Polardarstellung und Exponentialfunktion komplexer Zahlen
Dieses Material basiert thematisch und inhaltlich auf dem Skript zum iMPACt+ - Schülerarbeitsheft. Bei iMPACt handelt es sich um ein Projekt der RWTH und der FH Aachen, bei dem ein Kursmodell angeboten wird, mithilfe dessen Themen der "Hochschul-Mathematik" bereits in der Oberstufe im Rahmen sog. "MathePlus"-Kurse behandelt werden können. Die hier aufgegriffenen Inhalte orientieren sich an Kapitel 7 und 8 (Anfang) des Abschnitts "Komplexe Zahlen" (ca. S 421 - 428, Version 2018). [b]Bearbeitungshinweise[/b] Bearbeiten Sie das Material allerdings, [b][color=#c51414]ohne Ihr Skript[/color][/b] zu nutzen, bzw. nutzen Sie es nur zum Nachschlagen des vorherigen Stoffes. Eine Bearbeitung mit Nachlesen in den oben genannten Kapiteln ist [i]nicht[/i] sinnvoll. Nutzen Sie außerdem nur so viele [b][color=#c51414]Hilfen[/color] wie nötig, [i]nicht[/i] so viele wie möglich[/b]! Die [b][color=#c51414]Zeiteinschätzungen[/color][/b] zu Beginn der Kapitel können Ihnen dabei helfen zu entscheiden, wie intensiv Sie auf die Hilfen zurückgreifen müssen. Um nach Bearbeitung eines ganzen Abschnitts Ihre Ergebnisse zu überprüfen können Sie dann selbstverständlich alle Hilfen verwenden. Das Material ist für die Nutzung an [b]PCs oder Laptops[/b] erstellt worden. Die Durchführung mit einem Smartphone wird durch die Verwendung des Vollbild Modus verbessert, ist aber nicht optimal. [b]Inhalt und Motivation[/b] In diesem Material geht es um die Darstellung von komplexen Zahlen mithilfe von Polarkoordinaten und um die Verallgemeinerung der Exponentialfunktion auf komplexe Zahlen. Sie sollten bereits die Darstellung [math]z = a+ bi[/math], mit Realteil [math]\mathrm{Re}(z) = a[/math] und Imaginärteil [math]\mathrm{Im}(z) = b[/math] von komplexen Zahlen kennen und damit sicher rechnen können. Außerdem sollten Sie bereits die Polardarstellung von Punkten in [math]\mathbb{R}^2[/math] kennen. Um auch in dieser Darstellung praktisch und gut arbeiten zu können, müssen Sie außerdem einige grundlegende Rechenregeln von Sinus und Cosinus beherrschen. Falls Sie die oben genannten Aspekte zwar kennen, aber eine kleine Auffrischung möchten, können Sie sich Kapitel "0" anschauen. Wenn Sie meinen, Sie brauchen eine solche Wiederholung nicht, können Sie direkt mit Kapitel 1 starten. Sie könnten sich nun natürlich fragen, wieso man die Darstellungsweisen von komplexen Zahlen überhaupt abändern sollte. Als Hilfsmittel zur Lösung von Polynomgleichungen ohne Nullstellen in [math]\mathbb{R}[/math] funktionieren sie schließlich auch so! Als Motivation kann zum einen die Tatsache dienen, dass die Formulierung von Vektoren in [math]\mathbb{R}^2[/math] mithilfe von Polarkoordinaten ebenfalls nützlich war bzw. ist, um bestimmte Probleme leichter zu lösen. Für die physikalisch und technisch Interessierten unter Ihnen: Man geht in diesen Gebieten sogar oft so weit, dass man das genutzte Koordinatensystem (Polarkoordinaten sind da nicht die einzige Möglichkeit) gezielt den Symmetrien anpasst, die eine Problemstellung aufweist. Zum anderen kann man die komplexe Exponentialfunktion, die man mithilfe der Polardarstellung definiert und interpretiert, nutzen, um sich zum einen viele (sehr viele) Rechnungen deutlich zu erleichtern und zum anderen um neue Probleme lösen zu können (z. B. Schwingungsgleichungen). [b]Zeiteinschätzung für das Gesamtmaterial:[/b] 30 - 45 Minuten (ohne Selbsttest) [b]Literatur[/b] Cramer, E., Heitzer, J., Helmin, K., Henn, G., Mittler, K., Polaczek, C., Walcher, S., Wittich, O. & Zimmermann, M. (2018) [i]iMPACT+ Schülerarbeitsheft Grundlagenkurs Folgen und Reihen Komplexe Zahlen[/i] (Version 2018). (nicht gedruckt).
Table of Contents
- Kapitel 0 - Wiederholung wichtiger Aspekte
- 0.1 Grundlegendes Rechnen mit Komplexen Zahlen
- 0.2 Anschauliche Addition zweier komplexer Zahlen
- 0.3 Rechnen mit Sinus und Cosinus
- 0.4 Darstellung von Punkten mit Polarkoordinaten
- Kapitel 1 - Komplexe Zahlen in Polardarstellung
- 1.1 Anschauliche Übertragung der Polarkoordinaten
- 1.2 Mathematische Übertragung der Polarkoordinaten
- Kapitel 2 - Multiplikation zweier komplexer Zahlen in Polardarstellung
- 2.1 Anschauung der Multiplikation zweier komplexer Zahlen
- 2.2 Rechnerische Multiplikation zweier komplexer Zahlen in Polardarstellung
- 2.3 Multiplikation von komplexen Zahlen als Abbildung
- Kapitel 3 - Die komplexe Exponentialfunktion
- 3.1 Definition der komplexen Exponentialfunktion und ihre Funktionalgleichung
- 3.2 Verschiedene Formen der Komplexen Zahlen
- 3.3 Für Schnelle: Sinus und Cosinus abschaffen
- Optionaler Selbsttest
- Selbsttest
- Illustration zum Selbsttets
- Lösungsvorschlag zum Selbsttest
0.1 Grundlegendes Rechnen mit Komplexen Zahlen
Um mit komplexen Zahlen effizient rechnen zu können ist die Darstellung als Tupel von Real- und Imaginärteil, d. h. [math]z=(a,b)=(\mathrm{Re}(z),\mathrm{Im}(z))[/math] eher unpkratisch. Deutlich angenehmer ist es die imaginäre Einheit [math]i[/math] zu verwenden und komplexe Zahlen als [math]z=a+bi[/math] zu schreiben. Dann kann man mit komplexen Zahlen ganz "normal" Rechnen, wenn man die Eigenschaft [math]i^2=-1[/math] der imaginären Einheit beachtet. [br]Es folgt eine kleine Übersicht von möglichen Rechenoperationen mit komplexen Zahlen:
Addition und Subtraktion
[math]z_1\pm z_2=a\pm bi\pm\left(c+di\right)=a\pm c+\left(b\pm d\right)i[/math]
Komplexe Konjugation
[math]\overline{z}=\overline{a+bi}:=a-bi[/math]
Multiplikation
[math]z_1\cdot z_2=\left(a+bi\right)\cdot\left(c+di\right)=ac+bci+adi+i^2bd=ac-bd+\left(ad+bc\right)i[/math]
Betrag
[math]|z|=\sqrt{z\cdot\overline{z}}=\sqrt{\left(a+bi\right)\cdot\left(a-bi\right)}=\sqrt{a^2-\left(i^2b^2\right)}=\sqrt{a^2-\left(-b^2\right)}=\sqrt{a^2+b^2}[/math]
1.1 Anschauliche Übertragung der Polarkoordinaten
Arbeitsauftrag 1.1
Die folgende Darstellung soll Ihnen die Übertragung ihrer Kenntnisse der Polarkoordinaten in [math]\mathbb{R}^2[/math] in die komplexe Ebene [math]\mathbb{C}[/math] erleichtern. [br][br][b]Gehen Sie dazu wie folgt vor:[/b][br][list=1][*]Erinnern Sie sich zunächst zurück, wo Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl in der Ebene zu finden sind und halten Sie Ihr Ergebnis in einer kleinen Skizze fest.[/*][*]Überprüfen Sie Ihr Ergebnis durch Setzen des entsprechenden Hakens.[/*][*]Erinnern Sie sich nun zurück, wo Radius und Winkel in [math]\mathbb{R}^2[/math] zu finden waren und übertragen Sie dies auf die komplexe Ebene. Halten Sie Ihre Vermutung wieder in einer kleinen Skizze fest.[/*][*]Überprüfen Sie Ihr Ergebnis durch Setzen des zweiten Hakens.[br][/*][/list]
2.1 Anschauung der Multiplikation zweier komplexer Zahlen
Probieren Sie mithilfe der Anwendung unten aus, wie sich das Produkt [math]z_3=z_1z_2[/math] bei Änderung von [math]z_1[/math] und [math]z_2[/math] verhält. Als Hilfsmittel sind bereits die Argumente und Beträge von [math]z_1[/math] und [math]z_2[/math] eingezeichnet. Aufgrund der Ähnlichkeit zu den Polarkoordinaten in [math]\mathbb{R}^2[/math] werden diese auch häufig mit [math]\varphi_1[/math] (bzw. [math]\varphi_2[/math]) und [math]r_1[/math] (bzw. [math]r_2[/math]) bezeichnet und man spricht häufig von "Winkel" und "Radius" statt Argument und Betrag. [br][br]Sie können [math]z_1[/math] und [math]z_2[/math] mit der Maus bewegen. Das Produkt [math]z_3=z_1z_2[/math] verändert sich dann automatisch.[br]Winkel und Radius von [math]z_3[/math] sind in der Grafik aus Übersichtsgründen nicht mehr eingezeichnet. Sie finden sie in der Tabelle rechts. In dieser Tabelle können Sie außerdem auch weitere Berechnung anstellen (analog zu Excel, z. B. "=B2+B3" in ein leeres Feld tippen für die Winkelsumme) müssen Sie aber nicht.
Arbeitsauftrag 2.1
Geben Sieeine [b]Formeln für [math]\varphi_3[/math] und [math]r_3[/math] in Abhängigkeit von [math]\varphi_1,\varphi_2,r_1[/math] und [math]r_2[/math] [/b]auf Basis Ihrer Beobachtungen an. Diese Formel muss hier (noch) nicht formal bewiesen werden. [br][i]Hinweis: [/i][b][color=#cc0000]Hilfekasten am Seitenende![/color][/b] Wenn sie hier keine Idee, können Sie zu Abschnitt 2.2 weitergehen.[/color][/color]
3.1 Definition der komplexen Exponentialfunktion und ihre Funktionalgleichung
Definition (iMPACt Skript 2018, S. 428)
[size=150]Die [b]komplexe Exponentialfunktion[/b] [math] e^z [/math] wird wie folgt definiert: [br]Für [math] z=x+iy [/math] mit rellen [math]x [/math] und [math] y [/math] setzt man [br][math]e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)=e^x\cos y+i\left(e^x\sin y\right)[/math] .[br][/size]
Wieso so und nicht anders?
Bei der obigen Gleichung handelt es sich um eine [i]Definition. [/i]Eine Definition ist für sich zunächst einmal weder richtig noch falsch. Insofern kann man diese Definition nicht als "falsch" oder "richtig" bezeichnen. Genauso könnte man sagen, eine Funktion [math]f\left(x\right):=x^2[/math] zu definieren, sei "falsch" oder "richtig". Aber was soll daran falsch sein? Genauso weist man oben zunächst einmal einfach der Bezeichnung oder dem Objekt [math]e^z[/math] eine Bedeutung zu.[br][br]Definitionen müssen allerdings mit [i]allen bisherigen Definitionen zum selben Objekt [/i]verträglich sein. Das heißt, wenn man zuerst festlegt, dass [math]f\left(1\right)=2[/math] sein soll, kann man anschließend nicht mehr [math]f\left(x\right):=x^2[/math] festlegen ohne die erste Definition zu verwerfen.[br][br]In diesem Fall bedeutet das, die erweiterte Definition der Exponentialfunktion muss für reelle Zahlen, d. h. mit den obigen Bezeichnungen [math]y=0[/math] mit der gewohnten Exponentialfunktion übereinstimmen. Das tut sie wegen [math]\cos\left(0\right)=1,\sin\left(0\right)=0[/math] offenbar. Es gäbe aber natürlich noch andere Möglichkeiten, die dies erfüllen. [br][br]Warum sollte man sie also nicht anders definieren? Bearbeiten Sie dazu die beiden folgenden Arbeitsaufträge.
Arbeitsauftrag 3.1
[list=a][*][b]Berechnen [/b]Sie Real und Imaginärteil von[b] [math]e^{2+\pi i}[/math] [/b]und[b] [math]e^{2i+\pi}[/math].[/b][br][/*][*]Die komplexe Exponentialfunktion soll die aus den rellen Zahlen gewohnte[b] wichtige Eigenschaft [/b][math]e^{z+w}=e^ze^w[/math] auch für komplexe Zahlen [math]z[/math][b] [/b]und[b] [/b][math]w[/math] erfüllen. [b]Rechnen Sie nach,[/b] dass die obige Definition dies erfüllt.[/*][*]Gleichzeitig bietet die komplexe Exponentialfunktion eine neue Möglichkeit komplexe Zahlen zu schreiben:[br][math]z=|z|\cdot\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)=|z|\cdot e^{i\varphi}[/math][br][b]Rechnen [/b]Sie auch dies nach.[/*][*][b]Begründen Sie, [/b]wieso aus Ihrer Sicht diese Definition für die komplexe Expomentialfunktion sinnvoll ist (oder nicht).[b] [/b][i](wenige, kurze Stichpunkte genügen)[/i][br][/*][/list][br][i]Hinweis[/i]: [b][color=#cc0000]Hilfekasten zu Aufg. 3.1b)[/color][/b]
Selbsttest
Sie finden eine Darstellung zum Selbstest Aufgabe 3 im nächsten Abschnitt und einen Lösungsvorschlag im letzten Abschnitt.
Selbsttest