[right][size=50]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url]. [color=#ff7700][b](Korrigiert 5. Oktober 2019)[br](erneut korrigiert: 10.10.2019)[br][/b][/color][/size][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][color=#000000]Kapitel: [color=#0000ff]"[url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/409348][i][b]Spezielle komplexe Funktionen[/b][/i][/url][/color]"[/color][/color][/size][/size][/size][/right][color=#ff0000][b][size=50]Das Applet oben ist möglicherweise sehr empfindlich und benötigt lange Ladezeiten![/size][/b][/color][br][size=85]Wir wollen [color=#ff7700][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color] einer [b]elliptischen Differentialgleichung[/b] des folgenden Typs näherungsweise darstellen:[br][/size][list][*][size=85] [math]w'\,^2=c\cdot\left(w-f_1\right)\cdot\left(w-f_2\right)\cdot\left(w-f_3\right)\left(w-f_4\right)[/math][/size][/*][/list][size=85]Hierbei sind die 4 verschiedenen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] [color=#00ff00][i][b]f[sub]1[/sub][/b][/i][/color], [color=#00ff00][i][b]f[sub]2[/sub][/b][/i][/color], [/size][size=85][size=85][size=85][color=#00ff00][i][b]f[sub]3[/sub][/b][/i][/color], [/size][/size][/size][size=85][size=85][size=85][size=85][color=#00ff00][i][b]f[sub]4[/sub][/b][/i][/color], und die [color=#ff7700][i][b]komplexe Zahl [/b][/i][/color][math]c=e^{i\cdot \varphi}[/math] vom Betrage 1, beweglich.[br]Ebenso sind die Anfangspunkte [math]z_0[/math] und [math]w[/math] der [color=#9900ff][i][b]Näherungskurven[/b][/i][/color] beweglich.[br]Das [color=#1e84cc][i][b]Vektorfeld[/b][/i][/color] läßt sich mit dem Feld-Mittelpunkt [i][b]g[sub]0[/sub][/b][/i] verschieben, Abstand der Gitterpunkte [color=#666666][i][b]g[sub]a[/sub][/b][/i][/color] und ein gemeinsamer Streckfaktor [color=#666666][i][b]l[sub]v[/sub][/b][/i][/color] der [color=#1e84cc][i][b]Vektoren[/b][/i][/color] sind wählbar.[br]Für [math]z_0[/math], bzw. für [math]w[/math] werden [color=#9900ff][i][b]Näherungskurven[/b][/i][/color] konstruiert in der durch die Differentialgleichung gegebenen Richtungen [math]\pm z_0'[/math] bzw. [math]\pm w'[/math] und in den dazu orthogonalen Richtungen [math]\pm i\cdot z_0'[/math] bzw. [math]\pm i\cdot w'[/math].[br][br]Für [math]c=1[/math] läßt sich das [color=#1e84cc][i][b]Vektorfeld[/b][/i][/color] geometrisch beschreiben: Die 4 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] können auf 3 Arten in 2 Paare von Grundpunkten [color=#0000ff][i][b]hyperbolischer Kreisbüschel[/b][/i][/color] zerlegt werden: oben sind die [i][b]Kreisbüschel[/b][/i] durch [color=#00ff00][i][b]f[sub]1[/sub][/b][/i][/color], [color=#00ff00][i][b]f[sub]2[/sub][/b][/i][/color] und [color=#00ff00][i][b]f[sub]3[/sub][/b][/i][/color], [color=#00ff00][i][b]f[sub]4[/sub][/b][/i][/color], bzw. durch [color=#00ff00][i][b]f[sub]1[/sub][/b][/i][/color], [color=#00ff00][i][b]f[sub]3[/sub][/b][/i][/color] und [color=#00ff00][i][b]f[sub]2[/sub][/b][/i][/color], [color=#00ff00][i][b]f[sub]4[/sub][/b][/i][/color] als Beispiel angegeben. Durch fast jeden [color=#ff7700][i][b]Punkt[/b][/i][/color] der Ebene geht je ein Kreis aus den Büscheln eines solchen Kreis-Büschelpaares. Die Lösungskurven sind [color=#ff00ff][i][b]Winkelhalbierende[/b][/i][/color] dieser Kreise! (Diese Aussage wird noch überprüft!)[br]Diese Aussage oben ist falsch - bzw. sie stimmt nur unter einer ganz speziellen Voraussetzung! Die [color=#0000ff][i][b]geometrischen Zusammenhänge[/b][/i][/color] werden mit den folgenden Punkten erklärt![br][list][*]Für jedes der 3 oben genannten [i][b]Kreisbüschel-Paare[/b][/i] sind die [color=#ff00ff][i][b]Winkelhalbierenden[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color] der [b]elliptischen Differentialgleichung[/b]. Sie gehören im allgemeinen Fall zu 3 verschiedenen Faktoren [math]c[/math] der Differentialgleichung. [br]Liegen die 4 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] auf einem [color=#ff0000][b][i]Kreis[/i][/b][/color] ([color=#ff0000][i][b]konzyklischer Fall![/b][/i][/color]), so fallen die [color=#ff00ff][i][b]Winkelhalbierenden-Kurven [/b][/i][/color]zusammen![br][/*][*]Die [color=#ff7700][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color] schneiden die [color=#ff00ff][i][b]Winkelhalbierenden-Kurven[/b][/i][/color] unter konstantem Winkel: sie sind [i][b]Isogonal-Trajektorien[/b][/i] der [color=#ff00ff][i][b]Winkelhalbierenden[/b][/i][/color]![/*][*]Liegen 2 Punkte-Paare der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] spiegelbildlich auf 2 [color=#ff0000][i][b]orthogonalen Kreisen[/b][/i][/color], so muss man für eines der beiden [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt-Paare[/b][/i][/color] das zugehörige [color=#1e84cc][i][b]hyperbolische Kreisbüschel,[/b][/i][/color] für das andere [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt-Paar[/b][/i][/color] das zugehörige [color=#1e84cc][i][b]elliptische Kreisbüschel [/b][/i][/color]wählen. Die [color=#ff00ff][i][b]Winkelhalbierenden-Kurven[/b][/i][/color] dieser beiden [color=#1e84cc][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] sind dann [color=#ff7700][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color] der [i][b]Differentialgleichung[/b][/i].[/*][*]Ist die [b]absolute Invariante[/b] [math]\Large\mathcal{\mathbf{J}}[/math] der [i][b]elliptischen Differentialgleichung[/b][/i] reell, so sind die [color=#ff00ff][i][b]Winkelhalbierenden[/b][/i][/color]-[color=#ff7700][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color] [color=#980000][i][b]konfokale bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color]. [br][list][*][math]\Large\mathcal{\mathbf{J}}>0[/math]: zweiteilige bizirkulare Quartiken [/*][*][math]\Large\mathcal{\mathbf{J}} =0[/math]: [color=#0000ff][i][b]harmonische Lage[/b][/i][/color] der 4 verschiedenen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color]: [color=#980000][i][b]zweiteilige bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] und im 45°-Winkel dazu [color=#980000][i][b]einteilige bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color]![/*][*][math]\Large\mathcal{\mathbf{J}}<0[/math]: [size=85][size=85][size=85][size=85][color=#980000][i][b]einteilige bizirkulare Quartiken.[/b][/i][/color][/size][/size][/size][/size] [br]Sonderfall [math]\Large\mathcal{\mathbf{J}}=-1 [/math]: [color=#BF9000][i][b]Tetraederfall[/b][/i][/color]! Die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] sind [color=#0000ff][i][b]möbiusgeometrisch[/b][/i][/color] die Ecken eines [color=#BF9000][i][b]Tetraeders[/b][/i][/color] auf der [b]RIEMANN[/b]schen Zahlenkugel. Es gibt 3 Scharen von [color=#980000][i][b]einteiligen konfokalen bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color], welche sich unter Vielfachen von 30° schneiden![/*][/list][/*][/list] Diese Aufzählung ist die Zusammenfassung des [color=#980000][i][b]book-Kapitels[/b][/i][/color] [math]\hookrightarrow[/math] [/size][/size][/size][/size][size=85][size=85][size=85][size=85][u][i][b][size=85][size=85][size=85][size=85][size=85][size=85][size=85][size=85] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168952]Quadratische Vektorfelder oder elliptische Funktionen[/url].[/size][/size][/size][/size][br][/size][/size][/size][/size][/b][/i][/u][br][br]Die [color=#9900ff][i][b]Näherungskurven[/b][/i][/color] durch [math]z_0[/math], bzw. durch [math]w[/math] sind auf verschiedene Weisen konstruiert:[br][size=85][size=85][size=85][size=85]Für [math]z_0[/math] werden die [color=#1e84cc][i][b]Richtungsvektoren[/b][/i][/color] auf Einheitslänge normiert und anschließend durch einen gemeinsamen Faktor ([color=#38761D][b]dglL[/b][/color]) verkürzt. Der Vorteil ist, dass in den Bereichen, in welchen das Vorzeichen von [math]\sqrt{ }[/math] hin- und herspringt, der Richtungswechsel durch eine einfache Abfrage ermittelt und korrigiert werden kann![/size][/size][/size][/size][size=85][size=85][size=85][size=85]Für [math]w[/math] als Anfangspunkt wird das gegebenene [color=#1e84cc][i][b]Richtungsfeld[/b][/i][/color] nur durch einen gemeinsamen [color=#38761D][i][b]Faktor[/b][/i][/color] korrigiert. Zu erkennen sind die Bereiche, in welchen [math]\sqrt{ }[/math] ständig die Richtung wechselt.[/size][/size][/size][/size][size=85][size=85][size=85][size=85]Die [color=#9900ff][i][b]Näherungskurven[/b][/i][/color] approximieren die [color=#ff7700][i][b]Integralkurven[/b][/i][/color] der [b]Differentialgleichung[/b] natürlich für die 2. Näherungsmethode besser, solange sich der [color=#1e84cc][i][b]Richtungswechsel[/b][/i][/color] nicht auswirkt.[br][br]Die [color=#9900ff][i][b]Näherungskurven[/b][/i][/color] bestehen aus von Punkt zu Punkt berechneten [color=#ff0000][i]Streckenstücken[/i][/color]. Diese werden [i][b]iterativ[/b][/i] in der [color=#274E13][b]Tabelle[/b][/color] berechnet. Die Anzahl der [i][b]Iterationen[/b][/i] werden durch den [i][b]komplexen[/b][/i] Rechenaufwand in der [/size][/size][/size][/size][size=85][size=85][size=85][size=85][size=85][size=85][size=85][size=85][color=#274E13][b]Tabelle[/b][/color][/size][/size][/size][/size] deutlich begrenzt!!!![br]Als sehr positiv sei hervorgehoben, dass [color=#980000][i][b]Ge[icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon]Gebra[/b][/i][/color] in der [/size][/size][/size][/size][size=85][size=85][size=85][size=85][size=85][size=85][size=85][size=85][color=#274E13][b]Tabelle[/b][/color][/size][/size][/size][/size] das Rechnen mit [i][b]komplexen Zahlen[/b][/i] fast problemlos unterstützt![br][br][u][i]Ein Hinweis:[/i][/u] Die komplexen [color=#ff7700][i][b]Lösungsfunktionen[/b][/i][/color] der [b]elliptischen Differentialgleichung[/b] sind [b]elliptische Funktionen[/b]. Diese sind [i][b]doppelt-periodisch[/b][/i]. Je nach Lage der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] muss es zwei Richtungen geben, in welchen die [color=#ff7700][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color] geschlossenen Kurven sind! [/size][/size][/size][/size][br][color=#0000ff][i][b][size=50]Auf [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/apuafwzj]der nächsten Seite[/url] haben wir versucht, das Sprungverhalten der Lösungskurven zu vermeiden - allerdings erkauft mit hohem Rechenaufwand! [br]Auf den nachfolgenden Seiten haben wir die oben genannten Zusammenhänge mit den Winkelhalbierenden versucht zu visualisieren![/size][/b][/i][/color][/size][/size][/size][/size]

[size=85][center][color=#ff0000][i][b]Bewege [math]z_0[/math] mit den Schiebereglern![/b][/i][/color][/center][br]Die [color=#0000ff][i][b]komplexe Wurzelfunktion[/b][/i][/color] in [color=#980000][i][b]Ge[icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon]Geba[/b][/i][/color] bildet die komplexen Zahlen [math]z=\rho\cdot e^{i\cdot\varphi}[/math] für [math]180°<\varphi <-180°[/math] auf die rechte Halbebene [math]x>0[/math] ab. Beim Übergang über die linke [math]x[/math]-Halbgerade springen die Bilder!![br]Für eine "sprungfreie" Wurzelfunktion müßte man sich die [math]z[/math]-Ebene einfach überlagert denken: [math]z=\rho\cdot e^{i\cdot\varphi}[/math] für [math]360°<\varphi <-360°[/math]: [math]\sqrt{z}=\sqrt{\rho\cdot e^{i\cdot\varphi}}=\sqrt{\rho}\cdot e^{i\cdot\frac{\varphi}{2}}[/math].[br][/size]