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Cálculo de várias variáveis com Geogebra 3D. Vol I
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1. Equações de Retas e Planos
- Equações paramétricas da reta no plano cartesiano
- Equações paramétricas da reta no espaço
- Equações paramétricas do plano
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2. Cônicas
- Seções Cônicas
- Elipse - Definição
- Elementos da Elipse
- Elipse: Reflexão
- Equações paramétricas da Elipse
- Hipérbole - Definição
- Hipérbole: Reflexão
- Equações paramétricas da Hipérbole
- Parábola - Definição
- Parábola: Reflexão
- Equações paramétricas da Parábola
- Hipérbole = 2 Parábolas?
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3. Curvas paramétricas no plano
- Retas
- Cônicas
- Cicloide
- Outras curvas
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4. Curvas paramétricas no espaço
- Hélice
- Elipse no espaço
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5. Superfícies
- Superfícies Quádricas I
- Superfícies Quádricas II
- Atividade sobre Superfícies Quádricas
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6. Parametrização de superfície
- Parametrizações
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7. Mudanças de coordenadas
- Coordenadas polares
- Coordenadas cilíndricas
- Coordenadas esféricas
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8. Funções vetoriais de uma variável
- Introdução (Traço vs. Gráfico)
- Limite e continuidade
- Derivabilidade
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9. Funções escalares de várias variáveis
- Domínio e imagem de uma função escalar de várias variáveis.
- Conjunto de nível de funções escalares de várias variáveis reais
- Limite e continuidade de funções escalares de várias variáveis
- Derivadas parciais de funções escalares de várias variáveis reais
- Plano Tangente (funções escalares de várias variáveis reais)
- Vetor gradiente
- Derivada direcional
- Polinômio de Taylor
- Pontos críticos
- Multiplicadores de Lagrange
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10. Funções vetoriais de várias variáveis
- Funções vetoriais de várias variáveis reais
- Derivadas Parciais de funções vetoriais de várias variáveis
- Derivada direcional
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Cálculo de várias variáveis com Geogebra 3D. Vol I
Begoña Alarcón, Aug 12, 2020
O material disponibilizado neste livro visa introduzir o aluno à Geometria Analítica e ao Cálculo diferencial de funções de várias variáveis reais. Também pretendemos dotar professores da Matemática de ferramentas tecnológicas que tornem suas aulas mais interativas e atraentes para o discente. Assim como formar futuros professores de Matemática nesta prática. Serão aprensentados diversos recursos computacionais e atividades realizados com o GeoGebra 3D. O docente pode incluir partes do livro ou applets específicas em suas aulas ou ambientes de aprendizagem assim como indicar o livro na íntegra como complemento ao processo de ensino-aprendizagem do discente. O conteúdo do livro será apresentado da seguinte maneira: Primeiramente, incluiremos recursos básicos de geometria analítica para dar um reforço na parte de gráfico de funções escalares. A seguir serão trabalhados conceitos chave sobre cálculo diferencial de funções de várias variáveis escalares e vetoriais. Os textos presentes nos capítulos deste livro relacionados com o cálculo diferencial foram extraídos na sua maioria da Notas de Aula de Cálculo 2B da professora Denise de Oliveira Pinto (Departamento de Matemática Aplicada - UFF). O projeto conta com a colaboração de docentes do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal Fluminense (Brasil) e de alunos de graduação dos cursos de Bacharelado em Matemática e da Licenciatura em Matemática, entre outros. Professores colaboradores:
Table of Contents
- Equações de Retas e Planos
- Equações paramétricas da reta no plano cartesiano
- Equações paramétricas da reta no espaço
- Equações paramétricas do plano
- Cônicas
- Seções Cônicas
- Elipse - Definição
- Elementos da Elipse
- Elipse: Reflexão
- Equações paramétricas da Elipse
- Hipérbole - Definição
- Hipérbole: Reflexão
- Equações paramétricas da Hipérbole
- Parábola - Definição
- Parábola: Reflexão
- Equações paramétricas da Parábola
- Hipérbole = 2 Parábolas?
- Curvas paramétricas no plano
- Retas
- Cônicas
- Cicloide
- Outras curvas
- Curvas paramétricas no espaço
- Hélice
- Elipse no espaço
- Superfícies
- Superfícies Quádricas I
- Superfícies Quádricas II
- Atividade sobre Superfícies Quádricas
- Parametrização de superfície
- Parametrizações
- Mudanças de coordenadas
- Coordenadas polares
- Coordenadas cilíndricas
- Coordenadas esféricas
- Funções vetoriais de uma variável
- Introdução (Traço vs. Gráfico)
- Limite e continuidade
- Derivabilidade
- Funções escalares de várias variáveis
- Domínio e imagem de uma função escalar de várias variáveis.
- Conjunto de nível de funções escalares de várias variáveis reais
- Limite e continuidade de funções escalares de várias variáveis
- Derivadas parciais de funções escalares de várias variáveis reais
- Plano Tangente (funções escalares de várias variáveis reais)
- Vetor gradiente
- Derivada direcional
- Polinômio de Taylor
- Pontos críticos
- Multiplicadores de Lagrange
- Funções vetoriais de várias variáveis
- Funções vetoriais de várias variáveis reais
- Derivadas Parciais de funções vetoriais de várias variáveis
- Derivada direcional
Equações de Retas e Planos
Antes de adentrarmos o real conteúdo de Cálculo diferencial em várias variáveis, precisamos recordar alguns conceitos de Geometria Analítica. Neste capítulo, através de recursos iterativos, vamos relembrar os seguintes assuntos:
- Equações paramétricas da reta no plano: Neste tópico, esperamos que o aluno consiga visualizar e determinar um reta no plano, através de um ponto pertencente à reta e um vetor paralelo a ela.
- Equações paramétricas da reta no espaço: Neste item, esperamos que o aluno consiga expandir a visualização obtida no tópico anterior para o espaço. Então, agora ele deve conseguir visualizar e determinar uma reta no espaço.
- Equações paramétricas do plano: Por fim, agora desejamos que o aluno adquira a habilidade de visualizar e determinar um plano, através de um ponto e dois vetores pertencentes a ele. (Aqui também terá a equação cartesiana do plano, determinada por um ponto pertencente ao plano e um vetor normal a ele, para aqueles que tiverem curiosidade.)
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1. Equações paramétricas da reta no plano cartesiano
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2. Equações paramétricas da reta no espaço
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3. Equações paramétricas do plano
Equações paramétricas da reta no plano cartesiano
Uma parametrização da reta
- Equação paramétrica de uma reta dados um ponto e um vetor paralelo a ela.
- Aqui abaixo, você encontrará um exemplo de reta definida de forma paramétrica. Você pode mudar o vetor diretor através das barras e o ponto que pertence à reta, inserindo o ponto desejado na caixa (perceba quais mudanças ocorrem com tais alterações).
Cônicas
Neste capítulo, vamos relembrar as cônicas por meio das definições, parametrizações e, para os curiosos, algumas propriedades interessantes de cada uma das cônicas.
- Elipses;
- Hipérboles;
- Parábolas.
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1. Seções Cônicas
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2. Elipse - Definição
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3. Elementos da Elipse
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4. Elipse: Reflexão
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5. Equações paramétricas da Elipse
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6. Hipérbole - Definição
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7. Hipérbole: Reflexão
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8. Equações paramétricas da Hipérbole
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9. Parábola - Definição
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10. Parábola: Reflexão
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11. Equações paramétricas da Parábola
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12. Hipérbole = 2 Parábolas?
Seções Cônicas
Seções cônicas (não degeneradas): visualize na construção abaixo que as cônicas podem ser vistas como resultado da intersecção de um plano com uma superfície cônica.
Alguns outros elementos também podem surgir como resultados destas interseções. Por exemplo, uma reta, um ponto, ou retas concorrentes. Explore a atividade abaixo alterando a inclinação e o posicionamento do plano para visualizar diferentes resultados de seções cônicas.
Como explorar esta atividade?
Altere os controles deslizantes I e T para alterar o plano em azul (inclinar e transladar, respectivamente). Em seguida, observe o resultado da interseção deste plano com a superfície cônica.
Curvas paramétricas no plano
Depois de o aluno ter recordado algumas teorias, neste capítulo encontra-se uma coletânea curvas parametrizadas, com diversas possíveis variações de uma mesma curva e, além disso, acompanhamento da trajetória dependente do parâmetro.
- Retas: o aluno poderá visualizar e interagir com a construções de cinco retas distintas;
- Cônicas: neste tópico, poderá servir como revisão do capítulo anterior, com foco nos pontos da trajetória;
- Cicloide: esta curva tem uma história por trás e talvez seja do interesse do aluno conhecê-la;
- Outras curvas: aqui estão outros exemplos de curvas interessantes.
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1. Retas
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2. Cônicas
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3. Cicloide
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4. Outras curvas
Retas
Neste tópico, vamos ver algumas retas paramétricas. Note que, para cada reta, haverá uma parametrização e a forma cartesiana da mesma.
- O coeficiente angular estará disponível para alteração, basta arrastá-lo até o valor desejado. (Observe a mudança da reta com respeito à variação dele)
- Você também poderá variar o e assim, ver a trajetória do ponto .
- Clique na caixa para fazer aparecer/desaparecer a reta desejada. Sugerimos não clicar em várias a mesmo tempo, por uma questão de poluição visual.
- Curiosidade: você seria capaz de dizer qual a equação cartesiana associada à reta paramétrica , onde ?
Hélice
A curva diferenciável parametrizada dada por:
tem por traço uma hélice. Observe que se , teremos uma hélice circular.
- No recurso abaixo, você encontrará uma hélice, sinalizada em azul escuro. Haverá uma caixa para selecionar a altura do plano . Simultaneamente, o parâmetro está ligado à trajetória do ponto sobre a hélice, deslize para conferir.
- Perceba que temos apenas o cilindro em , mas assim como existem outros cilindros, também há outras hélices neles.
Superfícies
Este capítulo visa proporcionar ao aluno, uma breve teoria sobre algumas superfícies (não é um curso de curvas e superfícies, apenas será uma abordagem visual das superfícies e algumas de suas identificações) e ferramentas de visualização de superfícies. Em todos os tópicos, será possível interagir com com a figura.
- Superfícies cilíndricas: neste tópico, almejamos que o aluno, ao concluí-lo, tenha capacidade/autonomia de identificar os cilindros conhecidos e tenha uma noção de como essa superfície é construída.
- Superfícies quádricas: não mais importante que o tópico anterior, este será de suma importância para a compreensão do conteúdo que será abordado nesta disciplina e nas integrais de superfícies. Sugerimos que o aluno realmente se esforce para interagir com todas as ferramentas presentes, a fim de que se tenha um melhor aproveitamento do estudo para os assuntos supracitados.
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1. Superfícies Quádricas I
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2. Superfícies Quádricas II
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3. Atividade sobre Superfícies Quádricas
Superfícies Quádricas I
De maneira simplificada, uma superfície quádrica pode ser interpretada a partir de um polinômio do segundo grau em três variáveis, isto é, . De fato, uma superfície em pode ser descrita por uma função de três variáveis, tal que . Para ser uma quádrica, basta que pelo menos um dos monômios tenham grau . No espaço tridimensional, a equação do segundo grau se dá por:
Com constantes reais, onde ao menos um dos coeficientes ou é não nulo. Simplificando um pouco mais, neste tópico vamos tratar apenas dos casos em que e são nulos. De fato, ainda que não sejam (teremos uma quádrica rotacionada), podemos fazer uma transformação linear e escrever a equação de forma que esses termos sejam nulos.Elipsoide
A equação que descrevem essa superfície é:Note que se , temos uma esfera (não um elipsoide em si).
- No recurso abaixo, é possível ver o elipsoide que apresentamos aqui. Sugerimos que selecione uma caixa por vez, por uma questão de clareza na visualização dos objetos. Preste atenção nos parâmetros e , eles estão configurados da mesma forma que foram supracitados, bem como e .
- Perceba que, junto da superfície, há um plano já selecionado. Você pode variar o parâmetro para ver as diversas interseções do plano com a superfície (interessante é olhar a forma da curva, você notará que é uma conhecida). Selecione os outros planos também, lembrando sempre de desmarcar o anterior.
Hiperboloide de uma folha
As equações que descrevem essa superfície são:
- Hiperboloide de uma folha reto em (o eixo principal é o eixo):
, com
- Hiperboloide de uma folha reto em (o eixo principal é o eixo):
, com
- Hiperboloide de uma folha reto em (o eixo principal é o eixo):
, com
- No recurso abaixo, é possível ver os três diferentes hiperboloides de uma folha que apresentamos aqui. Sugerimos que selecione uma caixa por vez, por uma questão de clareza na visualização dos objetos. Preste atenção nos parâmetros e , eles estão configurados da mesma forma que foram supracitados, bem como e .
- Perceba que, ao abrir uma superfície, esta vem acompanhada de um plano que está pré-selecionado. Você pode, para cada plano, selecionar ver a interseção dele com a superfície já selecionada. Para cada opção de hiperboloide, haverá três opções de interseção, cada uma relacionada com o plano que está acima dela. Inclusive poderá "mover" o plano alterando o valor de .
- Atenção!!! Para selecionar outra superfície, desmarque TODAS as caixas referentes àquela atual. Caso contrário, as imagens poderão confundi-lo.
Hiperboloide de duas folhas
As equações que descrevem essa superfície são:
- Hiperboloide de duas folhas reto em (o eixo principal é o eixo):
, com
- Hiperboloide de duas folhas reto em (o eixo principal é o eixo):
, com
- Hiperboloide de duas folhas reto em (o eixo principal é o eixo):
, com
- No recurso abaixo, é possível ver os três diferentes hiperboloides de duas folhas que apresentamos aqui. Sugerimos que selecione uma caixa por vez, por uma questão de clareza na visualização dos objetos. Preste atenção nos parâmetros e , eles estão configurados da mesma forma que foram supracitados, bem como e .
- Perceba que, ao abrir uma superfície, esta vem acompanhada de um plano que está pré-selecionado. Você pode, para cada plano, selecionar ver a interseção dele com a superfície já selecionada. Para cada opção de hiperboloide, haverá três opções de interseção, cada uma relacionada com o plano que está acima dela. Inclusive poderá "mover" o plano alterando o valor de .
- Atenção!!! Para selecionar outra superfície, desmarque TODAS as caixas referentes àquela atual. Caso contrário, as imagens poderão confundi-lo.
Cone elíptico
As equações que descrevem essa superfície são:
- Hiperboloide de uma folha reto em (o eixo principal é o eixo):
, com
- Hiperboloide de uma folha reto em (o eixo principal é o eixo):
, com
- Hiperboloide de uma folha reto em (o eixo principal é o eixo):
, com
- No recurso abaixo, é possível ver os três diferentes cones elípticos que apresentamos aqui. Sugerimos que selecione uma caixa por vez, por uma questão de clareza na visualização dos objetos. Preste atenção nos parâmetros e , eles estão configurados da mesma forma que foram supracitados, bem como e . Note que se , temos o cone circular reto.
- Perceba que, ao abrir uma superfície, esta vem acompanhada de um plano que está pré-selecionado. Você pode, para cada plano, selecionar ver a interseção dele com a superfície já selecionada. Para cada opção de cone, haverá três opções de interseção, cada uma relacionada com o plano que está acima dela. Inclusive poderá "mover" o plano alterando o valor de .
- Atenção!!! Para selecionar outra superfície, desmarque TODAS as caixas referentes àquela atual. Caso contrário, as imagens poderão confundi-lo.
Paraboloide elíptico
As equações que descrevem essa superfície são:
- Paraboloide elíptico reto em (o eixo principal é o eixo):
, com e
- Paraboloide elíptico reto em (o eixo principal é o eixo):
, com e
- Paraboloide elíptico reto em (o eixo principal é o eixo):
, com e
- No recurso abaixo, é possível ver o primeiro paraboloide elíptico que apresentamos aqui (cujo eixo principal é o eixo). Sugerimos que selecione uma caixa por vez, por uma questão de clareza na visualização dos objetos. Preste atenção nos parâmetros e , eles estão configurados da mesma forma que foram supracitados, bem como . O parâmetro , por uma questão de limitação do programa, poderá assumir o valor , mas observe que a superfície se torna uma degenerada.
- Perceba que, ao abrir uma superfície, esta vem acompanhada de um plano que está pré-selecionado. Junto ao plano, está a curva da interseção das duas superfícies. Você pode controlar o plano através de (em verde).
- Existem outros paraboloides elípticos, mas esses são os mais comuns de serem vistos, por isso omitimos os outros neste subtópico.
Paraboloide hiperbólico
As equações que descrevem essa superfície são:
- Paraboloide hiperbólico reto em :
, com e
- Paraboloide hiperbólico reto em :
, com e
- Paraboloide hiperbólico reto em :
, com e
- Note que se a constante que acompanha a variável do lado direito for positiva, temos um paraboloide hiperbólico e se ela for negativa teremos outro. Logo, no total, temos seis paraboloides hiperbólicos possíveis: dois para cada variável .
- No recurso abaixo, é possível ver o primeiro paraboloide hiperbólico que apresentamos aqui (note ao variar , é possível ver dois paraboloides hiperbólicos). Sugerimos que selecione uma caixa por vez, por uma questão de clareza na visualização dos objetos. Preste atenção nos parâmetros e , eles estão configurados da mesma forma que foram supracitados, bem como . O parâmetro , por uma questão de limitação do programa, poderá assumir o valor , mas observe que a superfície se torna uma degenerada.
- Perceba que, ao abrir uma superfície, haverá a opção de selecionar três planos. Você pode, para cada plano, ver a interseção dele com a superfície já selecionada. Para cada opção de paraboloide, haverá três opções de planos, junto das suas respectivas interseções com a superfície. Inclusive poderá "mover" o plano alterando o valor de (em verde).
Parametrizações
Parametrização de uma superfície cilíndrica
Uma superfície Cilíndrica é um corpo ou superfície formado por um conjunto de retas paralelas, estas geradas por um ponto pertencente a uma curva em um plano e um vetor diretor que não está contido no plano . A curva é denominada diretriz, enquanto as retas são chamadas de geratrizes. Ou seja, podemos definir uma superfície cilíndrica de diretriz e geratrizes paralelas ao vetor como o seguinte conjunto:
A seguir, apresentamos nos applets uma curva diretriz, um vetor paralelo as geratrizes e a superfície cilíndrica gerada.
Vamos demonstrar esse conceito através de alguns exemplos.
Vamos aplicar os conceitos já apresentados. Através da curva diretriz e do vetor diretor das geratrizes, determine a equação paramétrica da superfície e esboce-a.
Exemplo 1: Parametrização do cilindro circular reto
Consideramos o círculo sobre o plano de centro a origem e raio como a curva diretriz e
, o vetor paralelo às geratrizes.
Uma parametrização de é dado por:
Uma parametrização do cilindro circular reto vem dado por:
Caso particular com R=1.
Seja uma curva e uma reta contida num plano .
A superfície de revolução de geratriz e eixo de revolução é a superfície descrita pela rotação da
curva em torno da reta .
Suponha que a curva se encontra no plano e queremos fazer a rotação da curva ao redor do eixo
.
Suponha também que a curva tem a seguinte parametrização:
Em um plano tomamos o ponto P o qual gira em torno do eixo fazendo um certo ângulo sendo assim o ponto no mesmo plano. Agora precisamos encontrar as coordenadas de .
Segundo o desenho temos que:
assim
logo, a parametrização da superfície obtida ao fazer a rotação da curva do plano ao redor do
eixo será:
onde e
Exemplo 2: A esfera
Consideramos o círculo de raio e centro na origem no plano e fazendo rotação ao redor do
eixo obteremos a esfera.
A parametrização do círculo é:
Aplicando a parametrização ao fazer a rotação ao redor do eixo , obtemos:
onde e .
Exemplo 3: Toro
Para isso consideramos o círculo de raio e centro (0, 0, 0) no plano e fazendo a rotação ao
redor do eixo .
Chamamos à distância do centro ao eixo de rotação, assim temos o círculo de raio . Esta
superfície gerada por é chamada de toro.
A parametrização do círculo é:
aplicando a parametrização ao fazer a rotação ao redor do eixo , a parametrização do toro será:
onde
Mudanças de coordenadas
O sistema de coordenadas cartesianas talvez seja o mais antigo que todos conhecem. Entretanto, isso não significa que ele é o mais intuitivo de se trabalhar em todos os casos. Neste capítulo, abordaremos outros sistemas de coordenadas, a saber:
- Coordenadas polares;
- Coordenadas cilíndricas;
- Coordenadas esféricas.
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1. Coordenadas polares
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2. Coordenadas cilíndricas
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3. Coordenadas esféricas
Coordenadas polares
Relações entre coordenadas cartesianas e coordenadas polares
Neste tópico, veremos uma forma diferente de representar um ponto do plano. De fato, o plano cartesiano é muito utilizado. Entretanto, o motivo de trocarmos a maneira de escrever o ponto é que, às vezes, algumas curvas no plano são mais simples de serem representadas por equações polares.
Seja o sistema de coordenadas polares no plano. Considere o sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, tal que o eixo polar seja o semieixo positivo e o eixo seja o obtido do eixo rotacionado de no sentido anti-horário.
Considere , onde é origem, tal que esteja no sistema de coordenadas polares , ou seja, , com (na realidade, pode ser menor que ou maior que , mas isso é considerado como voltas no círculo trigonométrico, então consideramos o ângulo principal, que é aquele presente no intervalo ). Esse mesmo ponto em coordenadas cartesianas seria da forma . As relações entre tais coordenadas são dadas por:
A partir delas, conseguimos chegar em outras duas relações, que também podem ser úteis: | | |
| |
- Em seguida, temos uma espécie de conversor de coordenadas polares em cartesianas e vice-versa. Sugerimos que selecione uma caixa de cada vez, para melhor visualização. A malha que você vai encontrar pertence ao sistema , mas existe também a graduação dos eixos e , para facilitar a outra concepção do ponto também.
Funções vetoriais de uma variável
Neste capítulo, introduziremos o conteúdo propriamente dito de Cálculo multivariado, a começar pelas funções vetoriais de uma variável. Esperamos que o aluno conclua o capítulo com habilidade de identificar o limite da função vetorial, se é contínua num determinado ponto ou não, interpretar geometricamente a derivada de uma função vetorial e saber a diferença entre o traço e o gráfico de uma função. O material apresentado é baseado nas notas de aula da professora Denise de Oliveira Pinto.
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1. Introdução (Traço vs. Gráfico)
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2. Limite e continuidade
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3. Derivabilidade
Introdução (Traço vs. Gráfico)
Definição
Uma função vetorial de uma variável real é uma correspondência, , que a cada ponto , associa um e apenas um . O conjunto é chamado de domínio de e é o maior conjunto onde é definida.
Inicialmente apresentaremos exemplos de funções vetoriais com imagem em , isto é, , aonde para cada .
Posteriormente, apresentaremos exemplos de funções vetoriais com imagem em , isto é, , tal que para cada , onde .
De uma maneira cotidiana, chamamos a função de ou , como pode-se ver na seção abaixo.
Traço X Gráfico
Não podemos confundir esses dois termos. Considere uma função da forma:
, tal que
O conjunto é chamado conjunto imagem da função vetorial de uma variável . Note que é um conjunto de . Por outro lado, o conjunto representa o gráfico da mesma função. Note que desta vez, o conjunto está em , ou seja, diferente da dimensão da imagem.- Os exemplos abaixo trazem a ideia abordada nesta seção. Note que na tela da esquerda, está presente a imagem da função vetorial. Por outro lado, na tela direita há o gráfico da mesma função vetorial.
* O conteúdo apresentado foi gerado através das notas da professora Denise de Oliveira Pinto, do Departamento de matemática aplicada da Universidade Federal Fluminense*
Funções escalares de várias variáveis
Neste capítulo introduziremos o conceito de uma função escalar de várias variáveis, seu conjunto domínio e sua imagem. Após a apresentação desses, seguiremos para o conceito de curvas e superfícies de nível, ferramentas de grande ajuda na compreensão e no esboço desse tipo de função. O material apresentado foi baseado nas notas de aula da professora Denise de Oliveira Pinto.
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1. Domínio e imagem de uma função escalar de várias variáveis.
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2. Conjunto de nível de funções escalares de várias variáveis reais
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3. Limite e continuidade de funções escalares de várias variáveis
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4. Derivadas parciais de funções escalares de várias variáveis reais
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5. Plano Tangente (funções escalares de várias variáveis reais)
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6. Vetor gradiente
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7. Derivada direcional
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8. Polinômio de Taylor
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9. Pontos críticos
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10. Multiplicadores de Lagrange
Domínio e imagem de uma função escalar de várias variáveis.
Definição
Dado um conjunto com , uma função escalar de várias variáveis é uma correspondência, , que a cada coordenada na forma , associa um e apenas um . No nosso caso trabalharemos com funções escalares com domínio sendo um subconjunto de ou . Logo nossa função será de uma das seguintes formas:
- , tal que para cada , onde .
- , tal que para cada , onde .
Polinomiais
Exemplos básicos
No recurso abaixo é possível observar que, através do isolamento de uma variável e sua restrição para valores positivos ou negativos, é possível gerar uma função escalar de várias variáveis a partir de uma Superfície Quádrica (apresentada no capítulo 4 dessa obra).
Obs: No applet abaixo as barras deslizantes referem-se aos coeficientes das funções. Para uma melhor compreensão, ative a caixa de uma função e observe o que ocorre ao variar os valores de a, b e c.
Definição
O domínio de uma função , com , é conjunto de pontos na forma que quando aplicados em retornam um valor real, ou seja, com
Definição
A imagem de uma função , com, é o subconjunto da reta real que é gerado pela função ao ser aplicada nos pontos do domínio. Ou seja, se tal que .
Observe os exemplos a seguir, neles é possível observar o domínio a esquerda, o esboço da função ao centro e o subconjunto da reta real que forma a imagem a direita.
No domínio, as barras deslizantes definem os valores embutidos na função. No gráfico, é possível manipular o ponto (x,y) a esquerda e observar a coordenada (x,y,z) percorrer a superfície.
Obs: Caso o ponto (x,y) retorne um ponto (x,y, f(x,y)) que não apareça na superfície, afaste o gráfico central para uma melhor visualização.
* O conteúdo apresentado foi gerado através das notas da professora Denise de Oliveira Pinto, do Departamento de Matemática Aplicada da Universidade Federal Fluminense*
Funções vetoriais de várias variáveis
Neste capítulo introduziremos o conceito de uma função vetoriais de várias variáveis, seu conjunto domínio e sua imagem. O conteúdo apresentado aqui foi baseado nas notas de aula da professora Denise de Oliveira Pinto.
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1. Funções vetoriais de várias variáveis reais
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2. Derivadas Parciais de funções vetoriais de várias variáveis
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3. Derivada direcional
Funções vetoriais de várias variáveis reais
Definição:
Uma função vetorial de várias variáveis reais é uma correspondência, , que a cada ponto , associa um e apenas um , tal que . O conjunto é chamado de domínio de e é o maior conjunto onde é definida.
Inicialmente apresentaremos exemplos de funções , aonde para cada . Elas se relacionam com parametrização de superfícies.
Posteriormente, apresentaremos exemplos de funções , aonde para cada . E de funções de , aonde para cada . Elas representarão transformações no plano e no espaço, respectivamente.
Finalmente, apresentaremos exemplos de funções , aonde associa a cada ponto do domínio um único vetor no plano. Estas funções são chamadas de campos vetoriais.
Imagem X gráfico
Não podemos confundir esses dois termos. Considere uma função da forma:
, tal que
O conjunto é chamado conjunto imagem da função vetorial de variáveis reais de . Note que é um conjunto de . Por outro lado, o conjunto representa o gráfico da mesma função. Note que desta vez, o conjunto está em .
Neste capítulo , portanto os gráficos estarão em etc..., daí não poderemos esboçá-los. Somente poderemos esboçar o conjunto imagem que será um subconjunto de ou .
A seguir, apresentaremos exemplos de funções , aonde o conjunto imagem são algumas superfícies conhecidas. Elas são parametrizações das respectivas superfícies.
A seguir, apresentaremos exemplos de funções e veremos como elas transformam figuras do plano.
A seguir, apresentaremos exemplos de funções e veremos como elas transformam superfície do espaço
A seguir, apresentaremos exemplos de funções , aonde associa a cada ponto do domínio um único vetor no plano. Estas funções são chamadas de campos vetoriais. Os seguintes applets ilustram o campo de vetores dado pelo vetor gradiente de uma função em cada ponto do domínio de , isto é, . A função é chamada de função potencial do campo vetorial .
Para ajudar na visualização, divideremos o vetor gradiente pela sua norma. Assim os vetores todos terão mesma direção que o campo gradiente mas com módulo deles será 1.
A seguir, apresentaremos exemplos de funções , aonde associa a cada ponto do domínio um único vetor no plano. Estas funções são chamadas de campos vetoriais. Os seguintes applets ilustram o campo de vetores dado pelo vetor gradiente de uma função em cada ponto do domínio de , isto é, . A função é chamada de função potencial do campo vetorial .
Para ajudar na visualização, divideremos o vetor gradiente pela sua norma. Assim os vetores todos terão mesma direção que o campo gradiente mas com módulo deles será 1.
Os applets são abertos para o leitor. Sinta-se livre para definir as coordenadas de cada função e gerar seu campo vetorial, no ou no , respectivamente.
* O conteúdo apresentado foi gerado através das notas da professora Denise de Oliveira Pinto, do Departamento de Matemática Aplicada da Universidade Federal Fluminense*
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