Im Folgenden werden alle Rechnungen an Hand von drei Variablen erläutert. Die Verfahren lassen sich aber auch auf Gleichungssysteme mit mehr als drei Variablen anwenden

Betrachten Sie das Gleichungssystem [br][math]\begin{array}{rrrr}[br]x +&y+&z =& 6\\[br]&5y-&2z =& 4\\[br]&&3z =& 9[br] \end{array}[/math][br]Dieses Gleichungssystem hat eine sogenannte Dreiecksform, das ist auch in der erweiterten Koeffizientenmatrix sehr schön zu sehen:[br][math]\left(\begin{array}{rrr|r}[br]1&1&1& 6\\[br]0&5&-2& 4\\[br]0&0&3& 9[br] \end{array}\right)[/math][br]Hier bilden die Koeffizienten, die nicht Null sind, ein Dreieck.[br][br]Dieses Gleichungssystem ist besonders einfach zu lösen: Berechnen Sie erst die Variable [math]z[/math], dann setzen Sie dieses [math]z[/math] in die zweite Gleichung ein und berechnen [math]y[/math]. Danach verwenden Sie die berechneten Werte für [math]z[/math] und [math]y[/math], um mit der ersten Gleichung das [math]x[/math] auszurrechnen.

Wenn es uns also gelingt, beliebige Gleichungssysteme in eine Dreiecksform zu bringen, dann ist die Lösung ganz einfach. Glücklicherweise lässt sich fast jedes Gleichungssystem in eine Dreiecksform bringen. Das macht man mit dem sogenannten [color=#980000][b]Gauß-Algorithmus[/b][/color].

Das Ziel des Gauß-Algorithmus ist, ein beliebiges Gleichungssystem in ein Dreieckssystem zu überführen. Um dabei etwas weniger Schreibarbeit zu haben, werden wir nun grundsätzlich alle Gleichungssysteme in Form einer erweiterten Koeffizientenmatrix schreiben. Das heißt wir schreiben zum Beispiel[br]das Gleichungssystem [math]\begin{array}{rrrr} [br]2 \cdot x +& 2\cdot y +&4\cdot z =& -6\\[br]-2\cdot x+&3\cdot y-&3\cdot z=&21\\[br]4\cdot x +& y -& 4\cdot z =& 36[br]\end{array} [/math][br]als Koeffizientenmatrix [math]\left( \begin{array}{ccc|c} [br]2&2&4&-6\\-2&3&-3&21\\4&1&-4&36[br]\end{array}[br]\right)[/math][br]Da wir die Gleichungen im Weiteren verändern werden, ist es gut, den drei Gleichungen Namen zu geben, zum Beispiel [math]A[/math], [math]B[/math] und [math]C[/math]:[br][br][math][br]\begin{array}{c}[br]A\\B\\C[br]\end{array}[br][br]\left( \begin{array}{ccc|c} [br]2&2&4&-6\\-2&3&-3&21\\4&1&-4&36[br]\end{array}[br]\right)[br][/math]

[color=#980000][b]G1:[/b][/color] Eine Gleichung (d.h. eine Zeile in der Koeffizientenmatrix) darf mit einer Zahl multipliziert oder durch eine Zahl geteilt werden [br][color=#980000][b]G2:[/b][/color] Eine Gleichung darf zu einer anderen addiert oder subtrahiert werden[br][color=#980000][b]G3:[/b][/color] Die Reihenfolge der Gleichungen darf verändert werden[br]

Es gibt viele mögliche Strategien bei der Lösung des Gaußsystems. Je mehr Aufgaben man davon gelöst hat, desto mehr Varianten wird man entdecken. Mit guter mathematischer Intuition kann man sich die Rechenarbeit dabei stark vereinfachen.[br][br]Hier soll ein Weg beschrieben werden, der immer funktioniert und daher keine besondere Intution voraussetzt. Diese Lösungsmethode führt zwar dazu, dass fast immer Brüche verwendet werden müssen, aber dafür braucht man nicht lange über die einzelnen Rechenschritte nachzudenken:

Gegeben ist das Gleichungssystem von oben. Als ersten Schritt machen wir in der linken Spalte jede Zahl zu einer 1[br][math][br]\begin{array}{c}[br]A\\B\\C[br]\end{array}[br]\left( \begin{array}{ccc|c} [br]2&2&4&-6\\-2&3&-3&21\\4&1&-4&36[br]\end{array}[br]\right)[br]\begin{array}{l}[br]:2\\:(-2)\\:4[br]\end{array} [br][/math][br]Danach werden die zweite und die dritte Zeile jeweils von der ersten Zeile abgezogen, damit die erste Zahl zu einer Null wird:[br][math][br]\begin{array}{c}[br]A_1{\phantom \frac 12}\\B_1{\phantom \frac 12}\\C_1{\phantom \frac 12}[br]\end{array}[br]\left( \begin{array}{ccc|c} [br]1&1&2&-3{\phantom \frac 12}\\1&-\frac 3 2&\frac 3 2&-\frac{21}2\\[br]1&\frac 1 4&-1&9[br]\end{array}[br]\right)[br][/math] [math]\Rightarrow[/math] [math][br]\begin{array}{l}[br]A_2=A_1{\phantom \frac 12}\\B_2 = A_1-B_1{\phantom \frac 12}\\C_2=A_1 - C_1{\phantom \frac 12}[br]\end{array}[br][br]\left( \begin{array}{ccc|c} [br]1&1&2&-3{\phantom \frac 12}\\[br]0&\frac 5 2&\frac 1 2&\frac{15}2\\[br]0&\frac 3 4&3&-12[br]\end{array}[br]\right)[br][/math][br]Nun werden die zweite und die dritte Zeile so verändert, dass in der zweiten Spalte jeweils eine 1 steht, die Nullen in der ersten Spalte müssen dabei erhalten bleiben. Daher darf Gleichung [math]A_3[/math] im weiteren nicht mehr verwendet werden:[br][br][math][br]\begin{array}{l}[br]A_3=A_2{\phantom \frac 12}\\B_3 = B_2\cdot \frac 2 5\\C_3=C_2\cdot \frac 4 3[br]\end{array}[br][br]\left( \begin{array}{ccc|c} [br]1&1&2&-3{\phantom \frac 12}\\[br]0&1&\frac 1 5&3\\[br]0&1&4&-16{\phantom \frac 12}[br]\end{array}[br]\right)[br][/math][br]Wenn jetzt die zweite von der dritten Zeile abgezogen wird, dann haben wir unsere gesuchte Dreiecksmatrix:[br][br][math]\begin{array}{l}[br]A_4=A_3{\phantom \frac 12}\\B_4=B_3{\phantom \frac 12}\\C_4=C_3-B_3{\phantom \frac 12}[br]\end{array}[br][br]\left( \begin{array}{ccc|c} [br]1&1&2&-3{\phantom \frac 12}\\[br]0&1&\frac 1 5&3\\[br]0&0&\frac{19}{5}&-19[br]\end{array}[br]\right)[/math][br]Nun noch aus dem letzten Koeffizienten der Gleichung [math]C_4[/math] eine [math]1[/math] machen und wir können das Ergebnis für [math]z[/math] schon ablesen:[br][math][br]\begin{array}{l}[br]A_5=A_4{\phantom \frac 12}\\B_5=B_4{\phantom \frac 12}\\C_5=C_4\cdot \frac{5}{19}[br]\end{array}[br][br]\left( \begin{array}{ccc|c} [br]1&1&2&-3{\phantom \frac 12}\\[br]0&1&\frac 1 5&3\\[br]0&0&1&-5{\phantom \frac 12}[br]\end{array}[br]\right)[br][/math][br]Denken Sie nun daran, dass die erweiterte Koeffizientenmatrix nur eine abgekürzte Schreibweise für unser Gleichungssystem ist: [br]Aus [math]C_5[/math] folgt: [math]\underline{\underline{z=-5}}[/math][br]Dieses [math]z[/math] in [math]B_5[/math] einsetzen führt zu [math]y+\frac{1}{5}\cdot\left(-5\right)=3\Rightarrow\underline{\underline{y=4}}[/math][br][math]z=-5[/math] und [math]y=4[/math] in [math]A_5[/math] einsetzen: [math]x+4+2\cdot(-5)=-3\Rightarrow\underline{\underline{x=3}}[/math]

Man kann auch die gesamte Lösung über die Matrizenumformungen erhalten, indem man die Koeffizientenmatrix in eine Einheitsmatrix umformt:[br]Sehen wir uns die Dreiecksmatrix an, die wir oben über dem Applet berechnet haben:[br][math]\begin{array}{c}[br]A_5\\B_5\phantom{\frac 1 1}\\C_5[br]\end{array}[br]\left( \begin{array}{ccc|c} [br]1&1&2&-3\\[br]0&1&\frac 1 5&3\\[br]0&0&1&-5[br]\end{array}[br]\right)[br][/math][br][br][math]\Rightarrow[br]\begin{array}{l}[br]A_6=A_5-2C\\B_6=B_5-{\scriptsize\frac 15}\cdot C_5\\C_6=C_5[br]\end{array}[br]\left( \begin{array}{ccc|c} [br]1&1&0&7\\[br]0&1&0&4\\[br]0&0&1&-5[br]\end{array}[br]\right)[br][/math][math]\Rightarrow[br]\begin{array}{l}[br]A_7=A_6-B\\B_7=B_6\\C_7=C_6[br]\end{array}[br]\left( \begin{array}{ccc|c} [br]1&0&0&3\\[br]0&1&0&4\\[br]0&0&1&-5[br]\end{array}[br]\right)[br][/math][br][br]Nun kann man die Lösungen für [math]x[/math], [math]y[/math] und [math]z[/math] ganz einfach rechts neben dem senkrechten Strich der erweiterten Koeffizientenmatrix ablesen: [math]x=3[/math], [math]y=4[/math] und [math]z=-5[/math].[br][br]Man nennt eine so weit vereinfachte erweiterte Koeffizientenmatrix [i]Matrix in [b]Treppennrmalform[/b][/i].

Hier ist noch eine weitere Lösungsmethode, wie sie oft erst in Hochschulen gelehrt wird. Die Lösung von Gleichungssystemen mit sogenannten Determinanten hat einen großen Vorteil: Man kann ein eindeutiges Rezept vorgeben, das genau so immer angewendet werden kann. Deshalb kann man diese Lösungsmethode beim Programmieren sehr gut verwenden, um ein Programm zu schreiben, das lineare Gleichungssysteme löst.[br][br]Allerdings funktioniert diese Methode nur, wenn es genau so viele Gleichungen wie Variablen gibt und wenn es genau eine Lösung für das Gleichungssystem gibt. Bei einer Funktionssysnthese sind diese Bedingungen so gut wie immer erfüllt.[br][br]