[table][tr][td][url=https://www.geogebra.org/m/y9cj4aqt#material/qdpsaa6v][img]data:image/png;base64,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[/img][/url][/td][td] [size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000][b]geogebra-books[/b][/color] [br] [color=#0000ff][u][b][/b][/u][/color][url=https://www.geogebra.org/m/nzfg796n][color=#0000ff][u][b]Elliptische Funktionen & Bizirkulare Quartiken & ...[/b][/u][/color][/url] ([color=#ff7700][i][b]22.06.2023[/b][/i][/color])[/size][/td][/tr][/table]

[size=85]Im [b][i]Geradenraum[/i][/b] [math]\mathbf\mathcal{G}[/math] - also in der [b]LIE[/b]-Algebra der [b][i][color=#0000ff]Möbiusgruppe[/color][/i][/b] [b]SO(3,ℂ)[/b] - liege eine [b][color=#cc0000]2[/color][/b].-te [b][i][color=#9900ff]symmetrische Bilinearform[/color][/i][/b] vor, [br]gegeben durch eine selbstadjungierte komplex-lineare Abbildung [math]\mathbf{S}[/math] mit [math]\mathbf\vec{g}_1\bullet \mathbf{S}\mathbf\vec{g}_2=\left(\mathbf{S}\mathbf\vec{g}_1\right)\bullet\mathbf\vec{g}_2[/math]. [br]Damit ist eine [b][color=#cc0000]2[/color][/b]. te quadratische Form [math]\mathbf{qu_S}[/math] und neben der [b][i][color=#0000ff]Möbiusquadrik[/color][/i][/b] [b][color=#0000ff]Q[sub]M[/sub][/color][/b] eine [b][color=#cc0000]2[/color][/b]. Quadrik [math] \mathbf{Q_S}[/math] verbunden.[br]Die beiden [b][i][color=#ff00ff]Quadriken[/color][/i][/b] schneiden sich in [b][color=#cc0000]4[/color][/b] - möglicherweise zusammenfallenden - SCHNITTPUNKTEN, die wir [br]im Vorangegangenen als [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] bezeichnet hatten.[br]Die Charakterisierung der möglichen Fälle ist einfach, da keine Fallunterscheidungen zwischen reellen und nicht-reellen Nullstellen nötig sind:[br][list][*]4 verschiedene SCHNITTPUNKTE[/*][list][*]absolute Invariante [math]\mathbf\cal{J}[/math] der 4 PUNKTE nicht reell[/*][*]absolute Invariante [math]\mathbf\cal{J}[/math] reell: [math]\mbox{ *** }\mathbf\cal{J}>0, \mbox{ *** } \mathbf\cal{J} < 0[/math] und die Sonderfälle: [math]\mathbf\cal{J} = 0,\mbox{ *** }\mathbf\cal{J} = -1[/math][/*][/list][*]2 einfache SCHNITTPUNKTE und ein doppelter, also ein BERÜHRPUNKT ([b][i][color=#ff7700][/color][color=#38761d][size=50]konfokale[/size][/color][color=#ff7700][size=50] Mittelpunktskegelschnitte[/size][/color][/i][/b])[/*][*]2 doppelt zählende SCHNITTPUNKTE ([b][i][color=#ff0000][size=50]elliptisch/hyperbolisches Kreisbüschel[/size][/color][/i][/b])[/*][*]1 einfacher und ein 3-facher SCHNITTPUNKT ([b][i][color=#38761d][/color][size=50][color=#38761d]konfokale[/color][color=#ff7700] Parabeln[/color][/size][color=#ff7700][/color][/i][/b])[/*][*]ein vierfach-zählender BERÜHRPUNKT ([b][i][color=#ff0000][/color][/i][/b][size=50][b][i][color=#ff0000]parabolisches Kreisbüschel[/color][/i][/b][/size])[/*][/list]Man bewege Sie die PUNKTE im Applet.[/size]

[size=85]Es sei [math]\mathbf\mathit{S}:\mathbf\mathcal{G}\longrightarrow \mathbf\mathcal{G}[/math] eine selbstadjungierte Abbildung mit [math]\mathbf{Spur}\left(\mathbf\mathit{S}\right)=0[/math].[br]Das charakteristische Polynom [math]p_\mathbf\mathit{S}(z)=z^3+g_2\,z-g_3[/math] bedeutet für [math]\mathbf\mathit{S}[/math]: [math]\mathbf\mathit{S}\,^3=g_3\cdot \mathbf{Id}-g_2\cdot\mathbf\mathit{S}[/math]. [br]Wir suchen "Wurzeln" von [math]\mathbf\mathit{S}[/math]. Damit ist folgendes gemeint: Die Schar [math]\mathbf\mathit{S}-\lambda\cdot\mathbf{Id},\;\lambda\in\mathbb{C}[/math] stimmt auf der [b][i][color=#0000ff]Möbiusquadrik[/color][/i][/b] [br]in [math]\mathbf\mathcal{G}[/math] mit [math]\mathbf\mathit{S}[/math] überein. [br]Als [i][b]Wurzel[/b][/i] von [math]\mathbf\mathit{S}[/math] bezeichnen wir eine selbstadjungierte Abbildung [math]\mathbf\mathit{T}[/math] mit [math]\mathbf\mathit{T}\,^2 = \mathbf\mathit{S}-\lambda\cdot\mathbf{Id} [/math]. [br]Auflösung der Suche:[br][list][*]Die Schar [math]\mathbf\mathit{S}_\lambda :=\mathbf\mathit{S}\,^2+\lambda\cdot\mathbf\mathit{S}+\frac{g_2-\lambda^2}{2}\cdot\mathbf{Id}[/math], [math]\lambda\in \mathbb{R}\mbox{ oder }\lambda\in\mathbb{C}[/math][/*][/list]besteht aus allen Wurzeln von [math]\mathbf\mathit{S}[/math]. [br]Man kann nachrechnen, dass [math]\mathbf\mathit{S}_\lambda\,^2=-p_\mathbf\mathit{S}\left(\lambda\right)\cdot\mathbf\mathit{S}+q(\lambda)\cdot\mathbf{Id}[/math] mit [math]q(\lambda)=2\lambda \,g_3+\left(\frac{g_2-\lambda^2}{2}\right)^2[/math] gilt.[br][/size][size=85]Welche [b][i][color=#0000ff]geometrische Bedeutung[/color][/i][/b] diese einem quadratischen Vektorfeld zugeordneten komplexen Quadrikscharen für den Fall [br]besitzen, dass die absolute Invariante [i][b]nicht-reell[/b][/i] ist, können wir nicht beantworten.[/size][br][size=85][i][b]Aber: [/b][/i] [/size] [br]I[size=85]st die [i][b]absolute Invariante eines quadratischen Vektorfeldes reell[/b][/i], dann gelten folgende Aussagen:[br][list][*]Bei geeigneter Normierung besitzt [math]\mathbf{S}[/math] in einer geeigneten Basis eine reelle Matrix.[br][/*][*]Es existiert mindestens eine Spiegelung [math]\mathbf{K}[/math], welche das Vektorfeld invariant läßt. [/*][*][math]\mathbf{K}[/math] ist mit der zugehörigen selbstadjungierten Abbildung [math]\mathbf\mathit{S}[/math] vertauschbar. [br][/*][*]Die Schar [b][i][color=#9900ff]hermitescher Abbildungen[/color][/i][/b] [math]\mathbf\mathit{H}_{\lambda}=\mathbf{K}\cdot\mathbf\mathit{S}_{\lambda},\;\lambda\in \mathbb{R}[/math] sind die [i][b]HERMITEschen Wurzeln[/b][/i] von [math]\mathbf\mathit{S}[/math].[/*][*]Die [b][i][color=#38761d]konfokalen[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff7700]bizirkularen Quartiken[/color][/i][/b] [math] \mathbf\mathit{H}_\lambda\,\mathbf\vec{p}\left(z\right)\bullet\mathbf\vec{p}\left(z\right)=0[/math] sind [b][i][color=#9900ff]Integralkurven[/color][/i][/b] des [b][i]quadratischen Vektorfeldes[/i][/b]. [br] [/*][/list][/size]

[size=85]Eine reell-lineare Abbildung [math]\mathbf{H}:\mathbf\mathcal{G}\longrightarrow \mathbf\mathcal{G}[/math] heißt [b]HERMITE[/b]sch, wenn folgende Eigenschaften gelten:[br][/size][list][*][math]\mathbf{H}\circ i=-i\circ \mathbf{H}[/math][br][/*][*][size=85][math]\mathbf{H}\mathbf\vec{g}\bullet \mathbf\vec{\tilde g}=\overline{\mathbf\vec{g}\bullet \mathbf{H}\mathbf\vec{\tilde g}}[/math] für alle [math]\mathbf\vec{g},\mathbf\vec{\tilde g}\in \mathbf\mathcal{G}[/math][br][/size][/*][/list][size=85]Das Quadrat [math]\mathbf{H}^2[/math] einer HERMITEschen Abbildung ist eine selbstadjungierte komplex-lineare Abbildung.[br]Existiert zu einer [size=85]selbstadjungierten komplex-linearen Abbildung[/size] [math]\mathbf{S}[/math] eine HERMITEsche Abbildung [math]\mathbf{H}[/math] mit [math]\mathbf{H}^2=\mathbf{S}[/math],[br]so nennen wir [math]\mathbf{H}[/math] eine [b]HERMITE[/b]sche Wurzel von [math]\mathbf{S}[/math].[/size]

[size=85]Ist [math]\mathbf\vec{g}\in \large\mathbf\mathcal{G}[/math] irgendein Geradenvektor, so wird durch[/size][list][*][math] \mathbf\vec{g}\bullet\mathbf\vec{p}=1[/math] f[size=85]ür alle Berührgeradenvektoren[/size] [math] \mathbf\vec{p}\in \mathbf\mathcal{G} \mbox{ mit } \mathbf\vec{p}^2=0\mbox{ und } \mathbf\vec{p}^2\bullet \mathbf\vec{g}\ne 0[/math] [/*][/list][size=85]auf der [b][i][color=#0000ff]Möbiusquadrik[/color][/i][/b] ein [b]lineares Vektorfeld[/b] erklärt. [br]Je nach dem Typ von [math]\mathbf\vec{g}[/math] besitzen diese Vektorfelder eine oder zwei Nullstellen. [br]Die Nullstellen sind die Pole der "Infinitesimalen Bewegung" [math]\mathbf\vec{g}[/math]. [br]Gesucht sind die [i][b][color=#9900ff]Lösungskurven[/color] (Integralkurven)[/b][/i] dieser linearen Vektorfelder.[/size][br][size=85][i][b][color=#9900ff]Lösungskurven[/color][/b][/i][/size][size=85] sind die Bahnkurven von [b][i][color=#0000ff]W-Bewegungen[/color][/i][/b][/size][br][list][*][math]\mathbf{exp}(\; t\cdot \mathbf\vec{g}) := \sum_{n=0}^\infty\frac{t^n}{n!}\left(\mathbf{ad}\; \mathbf\vec{g}\right)^n[/math]  [size=85]mit[/size] [math] \mathbf{ad}\; \mathbf\vec{g}[/math][size=85], erklärt durch[/size] [br] [math] \mathbf{ad}\; \mathbf\vec{g}\left(\mathbf\vec{h}\right) :=\left[\,\mathbf\vec{g}\,,\mathbf\vec{h}\,\right]\mbox{ für alle }\mathbf\vec{h}\in\mathbf\mathcal{G}[/math], [math]t\in\mathbb{R}[/math] [size=85]oder[/size] [math]t\in\mathbb{C}[/math][/*][/list][size=85]Die [/size][size=85][i][b][color=#9900ff]Lösungskurven[/color][/b][/i][/size][size=85] sind [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] eines [b][i][color=#ff0000]Kreisbüschels[/color][/i][/b] oder [b][i][color=#cc0000]Isogonaltrajektorien[/color][/i][/b] dieser [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] zu fixem Winkel. [/size][br] [size=85]siehe [/size][math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/XvXRJp4x][size=85][b][u][color=#980000]geogebrabook[/color][/u][i][u][color=#0000ff] Möbiusebene/Lineare Vektorfelder[/color][/u][/i][/b][/size][/url]

[size=85]Ist [math]\mathbf S[/math] eine selbstadjungierte komplex-lineare Abbildung in [math]\mathbf\mathcal{G}[/math] [/size][size=85]wie oben, so wird durch[br][/size][list][*][size=85] [math] \mathbf{S\, \vec{p}\bullet\mathbf\vec{p}=1[/math] f[size=85]ür alle Berührgeradenvektoren[/size] [math] \mathbf\vec{p}\in \mathbf\mathcal{G} \mbox{ : } \mathbf\vec{p}^2=0[/math][br][/size][/*][/list][size=85]ein [b][i]quadratisches Vektorfeld[/i][/b] erklärt.[br]Die Suche nach einer analytischen Lösungsfunktion [math]z\mapsto g\left(z\right)[/math] führt für Berührgeraden [math]\frac{1}{g'(z)}\cdot \mathbf\vec{p}(g(z))[/math][br]auf die [b][i][color=#9900ff]elliptische Differentialgleichung[/color][/i][/b][list][*][math]1= \frac{1}{(g'(z))^2}\mathbf{S\, \vec{p}}(g(z))\bullet\mathbf\vec{p}(g(z))=\frac{1}{(g'(z))^2}\left(g\left(z\right)-f_1\right)\cdot\left(g\left(z\right)-f_2\right)\cdot\left(g\left(z\right)-f_3\right)\cdot\left(g\left(z\right)-f_4\right)[/math][/*][/list]wobei [math]f_1,f_2,f_3,f_4[/math] in [math]\mathbb{C}\cup\{\infty\}[/math] die Repräsentanten der [b][i][color=#ff0000]Nullstellen[/color][/i][/b] der qudratischen Form [math]\mathbf S[/math] sind.[/size]