbildung unten) die beiden blauen Punkte so, dass sie auf dem Trägerseil vom rechten Pfeiler Richtung Landseite liegen. [br]Verschiebe in der Abbildung unten die drei grünen Punkte so, dass sie auf dem Trägerseil zwischen den beiden Pfeilern der Brücke liegen. [size=100][size=50][br][br][size=50][b][size=100][b][size=150][size=200][size=150][u][icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_showhidelabel.png[/icon][/u][b] [u]Arbeitsauftrag 2:[br][/u][/b][/size][/size][/size][/b][/size][/b][/size][/size][/size]Tippe neben dem Graphen auf den Button [icon]/images/ggb/toolbar/mode_freehandshape.png[/icon] und lasse dir damit die Näherungskurven anzeigen und vergleiche den Verlauf der blauen mit der grünen Kurve. Notiere, wodurch sich die beiden Graphen unterschieden.[br][icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_numeric.png[/icon] Lass dir die Näherungsgleichungen anzeigen und vergleiche die blaue und die beiden grünen Gleichungen miteinander.
[quote][b][color=#674ea7][size=150][size=200][size=50][icon]/images/ggb/toolbar/mode_pen.png[/icon][/size][br][/size][size=200]Merke:[/size][/size][/color][color=#9900ff][br][/color][/b][color=#333333]Der Graph einer [b][u]linearen Funktion[/u][/b] ist eine [u][b]Geraden[/b][/u].[br]Deshalb kann das Trägerseil Richtung Landseite durch eine lineare Funktion mit [/color][math]y\approx-0,5\cdot x+825[/math][color=#333333]beschrieben werden. Allgemein gilt: [math]y=m\cdot x+c[/math] [br][br]Für die Beschreibung des Trägerseils in der Mitte der Brücke jedoch sind Geraden ungeeignet. Dafür braucht man einen anderen Funktionstyp:[br]Bei der ermittelten Vorschrift [/color][math]y\approx0,0004\cdot x^2-0,5\cdot x+230[/math][color=#333333] kommt die Variable im Quadrat vor. Man nennt diese Funktion deshalb [u][b]quadratische Funktion[/b][/u]. Allgemein gilt: [math]y=a\cdot x^2+b\cdot x+c[/math].[br]Der Graph einer quadratischen Funktion heißt [u][b]Parabel[/b][/u].[/color][/quote]
[icon]/images/ggb/toolbar/mode_buttonaction.png[/icon] [u][b]Schnelle Übung 1:[br][/b][/u]Kreuze alle linearen Funktionen an.
[icon]/images/ggb/toolbar/mode_buttonaction.png[/icon] [u][b]Schnelle Übung 2:[br][/b][/u]Kreuze alle quadratischen Funktionen an.
[size=50][size=50][size=100][b][size=150][size=200][size=150][u][icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_showhidelabel.png[/icon][/u][b] [u]Vertiefung - Zusammenhänge erkennen:[/u][/b][/size][/size][/size][/b][br][/size][/size][/size]Betracht man im Applet oben die blauen und die beiden grünen Näherungsgleichungen genauer, so kann man einen Zusammenhang einiger Zahlenwerte mit besonderen Stellen in der Abbildung links erkennen. [br][br][icon]/images/ggb/toolbar/mode_rotateview.png[/icon] [u][b]Entdecken - [color=#0000ff]blauer Graph[/color]:[/b][/u][br]Beschreibe den Zusammenhang, den du zwischen dem [color=#0000ff][b]blauen Graphen[/b][/color] und der [b][color=#0000ff]zugehörigen Gleichung[/color] [/b]finden konntest.
[icon]/images/ggb/toolbar/mode_rotateview.png[/icon] [u][b]Entdecken - [color=#274e13]grüner Graph[/color]:[/b][/u][br]Beschreibe den Zusammenhang, den du zwischen dem [color=#274e13][b]grünen Graphen[/b][/color] und den [color=#274e13][b]beiden zugehörigen Gleichungen[/b][/color] finden konntest.
[size=100][size=50][size=50][size=100][b][size=150][size=200][size=150][u][icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_showhidelabel.png[/icon][/u][b] [u]Arbeitsauftrag 3 - Festigung / Wiederentdecken:[/u][/b][/size][/size][/size][/b][list=1][*]Tippe/klicke auf das Koordinatensystem unten und anschließend auf [icon]/images/ggb/toolbar/mode_image.png[/icon]. Füge ein Bild einer Parabel und/oder einer Geraden ein - gerne kannst du auch direkt ein Foto eines parabelförmigen Gegenstandes in deiner Umgebung machen und einfügen oder du verwendest eines der Bilder von oben (Speichern und einfügen).[/*][*]Mit dem Button "Bild transparent machen" kannst du dein Bild so verändern, dass du das Koordinatengitter und die Achsen erkennen kannst.[/*][*]Verschiebe dein Bild nach Belieben im Koordinatensystem.[/*][*]Entscheide, ob die zwei blauen Punkte (für eine Gerade) oder die drei grünen Punkte (für eine Parabel) auf die entsprechende geometrische Form in deinem Bild verschiebst. [icon]/images/ggb/toolbar/mode_freehandshape.png[/icon] die Näherungskurven helfen dir dabei.[/*][*]Überlege dir zunächst, welche Werte deine Geraden- bzw. Parabelgleichung haben wird und lasse sie dir anschließend anzeigen [icon]/images/ggb/toolbar/mode_numeric.png[/icon].[br][/*][/list][/size][/size][/size][/size]
[i]Am Ende jeder Buchseite und auch teilweise mitten im Text findest du ein Whiteboard für deine[/i] [img]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/2/22/Baseline-create-24px.svg/24px-Baseline-create-24px.svg.png[/img] [b][u][color=#6557d2]NOTIZEN[/color][/u][/b] [i]und für Nebenrechnungen - verwendet dein Lehrer die Seite oder das ganze Buch als CLASSROOM-Variante (du musstet beim Aufrufen der Seite deinen Namen angeben und auf START klicken), dann kannst du hier deinem Lehrer auch Rückmeldung geben oder kurz deine Fragen notieren.[/i]
[quote][img]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/2/22/Baseline-create-24px.svg/24px-Baseline-create-24px.svg.png[/img] [b][u][size=150][color=#6557d2]NOTIZEN[/color][/size][/u][/b][br]Wähle die [i]Stiftansicht [/i][img]https://wiki.geogebra.org/uploads/1/19/Notes-pen_view24px.png[/img] und wähle den [i]Stift [/i][img]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/2/22/Baseline-create-24px.svg/24px-Baseline-create-24px.svg.png[/img] (Farbe und Dicke der Linien kannst du nach deinem eigenen Geschmack festlegen). [br]Du kannst auch die [i]Medienansicht [/i][img]https://wiki.geogebra.org/uploads/7/78/Notes-media_view24px.png[/img] und [i]Text [/i][img]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/8/8a/Notes-text.svg/24px-Notes-text.svg.png[/img] bzw. [i]Gleichung [/i][math]\prod[/math][i] [/i]auswählen und deine Antworten mit der Tastatur eingeben.[br]Wenn du oben links das Menü [img]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/c/c8/Baseline-menu-24px.svg/24px-Baseline-menu-24px.svg.png[/img] auswählst, kannst du deine Notizen als Bild exportieren oder ausdrucken.[br][br]Du willst noch mehr ausprobieren? Dann leg los - weitere Informationen und Tipps zum Whiteboard findest du auch [url=https://www.geogebra.org/m/t8zr98tj]hier[/url].[/quote]
II.1. Die Normalparabel mit der Gleichung y = x²
Die einfachste quadratische Funktion besitzt die Vorschrift [math]y=x^2[/math].[br][br][b][size=200][size=150][u][icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_showhidelabel.png[/icon][/u] [u]Arbeitsauftrag:[br][/u][/size][/size][/b]Mithilfe einer Wertetabelle kann man den zugehörigen Graphen möglichst genau zeichnen - führe die einzelnen Schritte des Applets durch:
[size=150][b][u][icon]/images/ggb/toolbar/mode_sumcells.png[/icon][/u] [u]Zusammenfassung:[/u][/b][/size][br]Fülle mithilfe deiner Erkenntnisse aus dem Applet den folgenden Lückentext aus:[br][size=85]([b][u]TIPP:[/u][/b] Benutze [img]https://learningapps.org/style/fullscreenicon.png[/img] für den Vollbild-Modus)[/size]
[quote][img]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/2/22/Baseline-create-24px.svg/24px-Baseline-create-24px.svg.png[/img] [b][u][size=150][color=#6557d2]NOTIZEN[/color][/size][/u][/b][br]Hier findest du Platz für deine Notizen oder Nebenrechnungen. Du kannst das Whiteboard zudem als Schmierzettel für Ideen oder in der Classroom-Variante dieser Seite auch als persönliche Rückmelde-/Fragemöglichkeit an deinen Lehrer verwenden.[br]Wähle im ersten Schritt immer ein [i]Werkzeug [/i]in einer der drei Ansichten [img]https://wiki.geogebra.org/uploads/1/19/Notes-pen_view24px.png[/img] [i]Stift-Ansicht[/i], [img]https://wiki.geogebra.org/uploads/b/b0/Notes-tools_view24px.png[/img] [i] Formen-Ansicht [/i]und [img]https://wiki.geogebra.org/uploads/7/78/Notes-media_view24px.png[/img] [i]Medien-Ansicht[/i]. [br]Du kannst die [i]Werkzeugleiste [/i]ausblenden, indem du[img]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/2/29/Baseline-keyboard_arrow_down-24px.svg/24px-Baseline-keyboard_arrow_down-24px.svg.png[/img] in der oberen rechten Ecke der [i]Werkzeugleiste [/i]auswählst.[br]Wenn du oben links das Menü [img]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/c/c8/Baseline-menu-24px.svg/24px-Baseline-menu-24px.svg.png[/img] auswählst, kannst du deine Notizen, z.B. als Bild exportieren oder ausdrucken.[/quote]
III.1. Normalparabeln in y-Richtung verschieben
[size=100]Für Anwendungsaufgaben ist es oft sinnvoll, die Parabel so im Koordinatensystem einzuzeichnen, dass die x-Achse die ebene Fläche ([u][b]hier:[/b][/u] [i]die Wasseroberfläche / die Uferlinie[/i]) beschreibt -> rechte Darstellung.[br][br]Notiere zunächst, welche Vorteile die rechte Darstellung im Gegensatz zur linken Darstellung aus den letzten beiden Applets hat?[br][/size]Ändert sich die Form der Normalparabel durch eine entsprechende Verschiebung?
[size=150][u][icon]/images/ggb/toolbar/mode_showhidelabel.png[/icon][/u] [u][b]Arbeitsauftrag:[/b][/u][/size][br]Verschiebt man die Normalparabel mit der Gleichung [math]y=x^2[/math] im Koordinatensystem, dann bleibt ihre grundsätzliche Form erhalten. [br]Allerdings ergibt sich daraus ein neuer Scheitel und deshalb auch eine neue Gleichung für die Parabel.[br][br]Gegeben sind die Normalparabeln[br][center][math]g:y=x^2+2[/math][br][math]h:y=x^2-1[/math][/center][list][*]Erstelle jeweils eine Werte-Tabelle für g und h in deinem Heft (Die Wertetabellen-Funktion deines Taschenrechners kann hilfreich sein).[/*][/list]
[size=85][quote][img]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/2/22/Baseline-create-24px.svg/24px-Baseline-create-24px.svg.png[/img] [b][u][size=150][color=#6557d2]NOTIZEN[/color][/size][/u][/b][br]Wähle die [i]Stiftansicht [/i][img]https://wiki.geogebra.org/uploads/1/19/Notes-pen_view24px.png[/img] und wähle den [i]Stift [/i][img]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/2/22/Baseline-create-24px.svg/24px-Baseline-create-24px.svg.png[/img] (Farbe und Dicke der Linien kannst du nach deinem eigenen Geschmack festlegen). [br]Du kannst auch die [i]Medienansicht [/i][img]https://wiki.geogebra.org/uploads/7/78/Notes-media_view24px.png[/img] und [i]Text [/i][img]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/8/8a/Notes-text.svg/24px-Notes-text.svg.png[/img] bzw. [i]Gleichung [/i][math]\prod[/math][i] [/i]auswählen und deine Antworten mit der Tastatur eingeben.[br]Wenn du oben links das Menü [img]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/c/c8/Baseline-menu-24px.svg/24px-Baseline-menu-24px.svg.png[/img] auswählst, kannst du deine Notizen als Bild exportieren oder ausdrucken.[/quote][br][/size]
[list][*]Überlege dir, welche allgemeinen Auswirkungen der Parameter [math]e[/math] in der Gleichung [math]y=x^2+e[/math] auf die ursprüngliche Normalparabel [math]y=x^2[/math] hat.[/*][/list]
[u][b]Auswirkungen des Parameters [/b][/u][math]e[/math][u][b]:[/b][/u]
Überprüfe deine Vermutungen mithilfe des Applets.[br]Betätige dazu den grünen Schieberegler und betrachte die Auswirkungen auf Wertetabelle, Graph und Parabelgleichung.
[b][size=200][size=150][u][icon]/images/ggb/toolbar/mode_sumcells.png[/icon][/u] [u]Zusammenfassung:[/u][br][/size][/size][/b]Fülle mithilfe deiner Erkenntnisse aus dem Applet den folgenden Lückentext aus:[br][size=85]([b][u]TIPP:[/u][/b] Benutze [img]https://learningapps.org/style/fullscreenicon.png[/img] für den Vollbild-Modus)[/size]
[size=200][size=150][u][icon]/images/ggb/toolbar/mode_rotateview.png[/icon][/u] [u][b]Vertiefung:[/b][/u][br][/size][/size]Das folgende Applet hilft dir, deine Vermutungen (auch rechnerisch) zu überprüfen und eventuelle Fehlvorstellungen beim Aufstellen der Parabelgleichung auszuräumen:
[quote][img]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/2/22/Baseline-create-24px.svg/24px-Baseline-create-24px.svg.png[/img] [b][u][size=150][color=#6557d2]NOTIZEN[/color][/size][/u][/b][br]Hier findest du Platz für deine Notizen oder Nebenrechnungen. Du kannst das Whiteboard zudem als Schmierzettel für Ideen oder in der Classroom-Variante dieser Seite auch als persönliche Rückmelde-/Fragemöglichkeit an deinen Lehrer verwenden.[br]Wähle im ersten Schritt immer ein [i]Werkzeug [/i]in einer der drei Ansichten [img]https://wiki.geogebra.org/uploads/1/19/Notes-pen_view24px.png[/img] [i]Stift-Ansicht[/i], [img]https://wiki.geogebra.org/uploads/b/b0/Notes-tools_view24px.png[/img] [i] Formen-Ansicht [/i]und [img]https://wiki.geogebra.org/uploads/7/78/Notes-media_view24px.png[/img] [i]Medien-Ansicht[/i]. [br]Du kannst die [i]Werkzeugleiste [/i]ausblenden, indem du[img]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/2/29/Baseline-keyboard_arrow_down-24px.svg/24px-Baseline-keyboard_arrow_down-24px.svg.png[/img] in der oberen rechten Ecke der [i]Werkzeugleiste [/i]auswählst.[br]Wenn du oben links das Menü [img]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/c/c8/Baseline-menu-24px.svg/24px-Baseline-menu-24px.svg.png[/img] auswählst, kannst du deine Notizen, z.B. als Bild exportieren oder ausdrucken.[/quote]
IV.1. Parabeln spiegeln und strecken
Beim Modellieren von Situationen aus dem Alltag ist eine Normalparabel oft nicht sinnvoll - meist benötigt man eine schmalere oder breitere Parabel, um die Situation realitätsnah mathematisch beschreiben zu können.[br][center][img width=640,height=180]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2a/Golden_Gate_Bridge_Dec_15_2015_by_D_Ramey_Logan.jpg[/img][size=50][br]"[url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Golden_Gate_Bridge_Dec_15_2015_by_D_Ramey_Logan.jpg##]Golden Gate Bridge Dec 15 2015 by D Ramey Logan.jpg[/url] from [url=https://commons.wikimedia.org/wiki/Main_Page]Wikimedia Commons[/url] by [url=https://don.logan.com/]D Ramey Logan[/url], [url=https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.en]CC-BY 4.0[/url]"[/size][/center]
[icon]/images/ggb/toolbar/mode_showhidelabel.png[/icon][u][b]Arbeitsauftrag:[/b][/u][br]Der grüne Punkt ist der Scheitel der Parabel - der rote Punkt ein Punkt auf dieser Parabel.[br][list=1][*]Lasse dir [icon]/images/ggb/toolbar/mode_freehandshape.png[/icon]Näherungskurve / -gleichung anzeigen und bewege den roten Punkt.[/*][*]Untersuche die Auswirkungen auf Kurve und Gleichung.[/*][*]Zum Vergleich kannst du dir die Normalparabel mit Scheitel S ( 0 | 0 ) anzeigen lassen.[/*][/list]Gerne kannst du dafür auch die vorgegebenen Bespielbilder anzeigen lassen, um die Auswirkungen auf Kurve und Gleichung zu erkunden oder füge ein eigenes Bild einer Parabel im Alltag ein:[br][list=1][*] Tippe auf das Koordinatensystem und füge es über [icon]/images/ggb/toolbar/mode_image.png[/icon] ein - mache es am besten über den BUTTON oben links transparent).[/*][*]Verschiebe dein Bild so, dass der Scheitel auf dem Punkt S (dem Ursprung) liegt.[br][/*][*]Bewege anschließend den roten Punkt, um deine Parabel möglichst gut anzunähern, und lass dir die Näherungskurve / -gleichung anzeigen [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_freehandshape.png[/icon].[br][/*][/list][i][size=85]Falls du keine geeigneten Bilder finden oder fotographieren konntest, kannst du dir auch ein [url=https://www.geogebra.org/m/hzcmzzt7#material/jbg4chhz]Bild der Einstiegsseite[/url] speichern und auswählen.[/size][/i]
[icon]/images/ggb/toolbar/mode_rotateview.png[/icon] [b][u]Entdecker-Auftrag:[/u][/b][br]Lasse im Applet oben - unabhängig vom Hintergrundbild - den roten Punkt im Koordinatensystem wandern und beobachte dabei die Näherungsgleichung.[br]Untersuche den Zusammenhang zwischen dem Faktor vor x² und dem graphischen Verlauf der entsprechenden Parabel im Vergleich zur Normalparabel.
[u][icon]/images/ggb/toolbar/mode_sumcells.png[/icon][/u] [u][b]Zusammenfassung:[br][/b][/u]Fülle mithilfe deiner Erkenntnisse aus dem Applet den folgenden Lückentext aus:[br][size=85]([b][u]TIPP:[/u][/b] Benutze [img]https://learningapps.org/style/fullscreenicon.png[/img] für den Vollbild-Modus)[/size]
[icon]/images/ggb/toolbar/mode_buttonaction.png[/icon] [b][u]Schnelle Übung:[/u][/b][br]Kreuze alle zutreffenden Aussagen an. [br][br]a) Für die Parabel mit der Gleichung [math]y=3\cdot x^2[/math] gilt:
b) Finde die passende Gleichung der abgebildeten Parabel.
[quote][img]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/2/22/Baseline-create-24px.svg/24px-Baseline-create-24px.svg.png[/img] [b][u][size=150][color=#6557d2]NOTIZEN[/color][/size][/u][/b][br]Hier findest du Platz für deine Notizen oder Nebenrechnungen. Du kannst das Whiteboard zudem als Schmierzettel für Ideen oder in der Classroom-Variante dieser Seite auch als persönliche Rückmelde-/Fragemöglichkeit an deinen Lehrer verwenden.[br]Wähle im ersten Schritt immer ein [i]Werkzeug [/i]in einer der drei Ansichten [img]https://wiki.geogebra.org/uploads/1/19/Notes-pen_view24px.png[/img] [i]Stift-Ansicht[/i], [img]https://wiki.geogebra.org/uploads/b/b0/Notes-tools_view24px.png[/img] [i] Formen-Ansicht [/i]und [img]https://wiki.geogebra.org/uploads/7/78/Notes-media_view24px.png[/img] [i]Medien-Ansicht[/i]. [br]Du kannst die [i]Werkzeugleiste [/i]ausblenden, indem du[img]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/2/29/Baseline-keyboard_arrow_down-24px.svg/24px-Baseline-keyboard_arrow_down-24px.svg.png[/img] in der oberen rechten Ecke der [i]Werkzeugleiste [/i]auswählst.[br]Wenn du oben links das Menü [img]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/c/c8/Baseline-menu-24px.svg/24px-Baseline-menu-24px.svg.png[/img] auswählst, kannst du deine Notizen, z.B. als Bild exportieren oder ausdrucken.[/quote]
V.1. Die Parameter der Scheitelform erkunden
Die Normalparabel mit Scheitel S ( 0 | 0 ) und der Gleichung [math]y=x^2[/math] wurde in den vorherigen Kapiteln an der x-Achse gespiegelt, in y-Richtung gestreckt bzw. im Koordinatensystem verschoben.
[icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_showhidelabel.png[/icon] [b][u]Arbeitsauftrag:[/u][/b][br]Erkunde nun zusammenfassend die Auswirkungen der Parameter [math]a[/math], [math]d[/math] und [math]e[/math] der Scheitelform der Parabelgleichung[br][math]y=a\cdot\left(x-d\right)^2+e[/math].[br]Gerne kannst du dafür auch die vorgegebenen Bilder verwenden oder ein eigenes Bild einer Parabel im Alltag einfügen (tippe auf das Koordinatensystem und füge es über [icon]/images/ggb/toolbar/mode_image.png[/icon] ein - mache es am besten über den BUTTON oben links transparent).[br][i][size=85]Falls du keine geeigneten Bilder finden oder fotographieren konntest, kannst du auch mit den beiden Beispielbildern arbeiten oder dir ein [url=https://www.geogebra.org/m/hzme85qv#material/ujmdamfv%20target=]Bild der Einstiegsseite[/url] speichern und auswählen.[/size][/i][br][br][size=85][i][b][u]ZUSATZ:[/u][/b][br]Findest du auch Sonderfälle bei den Werten der drei Parameter a, d bzw. e?[br][br][i][u][b]TIPP:[/b][/u][/i][br]Du kannst das Applet mit den beiden kreisförmig angeordneten Pfeilen wieder zurücksetzen.[/i][/size]
[quote][b][color=#674ea7][size=150][size=200][size=50][icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_pen.png[/icon][/size][br][/size][size=200]Merke:[/size][/size][/color][color=#9900ff][br][/color][/b]Jede Parabel kann in der Form [math]y=a\cdot\left(x-d\right)^2+e[/math] mit [math]a\ne0[/math] angegeben werden.[br]An dieser Form kann man den [b]Scheitelpunkt [/b][b]S ( d | e )[/b] und den [b]Streckfaktor a[/b] direkt ablesen.[br][br]Deshalb wird diese Darstellungsform einer Parabelgleichung auch als [u][b]Scheitelpunktsform[/b][/u] oder kurz: [u][b]Scheitelform[/b][/u][b] [/b]bezeichnet.[br][/quote]
[size=150][icon]/images/ggb/toolbar/mode_createtable.png[/icon] [u][b]Übung 1:[/b][/u][/size][br][color=#333333]Lies Scheitel und Streckfaktor ab bzw. ergänze die Parabelgleichung sinnvoll.[/color][br][size=85]([b][u]TIPP:[/u][/b] Benutze [img]https://learningapps.org/style/fullscreenicon.png[/img] für den Vollbild-Modus)[/size]
[size=150][icon]/images/ggb/toolbar/mode_createtable.png[/icon] [u][b]Übung 2:[/b][/u][/size][br][color=#333333]Die Abbildung zeigt den blauen Graphen einer Parabel.[br]Gib die zugehörige Gleichung in Scheitelform ein und drücke anschließend den Button zum Überprüfen.[br]Wer von euch schafft die meisten richtigen Antworten hintereinander?[/color]
[size=150][icon]/images/ggb/toolbar/mode_createtable.png[/icon] [u][b]Übung 3:[/b][/u][/size][br][color=#333333]Bewege im Koordinatensystem den roten und den grünen Punkt, um die gegebene Parabel darzustellen.[br][/color]Schaffst den Highscore von 10 richtigen Parabeln in Folge![br]
[icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_showhidelabel.png[/icon] [b][u]Arbeitsauftrag:[/u][/b][br]Die Normalparabel mit Scheitel S ( 0 | 0 ) und der Gleichung [math]y=x^2[/math] wurde in den vorherigen Kapiteln durch "[i][b]Transformationen[/b][/i]" verändert:[br][list][*]Verschiebung im Koordinatensystem[/*][*]Streckung in y-Richtung[/*][*]Spiegelung an der x-Achse[/*][/list]Dadurch verändern sich die Werte der Parameter [math]a[/math], [math]d[/math] und [math]e[/math] der Scheitelform der Parabelgleichung[br][math]y=a\cdot\left(x-d\right)^2+e[/math] .[br][br]Umgekehrt kann man anhand der Werte der Parameter [math]a[/math], [math]d[/math] und [math]e[/math] ablesen, wie eine Parabel aus der Normalparabel mit Scheitel S ( 0 | 0 ) und der Gleichung [math]y=x^2[/math] hervorgegangen ist.[br][br]Untersuche mithilfe des folgenden Applets die Reihenfolge der verschiedenen [i][b]Transformationen[/b][/i].[br]Sichere deine Ergebnisse nach jedem Durchlauf unter dem Applet.[br][br]
[icon]/images/ggb/toolbar/mode_buttonaction.png[/icon] [b][u]Ergebnissicherung:[/u][/b][br]Sobald du eine sinnvolle Reihenfolge der Transformationen gefunden hast, kannst sie ankreuzen, damit du den Überblick behältst.[br][size=85][i](es sind nicht alle 24 Kombinationsmöglichkeiten aufgeführt - du kannst das Notizenfeld ganz unten benutzen, um weitere sinnvolle Reihenfolgen zu notieren)[/i][/size]
[quote][img]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/2/22/Baseline-create-24px.svg/24px-Baseline-create-24px.svg.png[/img] [b][u][size=150][color=#6557d2]NOTIZEN[/color][/size][/u][/b][br]Hier findest du Platz für deine Notizen oder Nebenrechnungen. Du kannst das Whiteboard zudem als Schmierzettel für Ideen oder in der Classroom-Variante dieser Seite auch als persönliche Rückmelde-/Fragemöglichkeit an deinen Lehrer verwenden.[br]Wähle im ersten Schritt immer ein [i]Werkzeug [/i]in einer der drei Ansichten [img]https://wiki.geogebra.org/uploads/1/19/Notes-pen_view24px.png[/img] [i]Stift-Ansicht[/i], [img]https://wiki.geogebra.org/uploads/b/b0/Notes-tools_view24px.png[/img] [i] Formen-Ansicht [/i]und [img]https://wiki.geogebra.org/uploads/7/78/Notes-media_view24px.png[/img] [i]Medien-Ansicht[/i]. [br]Du kannst die [i]Werkzeugleiste [/i]ausblenden, indem du[img]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/2/29/Baseline-keyboard_arrow_down-24px.svg/24px-Baseline-keyboard_arrow_down-24px.svg.png[/img] in der oberen rechten Ecke der [i]Werkzeugleiste [/i]auswählst.[br]Wenn du oben links das Menü [img]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/c/c8/Baseline-menu-24px.svg/24px-Baseline-menu-24px.svg.png[/img] auswählst, kannst du deine Notizen, z.B. als Bild exportieren oder ausdrucken.[/quote]
VI.1. Binomische Formeln und die Scheitelform der Parabelgleichung
Eine Parabel kann man durch eine Gleichung in Scheitelform darstellen:[center][math]y=a\cdot\left(x-d\right)^2+e[/math][/center]In dieser Darstellung kann der [i][b]Streckfaktor[/b][/i] [math]a[/math] (und damit die Form der Parabel) und die Koordinaten des höchsten bzw. tiefsten Punkt der Parabel also der [i][b]Scheitel[/b][/i] [math]S\left(d\mid e\right)[/math] abgelesen werden.[br][br]Betrachtet man die Scheitelform einer Parabelgleichung [math]y=a\cdot\left(x-d\right)^2+e[/math] mit [math]a\ne0[/math] genauer, so stellt man fest, dass in dieser Form ein [i][b][u]Binom[/u][/b][/i] [math]\left(x-d\right)^2[/math] zu finden ist.
[size=150][size=200][size=150][u][icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_circle3.png[/icon][/u] [u][b]Wiederholung - binomische Formeln:[/b][/u][i] THEORIE[/i][/size][/size][/size][br]Benutze das folgende kleine Applet, um dir die 1. und 2. binomische Formel wieder in Erinnerung zu rufen - du wirst sie gleich brauchen:
[size=150][u][icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_circle3.png[/icon][/u] [u][b]Wiederholung - binomische Formeln:[/b][/u][i] ÜBUNG[/i][/size][br]Fülle die Lücken aus:[br]([u][b]TIPP:[/b][/u] Benutze [img]https://learningapps.org/style/fullscreenicon.png[/img] für den Vollbild-Modus)
[size=150][icon]/images/ggb/toolbar/mode_showhidelabel.png[/icon] [b][u]Arbeitsauftrag:[br][/u][/b][/size]Gegeben ist die Parabelgleichung in Scheitelform mit [math]y=3\cdot\left(x+1\right)^2+2[/math].[br]Löse analog zu den Übungen das Binom auf und vereinfache soweit wie möglich.[br][br]Du kannst dazu natürlich analog mit Stift und Papier arbeiten oder du verwendest die [img]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/2/22/Baseline-create-24px.svg/24px-Baseline-create-24px.svg.png[/img] [b][color=#6557d2]NOTIZEN[/color][/b].[br][br]Wähle dazu in der [i]Stiftansicht [/i][img]https://wiki.geogebra.org/uploads/1/19/Notes-pen_view24px.png[/img] den [i]Stift [/i][img]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/2/22/Baseline-create-24px.svg/24px-Baseline-create-24px.svg.png[/img] oder in der [i]Medienansicht [/i][img]https://wiki.geogebra.org/uploads/7/78/Notes-media_view24px.png[/img] [i]Text [/i][img]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/8/8a/Notes-text.svg/24px-Notes-text.svg.png[/img] bzw. [i]Gleichung [/i][math]\prod[/math].[br][i][b][size=85]Solltest du Probleme haben, hilft dir das GeoGebra-Applet unter dem Whiteboard sicher weiter.[/size][/b][/i]
Nutze das folgende Applet zur Überprüfung deines Ergebnisses und als Hilfe bei der Termumformung. [br]Wenn du am Ende des Applets "[i][b]von vorne[/b][/i]" beginnst, wird dir jedes Mal ein neues Zahlenbeispiel angezeigt, das du, z.B. zuerst auf deinem Whiteboard unten oder auf einem Blatt Papier umrechnen kannst, bevor die dein Ergebnis mit dem Applet kontrollierst.
[quote][img]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/2/22/Baseline-create-24px.svg/24px-Baseline-create-24px.svg.png[/img] [b][u][size=150][color=#6557d2]NOTIZEN[/color][/size][/u][/b][br]Hier findest du Platz für deine Notizen oder Nebenrechnungen. Du kannst das Whiteboard zudem als Schmierzettel für Ideen oder in der Classroom-Variante dieser Seite auch als persönliche Rückmelde-/Fragemöglichkeit an deinen Lehrer verwenden.[br]Wähle im ersten Schritt immer ein [i]Werkzeug [/i]in einer der drei Ansichten [img]https://wiki.geogebra.org/uploads/1/19/Notes-pen_view24px.png[/img] [i]Stift-Ansicht[/i], [img]https://wiki.geogebra.org/uploads/b/b0/Notes-tools_view24px.png[/img] [i] Formen-Ansicht [/i]und [img]https://wiki.geogebra.org/uploads/7/78/Notes-media_view24px.png[/img] [i]Medien-Ansicht[/i]. [br]Du kannst die [i]Werkzeugleiste [/i]ausblenden, indem du[img]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/2/29/Baseline-keyboard_arrow_down-24px.svg/24px-Baseline-keyboard_arrow_down-24px.svg.png[/img] in der oberen rechten Ecke der [i]Werkzeugleiste [/i]auswählst.[br]Wenn du oben links das Menü [img]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/c/c8/Baseline-menu-24px.svg/24px-Baseline-menu-24px.svg.png[/img] auswählst, kannst du deine Notizen, z.B. als Bild exportieren oder ausdrucken.[/quote]
VII.1. Graphisch-rechnerisches Vorgehen
[i][size=85]Arbeite zunächst alle Arbeitsaufträge auf dieser Seite durch. Für jede der vier Applets erhältst du Ziffern für den CODE, den du in das Basketball-Applet eingeben musst - hast du alle 6 Ziffern zusammen, kannst du die Aufgaben a)-c) von oben überprüfen lassen.[/size][/i][br]
Die [color=#ff7700]orange Kurve [/color]zeigt den Ausschnitt einer Parabel mit der Gleichung [math]y=-\frac{1}{2}\cdot x^2+2\cdot x+2[/math]. Sie beschreibt den Kurvenverlauf eines Basketballwurfes. Die x-Achse beschreibt dabei den ebenen Boden des Spielfeldes (---).
a) Überlege dir zunächst eine sinnvolle Platzierung der y-Achse.[br]b) Ermittle anhand der angegebenen Gleichung die Höhe, aus welcher Höhe wird der Basketball geworfen wird.[br]c) Überlege dir, wie man die maximale Höhe des Balles bestimmen kann.[br]__________________________________________________________________________________________________________________
Je nach Aufgabenstellung bietet sich die allgemeine Form oder Scheitelform einer Parabelgleichung an. [br]Deshalb ist es wichtig, die beiden Darstellungsformen ineinander umwandeln zu können.[br][br]Diese Aktivität soll dir helfen, die Umwandlung von der allgemeinen Form in die Scheitelform zu erkunden und zu verstehen.
[size=150][size=200][size=150][u][icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_showhidelabel.png[/icon][/u][b] [u]Arbeitsauftrag 1:[/u] [/b][i]verschobene Normalparabel in allgemeiner Form[br][/i][/size][/size][/size]Klicke die einzelnen Schritte durch und versuche nachzuvollziehen, wie man von der allgemeinen Form zur Scheitelform gelangt.[br]([b][i][color=#ff0000][size=85]hier gibt es die ersten beiden CODE-Ziffern[/size][/color][/i][/b])
[size=150][size=200][size=150][u][icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_showhidelabel.png[/icon][/u][b] [u]Arbeitsauftrag 2:[/u] [/b][i]Vertiefung[br][/i][/size][/size][/size]Der Funktionsterm ist leicht verändert - der Streckfaktor ist nun [math]a\ne1[/math] und der Scheitel liegt nun unterhalb der x-Achse.[br]Finde heraus, wie sich ein veränderter Streckfaktor und ein negativer y-Achsenabschnitt auf deine Vorgehensweise aus Auftrag 1 auswirkt.[br]Klicke die einzelnen Schritte durch und versuche nun schneller nachzuvollziehen, wie man von der allgemeinen Form zur Scheitelform gelangt.[br]([b][i][color=#ff0000][size=85]hier gibt es die dritte CODE-Ziffer[/size][/color][/i][/b])
[icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_sumcells.png[/icon] [u][b]Zusammenfassung:[/b][/u][br]Bringe die einzelnen Schritte in die richtige Reihenfolge - wiederhole dabei die wichtigsten Punkte der Umformung. [br]([b][i][color=#ff0000][size=85]hier gibt es die vierte und fünfte CODE-Ziffer[/size][/color][/i][/b])[br][size=85]([b][u]TIPP:[/u][/b] Benutze [img]https://learningapps.org/style/fullscreenicon.png[/img] für den Vollbild-Modus)[/size]
[icon]/images/ggb/toolbar/mode_rotateview.png[/icon] [b][u]Entdecken:[/u][/b][br][list=1][*]Versuche nun selbst mit der angegebenen Parabelgleichung in der allgemeinen Form die x-Koordinate des Scheitels zu bestimmen. Deine Rechenschritte und Überlegungen kannst du mit ▢ [color=#274e13]weiter -> [/color]überprüfen.[/*][*]Betätige zunächst NICHT den Button im Applet, sondern führe nun die einzelnen Schritte mit einer Parabel in der allgemeinen Form durch:[br][center][math]y=a\cdot x^2+b\cdot x+c[/math] mit [math]a\ne0[/math][/center]Findest du eine Formel zur Ermittlung des x-Wertes des Scheitels?[/*][*]Betätige den Button am Ende des Applets und vollziehe die einzelnen Rechenschritte nach.[/*][*]Wende abschließend die gefundene Formel zur Bestimmung des x-Wertes des Scheitels auf die Basketball-Einstiegsaufgabe an - bestimme die Koordinaten des Scheitels der Basketball-Wurf-Parabel.[/*][/list]([b][i][color=#ff0000][size=85]hier gibt es die sechste und letzte CODE-Ziffer[/size][/color][/i][/b])
[icon]/images/ggb/toolbar/mode_keepinput.png[/icon] Du hast nun alle [b][color=#ff0000]6 Ziffern des CODES[/color][/b] gefunden und die Koordinaten des höchsten Punktes der Basketball-Kurve mithilfe der vorgestellten Vorgehensweise oder der Formel bestimmt?[br][br]Dann gehe [url=https://www.geogebra.org/m/hzme85qv#top#material/bgfwtnb4]nach oben[/url], gib den [b][color=#ff0000]CODE [/color][/b]im Basketball-Applet ein und überprüfe dein Ergebnis graphisch!
[quote][img]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/2/22/Baseline-create-24px.svg/24px-Baseline-create-24px.svg.png[/img] [b][u][size=150][color=#6557d2]NOTIZEN[/color][/size][/u][/b][br]Hier findest du Platz für deine Notizen oder Nebenrechnungen. Du kannst das Whiteboard zudem als Schmierzettel für Ideen oder in der Classroom-Variante dieser Seite auch als persönliche Rückmelde-/Fragemöglichkeit an deinen Lehrer verwenden.[br]Wähle im ersten Schritt immer ein [i]Werkzeug [/i]in einer der drei Ansichten [img]https://wiki.geogebra.org/uploads/1/19/Notes-pen_view24px.png[/img] [i]Stift-Ansicht[/i], [img]https://wiki.geogebra.org/uploads/b/b0/Notes-tools_view24px.png[/img] [i] Formen-Ansicht [/i]und [img]https://wiki.geogebra.org/uploads/7/78/Notes-media_view24px.png[/img] [i]Medien-Ansicht[/i]. [br]Du kannst die [i]Werkzeugleiste [/i]ausblenden, indem du[img]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/2/29/Baseline-keyboard_arrow_down-24px.svg/24px-Baseline-keyboard_arrow_down-24px.svg.png[/img] in der oberen rechten Ecke der [i]Werkzeugleiste [/i]auswählst.[br]Wenn du oben links das Menü [img]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/c/c8/Baseline-menu-24px.svg/24px-Baseline-menu-24px.svg.png[/img] auswählst, kannst du deine Notizen, z.B. als Bild exportieren oder ausdrucken.[/quote]
VIII.1. Die Darstellungsformen der Parabelgleichung im Überblick
Im Laufe der Einheit hast du drei unterschiedliche Darstellungsformen für ein und dieselbe Parabel kennengelernt.[br][br][icon]/images/ggb/toolbar/mode_showhidelabel.png[/icon] [u][b]Arbeitsauftrag:[/b][/u][br]Die Abbildung zeigt einen Turmspringer, der - durch eine besondere Badekappe geschützt - in die Tiefe abspringt.[br]Alle drei angegebenen Gleichungen beschreiben dieselbe Parabel, die gestrichelt in der Abbildung zu sehen ist.[br]Überlege dir die Bedeutung der einzelnen Parameter in den Gleichungen und beantworte die Fragen.[br][br][size=85][b][i][u]ZUSATZ:[/u][/i][/b][br]Die angegebenen Gleichungen gelten für alle reellen x-Werte - für diese Anwendungsaufgabe ist nur ein Teil der reellen Zahlen sinnvoll ... wir wollen ja nicht, dass der Springer rückwärts auf der Parabel vom Sprungturm fliegt! Gib das Intervall der x-Werte an, die für diese Aufgabenstellung geeignet sind.[/size]
[quote][b][color=#674ea7][size=150][size=200][size=50][icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_pen.png[/icon][/size][br][/size][size=200]Merke:[br][/size][/size][/color][/b]Parabeln können durch drei unterschiedliche aber äquivalente Formen dargestellt werden:[br][br]1) Scheitelform [math]y=a\cdot\left(x-d\right)^2+e[/math] mit Streckfaktor [math]a[/math] und Scheitel [math]S\left(d\mid e\right)[/math].[br][br]2) allgemeine Form: [math]y=a\cdot x^2+b\cdot x+c[/math] mit Streckfaktor [math]a[/math] und y-Achsenabschnitt [math]c[/math].[br][br]3) Produktform / Linearfaktordarstellung: [math]y=a\cdot\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)[/math] mit Streckfaktor [math]a[/math] und Schnittstellen mit der x-Achse [math]x=x_1[/math] und [math]x=x_2[/math].[/quote]
[icon]/images/ggb/toolbar/mode_showhidelabel.png[/icon] [u][size=150][b]Arbeitsauftrag:[/b][/size][/u][br]Ordne je drei Kärtchen den drei Feldern zu.[br][size=85]([u][b]TIPP:[/b][/u] Benutze [img]https://learningapps.org/style/fullscreenicon.png[/img] für den Vollbild-Modus)[/size]
[size=150][icon]/images/ggb/toolbar/mode_sumcells.png[/icon] [b][u]Zusammenfassung:[/u][/b][/size][br]Das folgende Applet fasst die verschiedenen Darstellungsformen zusammen.
[quote][img]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/2/22/Baseline-create-24px.svg/24px-Baseline-create-24px.svg.png[/img] [b][u][size=150][color=#6557d2]NOTIZEN[/color][/size][/u][/b][br]Hier findest du Platz für deine Notizen oder Nebenrechnungen. Du kannst das Whiteboard zudem als Schmierzettel für Ideen oder in der Classroom-Variante dieser Seite auch als persönliche Rückmelde-/Fragemöglichkeit an deinen Lehrer verwenden.[br]Wähle im ersten Schritt immer ein [i]Werkzeug [/i]in einer der drei Ansichten [img]https://wiki.geogebra.org/uploads/1/19/Notes-pen_view24px.png[/img] [i]Stift-Ansicht[/i], [img]https://wiki.geogebra.org/uploads/b/b0/Notes-tools_view24px.png[/img] [i] Formen-Ansicht [/i]und [img]https://wiki.geogebra.org/uploads/7/78/Notes-media_view24px.png[/img] [i]Medien-Ansicht[/i]. [br]Du kannst die [i]Werkzeugleiste [/i]ausblenden, indem du[img]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/2/29/Baseline-keyboard_arrow_down-24px.svg/24px-Baseline-keyboard_arrow_down-24px.svg.png[/img] in der oberen rechten Ecke der [i]Werkzeugleiste [/i]auswählst.[br]Wenn du oben links das Menü [img]https://wiki.geogebra.org/uploads/thumb/c/c8/Baseline-menu-24px.svg/24px-Baseline-menu-24px.svg.png[/img] auswählst, kannst du deine Notizen, z.B. als Bild exportieren oder ausdrucken.[/quote]
WS3 ARBEITSBLAETTER
WS3 ARBEITSBLAETTER
