[code][/code]In der Natur und in der Technik gibt es Situationen, die man nicht mehr sinnvoll nur mit Geraden beschreiben kann.[br]Die Stahlkonstruktion der abgebildeten Brücken oder der Verlauf eines Regenbogens sind typische Beispiele dafür.[br][table][br][tr][br][td][img width=225,height=150]https://cdn.pixabay.com/photo/2015/11/06/14/01/river-1028118__340.jpg[/img][br][url=https://pxhere.com/de/photo/677609][size=50]Teufelsbrücke[/size][/url][/td][br][br][td][img width=226,height=150]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/88/Berliner_Bogen%2C_Hamburg_Hammerbrook.jpg/800px-Berliner_Bogen%2C_Hamburg_Hammerbrook.jpg[/img][br][url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Berliner_Bogen,_Hamburg_Hammerbrook.jpg][size=50]Berliner Bogen (Hamburg)[/size][/url][/td][br][br][td][img width=194,height=150]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b9/St_Louis_Gateway_Arch.jpg[/img][br][url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:St_Louis_Gateway_Arch.jpg][size=50]Gateway Arch (St. Louis)[/size][/url][/td][br][/tr][br][br][tr][br][td][img width=225,height=150]https://cdn.pixabay.com/photo/2018/08/11/16/48/elphi-3598944_960_720.jpg[/img][br][url=https://pixabay.com/de/photos/elphi-hamburg-elbphilharmonie-3598944/][size=50][left]Elbphilharmonie (Hamburg)[/left][/size][/url][/td][br][br][td][img width=226,height=150]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/44/Solingen_--_M%C3%BCngstener_Br%C3%BCcke_%2810403938084%29.jpg/800px-Solingen_--_M%C3%BCngstener_Br%C3%BCcke_%2810403938084%29.jpg[/img][br][url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Solingen_--_M%C3%BCngstener_Br%C3%BCcke_(10403938084).jpg][size=50][left]Müngster Brücke (Solingen)[/left][/size][/url][/td][br][br][td][img width=226,height=79]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/85/L-Bruecke-Wupper.png/800px-L-Bruecke-Wupper.png[/img][br][url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:L-Bruecke-Wupper.png?uselang=de][size=50][left][br][br][br][br][br]Müngster Brücke (Planung)[/left][/size][/url][/td][/tr][br][br][tr][br][td][img width=155,height=150]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2f/Unterkiefer_von_Mauer_(Replika).JPG/620px-Unterkiefer_von_Mauer_(Replika).JPG[/img][br][url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Unterkiefer_von_Mauer_(Replika).JPG][size=50]Unterkiefer Homo heidelbergensis (Mauer!)[/size][/url][/td][br][br][td][img width=267,height=150]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/Lanxess-Arena%2C_K%C3%B6ln-4103.jpg/800px-Lanxess-Arena%2C_K%C3%B6ln-4103.jpg[/img][br][url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lanxess-Arena,_K%C3%B6ln-4103.jpg][size=50]Lanxess-Arena (Köln)[/size][/url][/td][br] [br][td][img width=232,height=150]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ea/FreiwurfNowitzki.jpg[/img][br][url=https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:FreiwurfNowitzki.jpg][size=50]Freiwurf von Dirk Nowitzki (Dallas)[/size][/url][/td][/tr][br][br][tr][br][td][img width=225,height=150]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9d/Atomei_-_Forschungsreaktor_M%C3%BCnchen_I_%28FRM_I%29.JPG/800px-Atomei_-_Forschungsreaktor_M%C3%BCnchen_I_%28FRM_I%29.JPG[/img][br][url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Atomei_-_Forschungsreaktor_M%C3%BCnchen_I_(FRM_I).JPG][size=50]Atomei Forschungsreaktor (München)[/size][/url] [/td][br][br][td][img width=132,height=150]https://live.staticflickr.com/3787/8947372669_95df316f66_w.jpg[/img][url=https://www.flickr.com/photos/95783009@N06/8947372669][br][size=50]Berge in Ergaki (Russland)[/size][/url][/td][br] [br][td][img width=225,height=150]https://cdn.pixabay.com/photo/2014/09/17/21/55/railway-station-450145_960_720.jpg[/img][br][url=https://pixabay.com/de/photos/bahnhof-zug-tunnel-eisenbahn-450145][size=50]Eisenbahntunnel[/size][/url][/td][/tr][br] [br][tr][br][td][img width=200,height=150]https://cdn.pixabay.com/photo/2016/09/19/22/54/pavement-1681490_960_720.jpg[/img][br][url=https://pixabay.com/de/photos/b%C3%BCrgersteig-fu%C3%9Fweg-stra%C3%9Fe-1681490/][size=50]Absperrung[/size][/url][/td][br][br][td][img width=155,height=150]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/Manneken_Pis_%28crop%29.jpg/617px-Manneken_Pis_%28crop%29.jpg[/img][url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Manneken_Pis_(crop).jpg][br][size=50]Manneken Pis (Brüssel)[/size][/url][/td][br] [br][td][img width=244,height=150]https://cdn.pixabay.com/photo/2015/03/16/10/54/rainbow-675832_960_720.jpg[/img][br][url=https://pixabay.com/de/photos/regenbogen-meer-k%C3%BCste-strand-675832/][size=50]Regenbogen[/size][/url][/td][/tr][/table][br][i][size=50][center](Die Bildquelle kann über die jeweiligen Hyperlinks der Titel aufgerufen werden)[/center][/size][/i][size=50][u]weitere interessante Bauwerke:[/u] Glienicker Brücke (Potsdam), Kaiser-Wilhelm-Brücke (Wilhelmshaven), Kingdom Centre (Riad)[/size]

Die Golden Gate Bridge wird durch eine Konstruktion aus senkrecht verlaufenden Halteseilen stabilisiert. Sie sind an Trägerseilen befestigt.[br][img width=640,height=180]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2a/Golden_Gate_Bridge_Dec_15_2015_by_D_Ramey_Logan.jpg[/img][size=50][br]"[url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Golden_Gate_Bridge_Dec_15_2015_by_D_Ramey_Logan.jpg##]Golden Gate Bridge Dec 15 2015 by D Ramey Logan.jpg[/url] from [url=https://commons.wikimedia.org/wiki/Main_Page]Wikimedia Commons[/url] by [url=https://don.logan.com/]D Ramey Logan[/url], [url=https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.en]CC-BY 4.0[/url]"[/size][br][b][size=150][size=200][size=150][u][icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_showhidelabel.png[/icon][/u][b] [u]Arbeitsauftrag 1:[br][/u][/b][/size][/size][/size][/b]Verschiebe in der schematischen Darstellung der Golden Gate Bridge (Abbildung unten) die beiden blauen Punkte so, dass sie auf dem Trägerseil vom rechten Pfeiler Richtung Landseite liegen. [br]Verschiebe in der Abbildung unten die drei grünen Punkte so, dass sie auf dem Trägerseil zwischen den beiden Pfeilern der Brücke liegen. [size=100][size=50][br][br][size=50][b][size=100][b][size=150][size=200][size=150][u][icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_showhidelabel.png[/icon][/u][b] [u]Arbeitsauftrag 2:[br][/u][/b][/size][/size][/size][/b][/size][/b][/size][/size][/size]Tippe neben dem Graphen auf den Button [icon]/images/ggb/toolbar/mode_freehandshape.png[/icon] und lasse dir damit die Näherungskurven anzeigen und vergleiche den Verlauf der blauen mit der grünen Kurve. Notiere, wodurch sich die beiden Graphen unterschieden.[br][icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_numeric.png[/icon] Lass dir die Näherungsgleichungen anzeigen und vergleiche die blaue und die beiden grünen Gleichungen miteinander.

[quote][b][color=#674ea7][size=150][size=200][size=50][icon]/images/ggb/toolbar/mode_pen.png[/icon][/size][br][/size][size=200]Merke:[/size][/size][/color][color=#9900ff][br][/color][/b][color=#333333]Der Graph einer [b][u]linearen Funktion[/u][/b] ist eine [u][b]Geraden[/b][/u].[br]Deshalb kann das Trägerseil Richtung Landseite durch eine lineare Funktion mit [/color][math]y\approx-0,5\cdot x+825[/math][color=#333333]beschrieben werden. [br][br]Für die Beschreibung des Trägerseils in der Mitte der Brücke jedoch sind Geraden ungeeignet. Dafür braucht man einen anderen Funktionstyp:[br]Bei der ermittelten Vorschrift [/color][math]y\approx0,0004\cdot x^2-0,5\cdot x+230[/math][color=#333333] kommt die Variable im Quadrat vor. Man nennt diese Funktion deshalb [u][b]quadratische Funktion[/b][/u]. [br]Der Graph einer quadratischen Funktion heißt [u][b]Parabel[/b][/u].[/color][/quote]

[size=50][size=50][size=100][b][size=150][size=200][size=150][u][icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_showhidelabel.png[/icon][/u][b] [u]Vertiefung - Zusammenhänge erkennen:[/u][/b][/size][/size][/size][/b][br][/size][/size][/size]Betracht man im Applet oben die blauen und die beiden grünen Näherungsgleichungen genauer, so kann man einen Zusammenhang einiger Zahlenwerte mit besonderen Stellen in der Abbildung links erkennen. [br][br][icon]/images/ggb/toolbar/mode_rotateview.png[/icon] [u][b]Entdecken - [color=#0000ff]blauer Graph[/color]:[/b][/u][br]Beschreibe den Zusammenhang, den du zwischen dem [color=#0000ff][b]blauen Graphen[/b][/color] und der [b][color=#0000ff]zugehörigen Gleichung[/color] [/b]finden konntest.

[icon]/images/ggb/toolbar/mode_rotateview.png[/icon] [u][b]Entdecken - [color=#274e13]grüner Graph[/color]:[/b][/u][br]Beschreibe den Zusammenhang, den du zwischen dem [color=#274e13][b]grünen Graphen[/b][/color] und den [color=#274e13][b]beiden zugehörigen Gleichungen[/b][/color] finden konntest.

[size=100][size=50][size=50][size=100][b][size=150][size=200][size=150][u][icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_showhidelabel.png[/icon][/u][b] [u]Arbeitsauftrag 3 - Festigung / Wiederentdecken:[/u][/b][/size][/size][/size][/b][list=1][*][size=100][size=50][icon]/images/ggb/toolbar/mode_image.png[/icon][/size][/size]Füge ein Bild einer Parabel und/oder einer Geraden ein - gerne kannst du auch direkt ein Foto eines parabelförmigen Gegenstandes in deiner Umgebung machen und einfügen oder du verwendest eines der Bilder von oben (Speichern und einfügen).[/*][*]Mit dem Button "Bild transparent machen" kannst du dein Bild so verändern, dass du das Koordinatengitter und die Achsen erkennen kannst.[/*][*]Verschiebe dein Bild nach Belieben im Koordinatensystem.[/*][*]Entscheide, ob die die zwei blauen Punkte (für eine Gerade) oder die drei grünen Punkte (für eine Parabel) auf die entsprechende geometrische Form in deinem Bild verschiebst. [icon]/images/ggb/toolbar/mode_freehandshape.png[/icon] die Näherungskurven helfen dir dabei.[/*][*]Überlege dir zunächst, welche Werte deine Geraden- bzw. Parabelgleichung haben wird und lasse sie dir anschließend anzeigen [icon]/images/ggb/toolbar/mode_numeric.png[/icon].[br][/*][/list][/size][/size][/size][/size]

Die einfachste quadratische Funktion besitzt die Vorschrift [math]y=x^2[/math].[br][br][b][size=200][size=150][u][icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_showhidelabel.png[/icon][/u] [u]Arbeitsauftrag:[br][/u][/size][/size][/b]Mithilfe einer Wertetabelle kann man den zugehörigen Graphen möglichst genau zeichnen - führe die einzelnen Schritte des Applets durch:

[size=150][b][u][icon]/images/ggb/toolbar/mode_sumcells.png[/icon][/u] [u]Zusammenfassung:[/u][/b][/size][br]Fülle mithilfe deiner Erkenntnisse aus dem Applet den folgenden Lückentext aus:[br][size=85]([b][u]TIPP:[/u][/b] Benutze [img]https://learningapps.org/style/fullscreenicon.png[/img] für den Vollbild-Modus)[/size]

[size=100]Für Anwendungsaufgaben ist es oft sinnvoll, die Parabel so im Koordinatensystem einzuzeichnen, dass die x-Achse die ebene Fläche ([u][b]hier:[/b][/u] [i]die Wasseroberfläche / die Uferlinie[/i]) beschreibt -> rechte Darstellung.[br][br]Notiere zunächst, welche Vorteile die rechte Darstellung im Gegensatz zur linken Darstellung aus den letzten beiden Applets hat?[br][/size]Ändert sich die Form der Normalparabel durch eine entsprechende Verschiebung?

[size=150][u][icon]/images/ggb/toolbar/mode_showhidelabel.png[/icon][/u] [u][b]Arbeitsauftrag:[/b][/u][/size][br]Verschiebt man die Normalparabel mit der Gleichung [math]y=x^2[/math] im Koordinatensystem, dann bleibt ihre grundsätzliche Form erhalten. [br]Allerdings ergibt sich daraus ein neuer Scheitel und deshalb auch eine neue Gleichung für die Parabel.[br][br]Gegeben sind die Normalparabeln[br][center][math]g:y=x^2+2[/math][br][math]h:y=x^2-1[/math][/center][list=1][*]Erstelle jeweils eine Werte-Tabelle für g und h in deinem Heft. Erinnerst du dich an die Werte-Tabellen-Funktion deines Taschenrechners?[/*][*]Überlege dir, welche allgemeinen Auswirkungen der Parameter [math]e[/math] in der Gleichung [math]y=x^2+e[/math] auf die ursprüngliche Normalparabel [math]y=x^2[/math] hat.[/*][/list]Überprüfe deine Vermutungen mithilfe des Applets.

[b][size=200][size=150][u][icon]/images/ggb/toolbar/mode_sumcells.png[/icon][/u] [u]Zusammenfassung:[/u][br][/size][/size][/b]Fülle mithilfe deiner Erkenntnisse aus dem Applet den folgenden Lückentext aus:[br][size=85]([b][u]TIPP:[/u][/b] Benutze [img]https://learningapps.org/style/fullscreenicon.png[/img] für den Vollbild-Modus)[/size]

[size=200][size=150][u][icon]/images/ggb/toolbar/mode_rotateview.png[/icon][/u] [u][b]Vertiefung:[/b][/u][br][/size][/size]Das folgende Applet hilft dir, deine Vermutungen (auch rechnerisch) zu überprüfen und eventuelle Fehlvorstellungen beim Aufstellen der Parabelgleichung auszuräumen:

Beim Modellieren von Situationen aus dem Alltag ist eine Normalparabel oft nicht sinnvoll - meist benötigt man eine schmalere oder breitere Parabel, um die Situation realitätsnah mathematisch beschreiben zu können.[br][center][img width=640,height=180]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2a/Golden_Gate_Bridge_Dec_15_2015_by_D_Ramey_Logan.jpg[/img][size=50][br]"[url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Golden_Gate_Bridge_Dec_15_2015_by_D_Ramey_Logan.jpg##]Golden Gate Bridge Dec 15 2015 by D Ramey Logan.jpg[/url] from [url=https://commons.wikimedia.org/wiki/Main_Page]Wikimedia Commons[/url] by [url=https://don.logan.com/]D Ramey Logan[/url], [url=https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.en]CC-BY 4.0[/url]"[/size][/center]

[icon]/images/ggb/toolbar/mode_showhidelabel.png[/icon][u][b]Arbeitsauftrag:[/b][/u][br]Der grüne Punkt ist der Scheitel der Parabel - der rote Punkt ein Punkt auf dieser Parabel.[br][list=1][*]Lasse dir [icon]/images/ggb/toolbar/mode_freehandshape.png[/icon]Näherungskurve / -gleichung anzeigen und bewege den roten Punkt.[/*][*]Untersuche die Auswirkungen auf Kurve und Gleichung.[/*][*]Zum Vergleich kannst du dir die Normalparabel mit Scheitel S ( 0 | 0 ) anzeigen lassen.[/*][/list]Gerne kannst du dafür auch die vorgegebenen Bespielbilder anzeigen lassen, um die Auswirkungen auf Kurve und Gleichung zu erkunden oder füge ein eigenes Bild einer Parabel im Alltag ein:[br][list=1][*] Tippe auf das Koordinatensystem und füge es über [icon]/images/ggb/toolbar/mode_image.png[/icon] ein - mache es am besten über den BUTTON oben links transparent).[/*][*]Verschiebe dein Bild so, dass der Scheitel auf dem Punkt S (dem Ursprung) liegt.[br][/*][*]Bewege anschließend den roten Punkt, um deine Parabel möglichst gut anzunähern, und lass dir die Näherungskurve / -gleichung anzeigen [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_freehandshape.png[/icon].[br][/*][/list][i][size=85]Falls du keine geeigneten Bilder finden oder fotographieren konntest, kannst du dir auch ein [url=https://www.geogebra.org/m/hzme85qv#material/ujmdamfv%20target=]Bild der Einstiegsseite[/url] speichern und auswählen.[/size][/i]

[icon]/images/ggb/toolbar/mode_rotateview.png[/icon] [b][u]Entdecker-Auftrag:[/u][/b][br]Lasse im Applet oben - unabhängig vom Hintergrundbild - den roten Punkt im Koordinatensystem wandern und beobachte dabei die Näherungsgleichung.[br]Beschreibe, welcher Zusammenhang sich zwischen dem Faktor vor x² und dem graphischen Verlauf der entsprechenden Parabel im Vergleich zur Normalparabel ergibt.

[size=200][size=150][u][icon]/images/ggb/toolbar/mode_sumcells.png[/icon][/u] [u][b]Zusammenfassung:[br][/b][/u][/size][/size]Fülle mithilfe deiner Erkenntnisse aus dem Applet den folgenden Lückentext aus:[br][size=85]([b][u]TIPP:[/u][/b] Benutze [img]https://learningapps.org/style/fullscreenicon.png[/img] für den Vollbild-Modus)[/size]

Die Normalparabel mit Scheitel S ( 0 | 0 ) und der Gleichung [math]y=x^2[/math] wurde in den vorherigen Kapiteln an der x-Achse gespiegelt, in y-Richtung gestreckt bzw. im Koordinatensystem verschoben.

[icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_showhidelabel.png[/icon] [b][u]Arbeitsauftrag:[/u][/b][br]Erkunde nun zusammenfassend die Auswirkungen der Koeffizienten [math]a[/math], [math]d[/math] und [math]e[/math] der Scheitelform der Parabelgleichung[br][math]y=a\cdot\left(x-d\right)^2+e[/math].[br]Gerne kannst du dafür auch die vorgegebenen Bilder verwenden oder ein eigenes Bild einer Parabel im Alltag einfügen (tippe auf das Koordinatensystem und füge es über [icon]/images/ggb/toolbar/mode_image.png[/icon] ein - mache es am besten über den BUTTON oben links transparent).[br][i][size=85]Falls du keine geeigneten Bilder finden oder fotographieren konntest, kannst du auch mit den beiden Beispielbildern arbeiten oder dir ein [url=https://www.geogebra.org/m/hzme85qv#material/ujmdamfv%20target=]Bild der Einstiegsseite[/url] speichern und auswählen.[/size][/i][br][br][size=85][i][b][u]ZUSATZ:[/u][/b][br]Findest du auch Sonderfälle bei den Werten der drei Parameter a, d bzw. e?[br][br][i][u][b]TIPP:[/b][/u][/i][br]Du kannst das Applet mit den beiden kreisförmig angeordneten Pfeilen wieder zurücksetzen.[/i][/size]

[quote][b][color=#674ea7][size=150][size=200][size=50][icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_pen.png[/icon][/size][br][/size][size=200]Merke:[/size][/size][/color][color=#9900ff][br][/color][/b]Jede Parabel kann in der Form [math]y=a\cdot\left(x-d\right)^2+e[/math] mit [math]a\ne0[/math] angegeben werden.[br]An dieser Form kann man den [b]Scheitelpunkt [/b][b]S ( d | e )[/b] und den [b]Streckfaktor a[/b] direkt ablesen.[br][br]Deshalb wird diese Darstellungsform einer Parabel auch als [u][b]Scheitelpunktsform[/b][/u] oder kurz: [u][b]Scheitelform[/b][/u][b] [/b]bezeichnet.[br][/quote]

[size=150][icon]/images/ggb/toolbar/mode_createtable.png[/icon] [u][b]Übung 1:[/b][/u][/size][br][color=#333333]Lies Scheitel und Streckfaktor ab bzw. ergänze die Parabelgleichung sinnvoll.[/color][br][size=85]([b][u]TIPP:[/u][/b] Benutze [img]https://learningapps.org/style/fullscreenicon.png[/img] für den Vollbild-Modus)[/size]

[size=150][icon]/images/ggb/toolbar/mode_createtable.png[/icon] [u][b]Übung 2:[/b][/u][/size][br][color=#333333]Betrachte die Parabelgleichung und wähle die entsprechenden Eigenschaften aus.[/color][br][size=85]([b][u]TIPP:[/u][/b] Benutze [img]https://learningapps.org/style/fullscreenicon.png[/img] für den Vollbild-Modus)[/size]

[size=150][icon]/images/ggb/toolbar/mode_createtable.png[/icon] [u][b]Übung 3:[/b][/u][/size][br][color=#333333]Das folgende GraspableMath-Applet hast du bereits im letzten Kapitel benutzt. Es unterstützt dich nun bei der rechnerischen Bestimmung des Streckfaktors von verschobenen Parabeln. [br][br][size=85][b][u]TIPP:[/u][/b][br]Wenn du im GraspableMath-Applet oben auf den hellen Punkt hinter den Punkten S und P tippst und "fix a mistake" wählst, kannst du die Koordinaten ändern und das Applet auf deine Aufgabe anpassen.[/size][/color]

[icon]/images/ggb/toolbar/mode_sumcells.png[/icon] [b][u]Zusammenfassende Übung:[/u][/b][br]Ein Tennisspieler schlägt den Ball ([b][color=#ff7700]•[/color][/b]) in Richtung gegnerische Hälfte. Die [u]gestrichelte Kurve[/u] zeigt den Ausschnitt einer Parabel mit der Gleichung [math]y=-0.01\cdot\left(x-6\right)^2+1.06[/math]. Sie beschreibt den Kurvenverlauf eines Tennisballes. Die x-Achse beschreibt dabei den ebenen Boden des Spielfeldes (---).

[icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_showhidelabel.png[/icon] [b][u]Arbeitsaufträge zum Tennis-Applet:[/u][/b][br][list=1][*]Betrachte die Parabelgleichung und überlege dir die Form der weiteren Flugbahn des Balles.[/*][*]Der Scheitelpunkt der Parabel liegt direkt über dem 0,914 m hohen Netz. Beschreibe, woran man nur an der Parabelgleichung erkennt , dass der Ball über das Netz ([b]|[/b]) fliegt.[/*][*]Vom Netz 6 m entfernt trifft der Tennisspieler den Ball ([b]x[/b]). Berechne die Höhe, in der der Spieler den Ball trifft.[/*][/list][br][icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_viewinfrontof.png[/icon] [b][u]Tipps:[br][/u][/b]Zu jeder Teilaufgabe kannst du dir einen CODE anzeigen lassen, der dir bei der Bearbeitung dieser Aufgabe im Applet oben weiterhilft. Versuche es zunächst immer ohne CODE!

[quote][b][color=#674ea7][size=150][size=200][size=50][icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_pen.png[/icon][/size][br][/size][size=200]Bemerkung:[/size][/size][/color][/b][size=85][list][size=100][*]Bei jeder Parabel ist der Scheitelpunkt der höchste bzw. tiefste Punkt (Hoch- bzw. Tiefpunkt).[/*][*]Jede Parabel ist symmetrisch zu der Achse (d.h. der zur y-Achse parallelen Geraden), die durch den Scheitel verläuft.[/*][*]Da die Reihenfolge der Operationen zum Verändern der Normalparabel mit S ( 0 | 0 ) wichtig ist, merke dir folgende ALPHABETISCHE Reihenfolge:[br][/*][list][*][color=#274E13][u][b]Sp[/b][/u][/color]iegelung: [br]Wurde die Parabel an der x-Achse gespiegelt? -> hat der Streckfaktor a ein negatives Vorzeichen?[/*][*][b][u][color=#274E13]St[/color][/u][/b]reckung: [br]Wurde die Parabel in y-Richtung gestreckt? -> hat der Streckfaktor betragsmäßig seinen Wert verändert?[/*][*][color=#274E13][u][b]V[/b][/u][/color]erschiebung: [br]Wurde die Parabel entlang der x-Achse verschoben? -> hat der Parameter d seinen Wert verändert?[br]Wurde die Parabel entlang der y-Achse verschoben? -> hat der Parameter e seinen Wert verändert?[/*][/list][/size][/list][/size][/quote]

Eine Parabel kann man durch eine Gleichung in Scheitelform darstellen:[center][math]y=a\cdot\left(x-d\right)^2+e[/math][/center]In dieser Darstellung kann der [i][b]Streckfaktor[/b][/i] [math]a[/math] (und damit die Form der Parabel) und die Koordinaten des höchsten bzw. tiefsten Punkt der Parabel also der [i][b]Scheitel[/b][/i] [math]S\left(d\mid e\right)[/math] abgelesen werden.[br][br]Betrachtet man die Scheitelform einer Parabelgleichung [math]y=a\cdot\left(x-d\right)^2+e[/math] mit [math]a\ne0[/math] genauer, so stellt man fest, dass in dieser Form ein [i][b][u]Binom[/u][/b][/i] zu finden ist.

[size=150][size=200][size=150][u][icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_circle3.png[/icon][/u] [u][b]Wiederholung - binomische Formeln:[/b][/u][i] THEORIE[/i][/size][/size][/size][br]Benutze das folgende kleine Applet, um dir die 1. und 2. binomische Formel wieder in Erinnerung zu rufen - du wirst sie gleich brauchen:

[size=150][u][icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_circle3.png[/icon][/u] [u][b]Wiederholung - binomische Formeln:[/b][/u][i] ÜBUNG[/i][/size][br]Fülle die Lücken aus:[br]([u][b]TIPP:[/b][/u] Benutze [img]https://learningapps.org/style/fullscreenicon.png[/img] für den Vollbild-Modus)

[size=150][icon]/images/ggb/toolbar/mode_showhidelabel.png[/icon] [b][u]Arbeitsaufträge zur Tennis-Aufgabe des letzten Kapitels:[br][/u][/b][/size]Überprüfe dein Ergebnis aus Aufgabe 3. der Tennisaufgabe, indem du die Parabelgleichung schrittweise umformst. Das folgende Applet hilft dir dabei:[br][i][b][size=85](natürlich kannst du dieses Applet für jede Umformung der Scheitelform verwenden)[/size][/b][/i]

[i][size=85]Arbeite zunächst alle Arbeitsaufträge auf dieser Seite durch. Für jede der vier Applets erhältst du Ziffern für den CODE, den du in das Basketball-Applet eingeben musst - hast du alle 6 Ziffern zusammen, kannst du die Aufgaben a)-c) von oben überprüfen lassen.[/size][/i][br]

Die [color=#ff7700]orange Kurve [/color]zeigt den Ausschnitt einer Parabel mit der Gleichung [math]y=-\frac{1}{2}\cdot x^2+2\cdot x+2[/math]. Sie beschreibt den Kurvenverlauf eines Basketballwurfes. Die x-Achse beschreibt dabei den ebenen Boden des Spielfeldes (---).

a) Überlege dir zunächst eine sinnvolle Platzierung der y-Achse.[br]b) Ermittle anhand der angegebenen Gleichung die Höhe, aus welcher Höhe wird der Basketball geworfen wird.[br]c) Überlege dir, wie man die maximale Höhe des Balles bestimmen kann.[br]__________________________________________________________________________________________________________________

Je nach Aufgabenstellung bietet sich die allgemeine Form oder Scheitelform einer Parabelgleichung an. [br]Deshalb ist es wichtig, die beiden Darstellungsformen ineinander umwandeln zu können.[br][br]Diese Aktivität soll dir helfen, die Umwandlung von der allgemeinen Form in die Scheitelform zu erkunden und zu verstehen.

[size=150][size=200][size=150][u][icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_showhidelabel.png[/icon][/u][b] [u]Arbeitsauftrag 1:[/u] [/b][i]verschobene Normalparabel in allgemeiner Form[br][/i][/size][/size][/size]Klicke die einzelnen Schritte durch und versuche nachzuvollziehen, wie man von der allgemeinen Form zur Scheitelform gelangt.[br]([b][i][color=#ff0000][size=85]hier gibt es die ersten beiden CODE-Ziffern[/size][/color][/i][/b])

[size=150][size=200][size=150][u][icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_showhidelabel.png[/icon][/u][b] [u]Arbeitsauftrag 2:[/u] [/b][i]Vertiefung[br][/i][/size][/size][/size]Der Funktionsterm ist leicht verändert - der Streckfaktor ist nun [math]a\ne1[/math] und der Scheitel liegt nun unterhalb der x-Achse.[br]Finde heraus, wie sich ein veränderter Streckfaktor und ein negativer y-Achsenabschnitt auf deine Vorgehensweise aus Auftrag 1 auswirkt.[br]Klicke die einzelnen Schritte durch und versuche nun schneller nachzuvollziehen, wie man von der allgemeinen Form zur Scheitelform gelangt.[br]([b][i][color=#ff0000][size=85]hier gibt es die dritte CODE-Ziffer[/size][/color][/i][/b])

[icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_sumcells.png[/icon] [u][b]Zusammenfassung:[/b][/u][br]Bringe die einzelnen Schritte in die richtige Reihenfolge - wiederhole dabei die wichtigsten Punkte der Umformung. [br]([b][i][color=#ff0000][size=85]hier gibt es die vierte und fünfte CODE-Ziffer[/size][/color][/i][/b])[br][size=85]([b][u]TIPP:[/u][/b] Benutze [img]https://learningapps.org/style/fullscreenicon.png[/img] für den Vollbild-Modus)[/size]

[icon]/images/ggb/toolbar/mode_rotateview.png[/icon] [b][u]Entdecken:[/u][/b][br][list=1][*]Versuche nun selbst mit der angegebenen Parabelgleichung in der allgemeinen Form die x-Koordinate des Scheitels zu bestimmen. Deine Rechenschritte und Überlegungen kannst du mit ▢ [color=#274e13]weiter -> [/color]überprüfen.[/*][*]Betätige zunächst NICHT den Button im Applet, sondern führe nun die einzelnen Schritte mit einer Parabel in der allgemeinen Form durch:[br][center][math]y=a\cdot x^2+b\cdot x+c[/math] mit [math]a\ne0[/math][/center]Findest du eine Formel zur Ermittlung des x-Wertes des Scheitels?[/*][*]Betätige den Button am Ende des Applets und vollziehe die einzelnen Rechenschritte nach.[/*][*]Wende abschließend die gefundene Formel zur Bestimmung des x-Wertes des Scheitels auf die Basketball-Einstiegsaufgabe an - bestimme die Koordinaten des Scheitels der Basketball-Wurf-Parabel.[/*][/list]([b][i][color=#ff0000][size=85]hier gibt es die sechste und letzte CODE-Ziffer[/size][/color][/i][/b])

[icon]/images/ggb/toolbar/mode_keepinput.png[/icon] Du hast nun alle [b][color=#ff0000]6 Ziffern des CODES[/color][/b] gefunden und die Koordinaten des höchsten Punktes der Basketball-Kurve mithilfe der vorgestellten Vorgehensweise oder der Formel bestimmt?[br][br]Dann gehe [url=https://www.geogebra.org/m/hzme85qv#top#material/bgfwtnb4]nach oben[/url], gib den [b][color=#ff0000]CODE [/color][/b]im Basketball-Applet ein und überprüfe dein Ergebnis graphisch!

Im Laufe der Einheit hast du drei unterschiedliche Darstellungsformen für ein und dieselbe Parabel kennengelernt und auch schon teilweise erfahren, wie man diese Darstellungen ineinander umwandelt.[br][br][icon]/images/ggb/toolbar/mode_showhidelabel.png[/icon] [u][b]Arbeitsauftrag:[/b][/u][br]Die Abbildung zeigt einen Turmspringer, der - durch eine besondere Badekappe geschützt - in die Tiefe springt.[br]Alle drei angegebenen Gleichungen beschreiben dieselbe Parabel, die man gestrichelt in der Abbildung sieht.[br]Überlege dir die Bedeutung der einzelnen Parameter in den Gleichungen und beantworte die Fragen.[br][br][size=85][b][i][u]ZUSATZ:[/u][/i][/b][br]Die angegebenen Gleichungen gelten für alle reellen x-Werte - für diese Anwendungsaufgabe ist nur ein Teil der reellen Zahlen sinnvoll ... wir wollen ja nicht, dass der Springer rückwärts auf der Parabel vom Sprungturm fliegt! Gib das Intervall der x-Werte an, die für diese Aufgabenstellung geeignet sind.[/size]

[quote][b][color=#674ea7][size=150][size=200][size=50][icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_pen.png[/icon][/size][br][/size][size=200]Merke:[br][/size][/size][/color][/b]Parabeln können durch drei unterschiedliche aber äquivalente Formen dargestellt werden:[br][br]1) Scheitelform [math]y=a\cdot\left(x-d\right)^2+e[/math] mit Streckfaktor [math]a[/math] und Scheitel [math]S\left(d\mid e\right)[/math].[br][br]2) allgemeine Form: [math]y=a\cdot x^2+b\cdot x+c[/math] mit Streckfaktor [math]a[/math] und y-Achsenabschnitt [math]c[/math].[br][br]3) Produktform / Linearfaktordarstellung: [math]y=a\cdot\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)[/math] mit Streckfaktor [math]a[/math] und Schnittstellen mit der x-Achse [math]x=x_1[/math] und [math]x=x_2[/math].[/quote]

[icon]/images/ggb/toolbar/mode_showhidelabel.png[/icon] [u][size=150][b]Arbeitsauftrag:[/b][/size][/u][br]Ordne je drei Kärtchen den drei Feldern zu.[br][size=85]([u][b]TIPP:[/b][/u] Benutze [img]https://learningapps.org/style/fullscreenicon.png[/img] für den Vollbild-Modus)[/size]

[size=150][icon]/images/ggb/toolbar/mode_sumcells.png[/icon] [b][u]Zusammenfassung 1:[/u][/b][/size][br]Das folgende Applet fasst die verschiedenen Darstellungsformen zusammen.

[size=150][icon]/images/ggb/toolbar/mode_sumcells.png[/icon] [b][u]Zusammenfassung 2:[/u][/b][/size][br]Das folgende Applet gibt dir einen Überblick über die erarbeiteten Themen aus diesem Buch.

[left][size=150][icon]/images/ggb/toolbar/mode_viewinfrontof.png[/icon] [b][u]Ausblick:[/u][/b][/size][br]Für die Umwandlung in die Produktform (die beiden [color=#38761d]grünen Pfeile →[/color]) fehlt allerdings noch das Thema "Schnittstellen mit der x-Achse berechnen". [/left][justify]Es schließt sich direkt an dieses Kapitel an und beinhaltet eine der wichtigsten Formeln der Mittelstufe:[br][i][/i][/justify][left][i]Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen oder auch "[color=#ff0000]a[/color][color=#0000ff]bc[/color]-Formel" (angelehnt an die Koeffizienten der allge[/i]meinen Form).[/left]

[icon]/images/ggb/toolbar/mode_text.png[/icon] [b][u][size=150]UMFRAGE:[/size][/u][/b][br]Bitte nimm dir Zeit für eine kurze Umfrage zu diesem Buch - sie erfolgt anonym:[br][center][url=https://minnit-bw.de/quiz/DY2J20][img width=200,height=120]https://www.lmz-bw.de/fileadmin/user_upload/Bilder/Logos/minnit-logo.jpg[/img][/url][/center]Gerne kannst du dich auch an deine/n Lehrer/in wenden, wenn du Rückmeldungen geben möchtest.