Cálculo de várias variáveis com Geogebra 3D. Vol I
O material disponibilizado neste livro visa introduzir o aluno à Geometria Analítica e ao Cálculo diferencial de funções de várias variáveis reais. Também pretendemos dotar professores da Matemática de ferramentas tecnológicas que tornem suas aulas mais interativas e atraentes para o discente. Assim como formar futuros professores de Matemática nesta prática. Serão aprensentados diversos recursos computacionais e atividades realizados com o GeoGebra 3D. O docente pode incluir partes do livro ou applets específicas em suas aulas ou ambientes de aprendizagem assim como indicar o livro na íntegra como complemento ao processo de ensino-aprendizagem do discente. O conteúdo do livro será apresentado da seguinte maneira: Primeiramente, incluiremos recursos básicos de geometria analítica para dar um reforço na parte de gráfico de funções escalares. A seguir serão trabalhados conceitos chave sobre cálculo diferencial de funções de várias variáveis escalares e vetoriais. Os textos presentes nos capítulos deste livro relacionados com o cálculo diferencial foram extraídos na sua maioria da Notas de Aula de Cálculo 2B da professora Denise de Oliveira Pinto (Departamento de Matemática Aplicada - UFF). O projeto conta com a colaboração de docentes do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal Fluminense (Brasil) e de alunos de graduação dos cursos de Bacharelado em Matemática e da Licenciatura em Matemática, entre outros. Professores colaboradores: [*] [i]Begoña Alarcón* (Departamento de Matemática Aplicada)[/i]; [*] [i]Carlos Meniño (Departamento de Análise)[/i]; [*] [i]Cristhabel Vasquez (Departamento de Geometria)[/i]. Discentes colaboradores: [*] [i]Joao Pedro Teixeira De Sá* (Licenciatura em Matemática)[/i] [*] [i]Raphael Brandão (Licenciatura em Matemática)[/i] [*] [i]Júlia Canario dos Anjos (Licenciatura em Física)[/i] [*] [i] Paula Bruna Daco (Bacharelado em Matemática) [/i] [*] [i] Guilherme Cardoso Garcia de Carvalho (Engeneharia Elétrica) [/i]
Table of Contents
- Equações de Retas e Planos
- Equações paramétricas da reta no plano cartesiano
- Equações paramétricas da reta no espaço
- Equações paramétricas do plano
- Cônicas
- Seções Cônicas
- Elipse - Definição
- Elementos da Elipse
- Elipse: Reflexão
- Equações paramétricas da Elipse
- Hipérbole - Definição
- Hipérbole: Reflexão
- Equações paramétricas da Hipérbole
- Parábola - Definição
- Parábola: Reflexão
- Equações paramétricas da Parábola
- Hipérbole = 2 Parábolas?
- Curvas paramétricas no plano
- Retas
- Cônicas
- Cicloide
- Outras curvas
- Curvas paramétricas no espaço
- Hélice
- Elipse no espaço
- Superfícies
- Superfícies Quádricas I
- Superfícies Quádricas II
- Atividade sobre Superfícies Quádricas
- Parametrização de superfície
- Parametrizações
- Mudanças de coordenadas
- Coordenadas polares
- Coordenadas cilíndricas
- Coordenadas esféricas
- Funções vetoriais de uma variável
- Introdução (Traço vs. Gráfico)
- Limite e continuidade
- Derivabilidade
- Funções escalares de várias variáveis
- Domínio e imagem de uma função escalar de várias variáveis.
- Conjunto de nível de funções escalares de várias variáveis reais
- Limite e continuidade de funções escalares de várias variáveis
- Derivadas parciais de funções escalares de várias variáveis reais
- Plano Tangente (funções escalares de várias variáveis reais)
- Vetor gradiente
- Derivada direcional
- Polinômio de Taylor
- Pontos críticos
- Multiplicadores de Lagrange
- Funções vetoriais de várias variáveis
- Funções vetoriais de várias variáveis reais
- Derivadas Parciais de funções vetoriais de várias variáveis
- Derivada direcional
Equações paramétricas da reta no plano cartesiano
Uma parametrização da reta
[list][*]Equação paramétrica de uma reta dados um ponto e um vetor paralelo a ela.[/*][/list][b][i]Definição:[/i][/b] Dados [math]P_0,v\in\mathbb{R}^2[/math] tais que [math]P_0[/math] pertence à reta [math]r[/math] e [math]v[/math] é um vetor paralelo a ela (ou [i]vetor diretor[/i] de [math]r[/math]), a [i]equação paramétrica de[/i] [math]r[/math] é dada por:[br][center][math]r:\left(x,y\right)=P_0+tv,t\in\mathbb{R}.[/math][/center][list][*]Aqui abaixo, você encontrará um exemplo de reta definida de forma paramétrica. Você pode mudar o vetor diretor [math]v=\left(v_1,v_2\right)[/math] através das barras e o ponto [math]P_0[/math] que pertence à reta, inserindo o ponto desejado na caixa (perceba quais mudanças ocorrem com tais alterações).[/*][/list]
Seções Cônicas
Seções cônicas (não degeneradas): visualize na construção abaixo que as cônicas podem ser vistas como resultado da intersecção de um plano com uma superfície cônica.
Alguns outros elementos também podem surgir como resultados destas interseções. Por exemplo, uma reta, um ponto, ou retas concorrentes. Explore a atividade abaixo alterando a inclinação e o posicionamento do plano para visualizar diferentes resultados de seções cônicas. [b][br][br]Como explorar esta atividade?[/b] [br]Altere os controles deslizantes [b]I[/b] e [b]T [/b]para alterar o plano em azul (inclinar e transladar, respectivamente). Em seguida, observe o resultado da interseção deste plano com a superfície cônica.
Retas
Neste tópico, vamos ver algumas retas paramétricas. Note que, para cada reta, haverá uma parametrização e a forma cartesiana da mesma. [br][list][*]O coeficiente angular [math]m[/math] estará disponível para alteração, basta arrastá-lo até o valor desejado. [i](Observe a mudança da reta com respeito à variação dele)[/i] [/*][*]Você também poderá variar o [math]t[/math] e assim, ver a trajetória do ponto [math]P[/math].[/*][*]Clique na caixa para fazer aparecer/desaparecer a reta desejada. Sugerimos não clicar em várias a mesmo tempo, por uma questão de poluição visual.[/*][*]Curiosidade: você seria capaz de dizer qual a equação cartesiana associada à reta paramétrica [math]X=\left(kt,kt\right),t\in\mathbb{R}[/math], onde [math]k\in\mathbb{R}[/math]?[/*][/list]
Hélice
A curva diferenciável parametrizada dada por:[br][center][math]\alpha\left(t\right)=\left(a\cos\left(t\right),b\text{sen}\left(t\right),ct\right),t\in\mathbb{R}[/math][br][/center]tem por traço uma hélice. Observe que se [math]a=b[/math], teremos uma hélice circular.[br][list][*]No recurso abaixo, você encontrará uma hélice, sinalizada em azul escuro. Haverá uma caixa para selecionar a altura do plano [math]z=t[/math]. Simultaneamente, o parâmetro [math]t[/math] está ligado à trajetória do ponto [math]P[/math] sobre a hélice, deslize para conferir.[/*][*]Perceba que temos apenas o cilindro em [math]XY[/math], mas assim como existem outros cilindros, também há outras hélices neles.[/*][/list]
Superfícies Quádricas I
De maneira simplificada, uma superfície quádrica pode ser interpretada a partir de um polinômio do segundo grau em três variáveis, isto é, [math]p\left(x,y,z\right)=0[/math]. De fato, uma superfície em [math]\mathbb{R}^3[/math] pode ser descrita por uma função [math]F[/math] de três variáveis, tal que [math]F\left(x,y,z\right)=0[/math]. Para ser uma quádrica, basta que pelo menos um dos monômios tenham grau [math]2[/math]. No espaço tridimensional, a equação do segundo grau se dá por:[center][br][math]Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0[/math][/center]Com [math]A,B,C,...,J[/math] constantes reais, onde ao menos um dos coeficientes [math]A,B,C,D,E[/math] ou [math]F[/math] é não nulo.[br][br]Simplificando um pouco mais, neste tópico vamos tratar apenas dos casos em que [math]D,E[/math] e [math]F[/math] são nulos. De fato, ainda que não sejam (teremos uma quádrica rotacionada), podemos fazer uma transformação linear e escrever a equação de forma que esses termos sejam nulos.
Elipsoide
A equação que descrevem essa superfície é:[center][math]\frac{\left(x-x_0\right)^2}{a^2}+\frac{\left(y-y_0\right)^2}{b^2}+\frac{\left(z-z_0\right)^2}{c^2}=1[/math][/center]Note que se [math]a=b=c[/math], temos uma [b][i]esfera[/i][/b] (não um elipsoide em si).[br][br][list][*]No recurso abaixo, é possível ver o elipsoide que apresentamos aqui. Sugerimos que selecione uma caixa por vez, por uma questão de clareza na visualização dos objetos. Preste atenção nos parâmetros [math]a,b[/math] e [math]c[/math], eles estão configurados da mesma forma que foram supracitados, bem como [math]x_0,y_0[/math] e [math]z_0[/math].[/*][*]Perceba que, junto da superfície, há um plano já selecionado. Você pode variar o parâmetro [math]k[/math] para ver as diversas interseções do plano com a superfície (interessante é olhar a forma da curva, você notará que é uma conhecida). Selecione os outros planos também, lembrando sempre de desmarcar o anterior.[/*][/list]
Hiperboloide de uma folha
As equações que descrevem essa superfície são:[list][*]Hiperboloide de uma folha reto em [math]z[/math] (o eixo principal é o eixo[math]-OZ[/math]):[/*][/list][center][math]\frac{\left(x-x_0\right)^2}{a^2}+\frac{\left(y-y_0\right)^2}{b^2}-\frac{\left(z-z_0\right)^2}{c^2}=1[/math], com [math]a,b,c>0[/math][/center][list][*]Hiperboloide de uma folha reto em [math]y[/math] (o eixo principal é o eixo[math]-OY[/math]):[/*][/list][center][math]\frac{\left(x-x_0\right)^2}{a^2}-\frac{\left(y-y_0\right)^2}{b^2}+\frac{\left(z-z_0\right)^2}{c^2}=1[/math], com [math]a,b,c>0[/math][/center][list][*]Hiperboloide de uma folha reto em [math]x[/math] (o eixo principal é o eixo[math]-OX[/math]):[/*][/list][center][math]-\frac{\left(x-x_0\right)^2}{a^2}+\frac{\left(y-y_0\right)^2}{b^2}+\frac{\left(z-z_0\right)^2}{c^2}=1[/math], com [math]a,b,c>0[/math][/center][list][*]No recurso abaixo, é possível ver os três diferentes hiperboloides de uma folha que apresentamos aqui. Sugerimos que selecione uma caixa por vez, por uma questão de clareza na visualização dos objetos. Preste atenção nos parâmetros [math]a,b[/math] e [math]c[/math], eles estão configurados da mesma forma que foram supracitados, bem como [math]x_0,y_0[/math] e [math]z_0[/math].[/*][*]Perceba que, ao abrir uma superfície, esta vem acompanhada de um plano que está pré-selecionado. Você pode, para cada plano, selecionar ver a interseção dele com a superfície já selecionada. Para cada opção de hiperboloide, haverá três opções de interseção, cada uma relacionada com o plano que está acima dela. Inclusive poderá "mover" o plano alterando o valor de [math]k[/math].[/*][*][color=#ff0000][b]Atenção!!! Para selecionar outra superfície, desmarque TODAS as caixas referentes àquela atual. Caso contrário, as imagens poderão confundi-lo.[/b][/color][/*][/list]
Hiperboloide de duas folhas
As equações que descrevem essa superfície são:[list][*]Hiperboloide de duas folhas reto em [math]z[/math] (o eixo principal é o eixo[math]-OZ[/math]):[/*][/list][center][math]-\frac{\left(x-x_0\right)^2}{a^2}-\frac{\left(y-y_0\right)^2}{b^2}+\frac{\left(z-z_0\right)^2}{c^2}=1[/math], com [math]a,b,c>0[/math][/center][list][*]Hiperboloide de duas folhas reto em [math]y[/math] (o eixo principal é o eixo[math]-OY[/math]):[/*][/list][center][math]-\frac{\left(x-x_0\right)^2}{a^2}+\frac{\left(y-y_0\right)^2}{b^2}-\frac{\left(z-z_0\right)^2}{c^2}=1[/math], com [math]a,b,c>0[/math][/center][list][*]Hiperboloide de duas folhas reto em [math]x[/math] (o eixo principal é o eixo[math]-OX[/math]):[/*][/list][center][math]\frac{\left(x-x_0\right)^2}{a^2}-\frac{\left(y-y_0\right)^2}{b^2}-\frac{\left(z-z_0\right)^2}{c^2}=1[/math], com [math]a,b,c>0[/math][/center][list][*]No recurso abaixo, é possível ver os três diferentes hiperboloides de duas folhas que apresentamos aqui. Sugerimos que selecione uma caixa por vez, por uma questão de clareza na visualização dos objetos. Preste atenção nos parâmetros [math]a,b[/math] e [math]c[/math], eles estão configurados da mesma forma que foram supracitados, bem como [math]x_0,y_0[/math] e [math]z_0[/math].[/*][*]Perceba que, ao abrir uma superfície, esta vem acompanhada de um plano que está pré-selecionado. Você pode, para cada plano, selecionar ver a interseção dele com a superfície já selecionada. Para cada opção de hiperboloide, haverá três opções de interseção, cada uma relacionada com o plano que está acima dela. Inclusive poderá "mover" o plano alterando o valor de [math]k[/math].[/*][/list][list][*][color=#ff0000][b]Atenção!!! Para selecionar outra superfície, desmarque TODAS as caixas referentes àquela atual. Caso contrário, as imagens poderão confundi-lo.[/b][/color][/*][/list]
Cone elíptico
As equações que descrevem essa superfície são:[list][*]Hiperboloide de uma folha reto em [math]z[/math] [color=#ff0000][/color](o eixo principal é o eixo[math]-OZ[/math])[color=#ff0000][/color]:[/*][/list][center][math]\frac{\left(x-x_0\right)^2}{a^2}+\frac{\left(y-y_0\right)^2}{b^2}-\frac{\left(z-z_0\right)^2}{c^2}=0[/math], com [math]a,b,c>0[/math][/center][list][*]Hiperboloide de uma folha reto em [math]y[/math] (o eixo principal é o eixo[math]-OY[/math]):[/*][/list][center][math]\frac{\left(x-x_0\right)^2}{a^2}-\frac{\left(y-y_0\right)^2}{b^2}+\frac{\left(z-z_0\right)^2}{c^2}=0[/math], com [math]a,b,c>0[/math][/center][list][*]Hiperboloide de uma folha reto em [math]x[/math] (o eixo principal é o eixo[math]-OX[/math]):[/*][/list][center][math]-\frac{\left(x-x_0\right)^2}{a^2}+\frac{\left(y-y_0\right)^2}{b^2}+\frac{\left(z-z_0\right)^2}{c^2}=0[/math], com [math]a,b,c>0[/math][br][/center][list][*]No recurso abaixo, é possível ver os três diferentes cones elípticos que apresentamos aqui. Sugerimos que selecione uma caixa por vez, por uma questão de clareza na visualização dos objetos. Preste atenção nos parâmetros [math]a,b[/math] e [math]c[/math], eles estão configurados da mesma forma que foram supracitados, bem como [math]x_0,y_0[/math] e [math]z_0[/math]. Note que se [math]a=b=c[/math], temos o [b][i]cone circular reto[/i][/b].[/*][*]Perceba que, ao abrir uma superfície, esta vem acompanhada de um plano que está pré-selecionado. Você pode, para cada plano, selecionar ver a interseção dele com a superfície já selecionada. Para cada opção de cone, haverá três opções de interseção, cada uma relacionada com o plano que está acima dela. Inclusive poderá "mover" o plano alterando o valor de [math]k[/math].[/*][/list][list][*][color=#ff0000][b]Atenção!!! Para selecionar outra superfície, desmarque TODAS as caixas referentes àquela atual. Caso contrário, as imagens poderão confundi-lo.[/b][/color][/*][/list]
Paraboloide elíptico
As equações que descrevem essa superfície são:[list][*]Paraboloide elíptico reto em [math]z[/math] (o eixo principal é o eixo[math]-OZ[/math]):[/*][/list][center] [math]\frac{\left(x-x_0\right)^2}{a^2}+\frac{\left(y-y_0\right)^2}{b^2}=cz[/math], com [math]a,b>0[/math] e [math]c\ne0[/math][/center][list][*]Paraboloide elíptico reto em [math]y[/math] (o eixo principal é o eixo[math]-OY[/math]):[center][math]\frac{\left(x-x_0\right)^2}{a^2}+\frac{\left(z-z_0\right)^2}{c^2}=by[/math], com [math]a,c>0[/math] e [math]b\ne0[/math][/center][/*][*]Paraboloide elíptico reto em [math]x[/math] (o eixo principal é o eixo[math]-OX[/math]):[center][math]\frac{\left(z-z_0\right)^2}{c^2}+\frac{\left(y-y_0\right)^2}{b^2}=ax[/math], com [math]b,c>0[/math] e [math]a\ne0[/math][/center][/*][*]No recurso abaixo, é possível ver o primeiro paraboloide elíptico que apresentamos aqui (cujo eixo principal é o eixo[math]-OZ[/math]). Sugerimos que selecione uma caixa por vez, por uma questão de clareza na visualização dos objetos. Preste atenção nos parâmetros [math]a[/math] e [math]b[/math], eles estão configurados da mesma forma que foram supracitados, bem como [math]x_0,y_0[/math]. O parâmetro [math]c[/math], por uma questão de limitação do programa, poderá assumir o valor [math]0[/math], mas observe que a superfície se torna uma degenerada.[/*][*]Perceba que, ao abrir uma superfície, esta vem acompanhada de um plano que está pré-selecionado. Junto ao plano, está a curva da interseção das duas superfícies. Você pode controlar o plano através de [math]k[/math] (em verde).[/*][*]Existem outros paraboloides elípticos, mas esses são os mais comuns de serem vistos, por isso omitimos os outros neste subtópico.[/*][/list]
Paraboloide hiperbólico
As equações que descrevem essa superfície são:[br][list][*]Paraboloide hiperbólico reto em [math]z[/math]:[/*][/list][center] [math]\frac{\left(x-x_0\right)^2}{a^2}-\frac{\left(y-y_0\right)^2}{b^2}=cz[/math], com [math]a,b>0[/math] e [math]c\ne0[/math][/center][list][*]Paraboloide hiperbólico reto em [math]y[/math]:[/*][/list][center] [math]\frac{\left(x-x_0\right)^2}{a^2}-\frac{\left(z-z_0\right)^2}{c^2}=by[/math], com [math]a,c>0[/math] e [math]b\ne0[/math][/center][list][*]Paraboloide hiperbólico reto em [math]x[/math]:[center][math]\frac{\left(y-y_0\right)^2}{b^2}-\frac{\left(z-z_0\right)^2}{c^2}=ax[/math], com [math]b,c>0[/math] e [math]a\ne0[/math][/center][/*][*]Note que se a constante que acompanha a variável do lado direito for positiva, temos um paraboloide hiperbólico e se ela for negativa teremos outro. Logo, no total, temos seis paraboloides hiperbólicos possíveis: dois para cada variável [math]x,y,z[/math].[/*][*]No recurso abaixo, é possível ver o primeiro paraboloide hiperbólico que apresentamos aqui (note ao variar [math]c[/math], é possível ver dois paraboloides hiperbólicos). Sugerimos que selecione uma caixa por vez, por uma questão de clareza na visualização dos objetos. Preste atenção nos parâmetros [math]a[/math] e [math]b[/math], eles estão configurados da mesma forma que foram supracitados, bem como [math]x_0,y_0[/math]. O parâmetro [math]c[/math], por uma questão de limitação do programa, poderá assumir o valor [math]0[/math], mas observe que a superfície se torna uma degenerada.[/*][*]Perceba que, ao abrir uma superfície, haverá a opção de selecionar três planos. Você pode, para cada plano, ver a interseção dele com a superfície já selecionada. Para cada opção de paraboloide, haverá três opções de planos, junto das suas respectivas interseções com a superfície. Inclusive poderá "mover" o plano alterando o valor de [math]k[/math] (em verde).[/*][/list]
Parametrizações
[b][size=150]Parametrização de uma superfície cilíndrica[/size][/b][br][size=150][size=100][br]Uma superfície Cilíndrica é um corpo ou superfície formado por um conjunto de retas paralelas, estas geradas por um ponto pertencente a uma curva [math]\beta[/math][/size][/size] em um plano [math]\pi[/math] e um vetor diretor [math]\vec{v}[/math] que não está contido no plano [math]\pi[/math]. A curva é denominada diretriz, enquanto as retas são chamadas de geratrizes. Ou seja, [size=150][size=100] podemos definir uma superfície cilíndrica [math]S[/math] de diretriz [math]\beta[/math] e geratrizes paralelas ao vetor [math]\vec{v}[/math] como o seguinte conjunto:[/size][/size] [br][br] [math]\text{S:}\left\{P+t\vec{v}\mid P\in\beta,t\in\mathbb{R}\right\}[/math][br][br][br]A seguir, apresentamos nos applets uma curva diretriz, um vetor paralelo as geratrizes e a superfície cilíndrica gerada.[br]
Vamos demonstrar esse conceito através de alguns exemplos.[br][br]Vamos aplicar os conceitos já apresentados. Através da curva diretriz e do vetor diretor das geratrizes, determine a equação paramétrica da superfície e esboce-a.[br][br][b]Exemplo 1: Parametrização do cilindro circular reto[br][br][/b]Consideramos [math]C[/math] o círculo sobre o plano [math]\pi_{XY}[/math] de centro a origem e raio [math]R[/math] como a curva diretriz e [br][math]\vec{v}=\left(0,0,1\right)[/math], o vetor paralelo às geratrizes.[br][br]Uma parametrização de [math]C[/math] é dado por:[br][br] [math]\gamma\left(t\right):\text{\begin{cases} x(t) = R.sen(t) \\ y(t) = R.cos(t) \\ z(t) = 0 \end{cases}},\quad\forall t\in\mathbb{R}[/math] [br][br]Uma parametrização do cilindro circular reto vem dado por:[br][br] [math]f\left(t,s\right)=\left(R.cos\left(t\right),R.sen\left(t\right),0\right)+s\left(0,0,1\right)=\left(R.cos\left(t\right),R.sen\left(t\right),s\right),\quad s,t\in\mathbb{R}[/math]
[b]Caso particular com R=1.[/b]
Seja [math]C[/math] uma curva e [math]r[/math] uma reta contida num plano [math]\pi[/math].[br]A superfície de revolução [math]S[/math] de geratriz [math]C[/math] e eixo de revolução [math]r[/math] é a superfície descrita pela rotação da[br]curva [math]C[/math] em torno da reta [math]r[/math].[br]Suponha que a curva se encontra no plano [math]\pi_{XY}[/math] e queremos fazer a rotação da curva ao redor do eixo[br][math]OZ[/math].[br]Suponha também que a curva tem a seguinte parametrização:[br] [br] [math]\gamma\left(t\right):\text{\begin{cases} x(t) = \alpha(t) \\ y(t) = 0 \\ z(t) = \beta(t) \end{cases}},[/math]
Em um plano [math]\overline{\pi}_{XZ}[/math] tomamos o ponto P o qual gira em torno do eixo [math]OZ[/math] fazendo um certo ângulo [math]\theta[/math] sendo assim o ponto [math]P'[/math] no mesmo plano. Agora precisamos encontrar as coordenadas de [math]P'=\left(x',y',z'\right)[/math].
Segundo o desenho temos que:[br][br] [math]cos\left(\theta\right)=\frac{x'}{\alpha\left(t\right)},\quad sen\left(\theta\right)=\frac{y'}{\alpha\left(t\right)},\quad z'\left(\theta\right)=\beta\left(t\right)[/math][br][br]assim[br][br] [math]x'=cos\left(\theta\right)\alpha\left(\theta\right),\quad y'=sen\left(\theta\right)\alpha\left(\theta\right),\quad z'=\beta\left(t\right)[/math][br][br]logo, a parametrização da superfície obtida ao fazer a rotação da curva [math]γ\left(t\right)[/math] do plano [math]\pi_{XZ}[/math] ao redor do[br]eixo [math]OZ[/math] será:[br][br] [math]f\left(\theta,t\right)=\left(cos\left(\theta\right)\alpha\left(t\right),sin\left(\theta\right)\alpha\left(t\right),\beta\left(t\right)\right)[/math][br][br]onde [math]\theta\in\left[0,2\pi\right][/math] e [math]t\in?[/math]
[b]Exemplo 2: A esfera[br][br][/b]Consideramos o círculo [math]C[/math] de raio [math]R[/math] e centro na origem no plano [math]\pi_{XY}[/math] e fazendo rotação ao redor do[br]eixo [math]OZ[/math] obteremos a esfera.[br]A parametrização do círculo [math]C[/math] é:[br][br] [math]C\left(t\right):\text{\begin{cases} x(t) = R.cos(t)\\ y(t) = 0 \\ z(t) = R.sen(t) \end{cases} }\quad\forall t\in\left[-\pi,\pi\right][/math]
Aplicando a parametrização ao fazer a rotação ao redor do eixo [math]OZ[/math], obtemos:[br][br] [math]f\left(t,\theta\right)=\left(R.cos\left(t\right)cos\left(\theta\right),R.cos\left(t\right)sen\left(\theta\right),R.sin\left(t\right)\right)[/math][br][br]onde [math]t\in\left[-\pi,\pi\right][/math] e [math]\theta\in\left[0,2\pi\right][/math].
[b]Exemplo 3: Toro[br][/b][br]Para isso consideramos o círculo [math]C_1[/math] de raio [math]R[/math] e centro (0, 0, 0) no plano [math]\pi_{XY}[/math] e fazendo a rotação ao[br]redor do eixo [math]OZ[/math].[br]Chamamos [math]R[/math] à distância do centro ao eixo de rotação, assim temos o círculo [math]C_2[/math] de raio [math]R[/math]. Esta[br]superfície gerada por [math]C_1[/math] é chamada de toro.
A parametrização do círculo [math]C_1[/math] é: [br][br] [math]C_1\left(t\right):\text{\begin{cases} x(t) = r.cos(t) \\ y(t) = 0 \\ z(t)= r.sen(t) \end{cases} }\forall t\in\left[0,2\pi\right][/math][br][br]aplicando a parametrização ao fazer a rotação ao redor do eixo [math]OZ[/math], a parametrização do toro será:[br][br] [math]f\left(t,\theta\right)=\left(\left(R+r\cdot cos\left(t\right)\right)cos\left(\theta\right),\left(R+r\cdot cos\left(t\right)\right)sen\left(\theta\right),r\cdot sen\left(t\right)\right)[/math][br][br]onde [math]\theta,t\in\left[0,2\pi\right][/math]
Coordenadas polares
Relações entre coordenadas cartesianas e coordenadas polares
Neste tópico, veremos uma forma diferente de representar um ponto do plano. De fato, o plano cartesiano é muito utilizado. Entretanto, o motivo de trocarmos a maneira de escrever o ponto é que, às vezes, algumas curvas no plano são mais simples de serem representadas por equações polares.[br][br]Seja [math]Or\theta[/math] o sistema de coordenadas polares no plano. Considere [math]OXY[/math] o sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, tal que o eixo polar seja o semieixo positivo [math]OX[/math] e o eixo[math]-OY[/math] seja o obtido do eixo[math]-OX[/math] rotacionado de [math]90^\circ[/math] no sentido anti-horário.[br][br]Considere [math]P\ne O[/math], onde [math]O[/math] é origem, tal que [math]P[/math] esteja no sistema de coordenadas polares [math]\left(Or\theta\right)[/math], ou seja, [math]P=P\left(r,\theta\right)[/math], com [math]r>0,\theta\in\left[0,2\pi\right][/math] [i](na realidade, [/i][math]\theta[/math][i] pode ser menor que [/i][math]0[/math][i] ou maior que [/i][math]2\pi[/math][i], mas isso é considerado como voltas no círculo trigonométrico, então consideramos o ângulo principal, que é aquele presente no intervalo [/i][math]\left[0,2\pi\right][/math][i])[/i]. Esse mesmo ponto em coordenadas cartesianas [math]\left(OXY\right)[/math] seria da forma [math]P=P\left(x,y\right)[/math]. As relações entre tais coordenadas são dadas por:[br][center][math]x=r\cos\left(\theta\right)[/math][br][math]y=r\text{sen}\left(\theta\right)[/math][/center]A partir delas, conseguimos chegar em outras duas relações, que também podem ser úteis:[table][tr][td][center][math]x=r\cos\left(\theta\right)\Rightarrow x^2=r^2\cos^2\left(\theta\right)[/math][/center][/td][td][center][math]y=r\text{sen}\left(\theta\right)\Rightarrow y^2=r^2\text{sen}^2\left(\theta\right)[/math][/center][/td][td][center][math]r^2=x^2+y^2\Rightarrow r=\sqrt{x^2+y^2}[/math][/center][/td][/tr][tr][td][center][math]x=r\cos\left(\theta\right)\Rightarrow\cos\left(\theta\right)=\frac{x}{r}[/math][/center][/td][td][center][math]y=r\text{sen}\left(\theta\right)\Rightarrow\text{sen}\left(\theta\right)=\frac{y}{r}[/math][/center][/td][td][center][math]\text{tg}\left(\theta\right)=\frac{y}{x}\Rightarrow\theta=\text{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)[/math][/center][/td][/tr][/table][br][list][*]Em seguida, temos uma espécie de [i]conversor[/i] de coordenadas polares em cartesianas e vice-versa. Sugerimos que selecione uma caixa de cada vez, para melhor visualização. A malha que você vai encontrar pertence ao sistema [math]Or\theta[/math], mas existe também a graduação dos eixos [math]OX[/math] e [math]OY[/math], para facilitar a outra concepção do ponto também.[/*][/list]
Introdução (Traço vs. Gráfico)
Definição
Uma [i]função vetorial [/i][math]F[/math][i] de uma variável real[/i] é uma correspondência, [math]F:Dom\left(F\right)\subseteq\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}^m[/math], que a cada ponto [math]t\in Dom\left(F\right)[/math], associa um e apenas um [math]X=\left(x_1,x_2,...,x_m\right)\in\mathbb{R}^m[/math]. O conjunto [math]Dom(F)[/math] é chamado de domínio de [math]F[/math] e é o maior conjunto onde [math]F[/math] é definida.[br][br]Inicialmente apresentaremos exemplos de funções vetoriais com imagem em [math]\mathbb{R}^2[/math], isto é, [math]F:Dom\left(F\right)\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^2[/math], aonde para cada [math]t\in Dom\left(F\right),F\left(t\right)=\left(x,y\right)[/math].[br][br][br]Posteriormente, apresentaremos exemplos de funções vetoriais com imagem em [math]\mathbb{R}^3[/math], isto é, [math]F:Dom\left(F\right)\subseteq\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}^3[/math], tal que para cada [math]t\mapsto F\left(t\right)=\left(x,y,z\right)[/math], onde [math]t\in Dom\left(F\right)[/math].[br][br]De uma maneira cotidiana, chamamos a função [math]F[/math] de [math]\vec{r}[/math] ou [math]r[/math], como pode-se ver na seção abaixo.
Traço X Gráfico
Não podemos confundir esses dois termos. Considere uma função da forma:[br][center][math]F:Dom\left(F\right)\subseteq\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}^2[/math], tal que [math]t\mapsto\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)[/math][/center]O conjunto [math]Im\left(F\right)=\left\{\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)\in\mathbb{R}^2\mid t\in Dom\left(F\right)\right\}[/math] é chamado conjunto imagem da função vetorial de uma variável [math]F[/math]. Note que é um conjunto de [math]\mathbb{R}^2[/math]. Por outro lado, o conjunto [math]G\left(F\right)=\left\{\left(t,x\left(t\right),y\left(t\right)\right)\in\mathbb{R}^3\mid t\in Dom\left(F\right)\right\}[/math] representa o gráfico da mesma função. Note que desta vez, o conjunto está em [math]\mathbb{R}^3[/math], ou seja, diferente da dimensão da imagem.[br][br][list][*]Os exemplos abaixo trazem a ideia abordada nesta seção. Note que na tela da esquerda, está presente a imagem da função vetorial. Por outro lado, na tela direita há o gráfico da [i]mesma[/i] função vetorial.[/*][/list]
[b][i]* O conteúdo apresentado foi gerado através das notas da professora Denise de Oliveira Pinto, do Departamento de matemática aplicada da Universidade Federal Fluminense*[/i][/b]
Domínio e imagem de uma função escalar de várias variáveis.
Definição
Dado um conjunto [math]Dom\left(F\right)\subseteq\mathbb{R}^n[/math] com [math]n\ge2[/math], uma função escalar [math]F[/math] de várias variáveis é uma correspondência, [math]F:Dom\left(F\right)\subseteq R^n\rightarrow\mathbb{R}[/math], que a cada coordenada [math]t\in Dom\left(F\right)[/math] na forma [math]t=\left(t_1,t_2,...,t_n\right)[/math], associa um e apenas um [math]z\in\mathbb{R}[/math]. No nosso caso trabalharemos com funções escalares com domínio sendo um subconjunto de [math]R^2[/math] ou [math]R^3[/math]. Logo nossa função será de uma das seguintes formas:[br][list][*] [math]F:Dom\left(F\right)\subseteq\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}[/math], tal que para cada [math]\left(x,y\right)\mapsto z[/math], onde [math]\left(x,y\right)\in Dom\left(F\right)[/math].[/*][*] [math]F:Dom\left(F\right)\subseteq\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}[/math], tal que para cada [math]\left(x,y,z\right)\mapsto t[/math], onde [math]\left(x,y,z\right)\in Dom\left(F\right)[/math].[/*][/list][br]Nos recursos abaixo é possível observar algumas funções escalares polinomiais com duas variáveis, algumas funções racionais e funções escalares básicas.[br][br][color=#ff0000]Obs: Sugerimos que ative uma função por vez, para uma melhor visualização do esboço. Para isso, desative a caixa clicando novamente antes de prosseguir para uma nova função.[/color]
Polinomiais
Exemplos básicos
No recurso abaixo é possível observar que, através do isolamento de uma variável e sua restrição para valores positivos ou negativos, é possível gerar uma função escalar de várias variáveis a partir de uma Superfície Quádrica (apresentada no capítulo 4 dessa obra).[br][br][color=#ff0000]Obs: No applet abaixo as barras deslizantes referem-se aos coeficientes das funções. Para uma melhor compreensão, ative a caixa de uma função e observe o que ocorre ao variar os valores de a, b e c.[/color]
Definição
O domínio de uma função [math]F:Dom\left(F\right)\subseteq\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}[/math], com [math]n\ge2[/math], é conjunto de pontos na forma [math]\left(x_1,x_2,...,x_n\right)[/math] que quando aplicados em [math]F[/math] retornam um valor real, ou seja, [math]F\left(x_1,x_2,...,x_n\right)\mapsto z[/math] com [math]z\in\mathbb{R}[/math]
Definição
A imagem de uma função [math]F:Dom\left(F\right)\subseteq\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}[/math], com[math]n\ge2[/math], é o subconjunto da reta real que é gerado pela função ao ser aplicada nos pontos do domínio. Ou seja, [math]z\in Im\left(F\right)[/math] se [math]\exists\left(x_1,x_2,...,x_n\right)\in Dom\left(F\right)[/math]tal que [math]F\left(x_1,x_2,...,x_n\right)\mapsto z[/math].[br]Observe os exemplos a seguir, neles é possível observar o domínio a esquerda, o esboço da função ao centro e o subconjunto da reta real que forma a imagem a direita.[br] No domínio, as barras deslizantes definem os valores embutidos na função. No gráfico, é possível manipular o ponto (x,y) a esquerda e observar a coordenada (x,y,z) percorrer a superfície.[br][br][color=#ff0000]Obs: Caso o ponto (x,y) retorne um ponto (x,y, f(x,y)) que não apareça na superfície, afaste o gráfico central para uma melhor visualização.[/color]
[b][i]* O conteúdo apresentado foi gerado através das notas da professora Denise de Oliveira Pinto, do Departamento de Matemática Aplicada da Universidade Federal Fluminense*[/i][/b]
Funções vetoriais de várias variáveis reais
[b]Definição:[br][/b]Uma [i]função vetorial [/i][math]F[/math][i] de várias variáveis reais[/i] é uma correspondência, [math]F:Dom\left(F\right)\subseteq\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m[/math], que a cada ponto [math]X=\left(x_1,x_2,...,x_n\right)\in Dom\left(F\right)[/math], associa um e apenas um [math]Y=\left(y_1,y_2,...,y_m\right)\in\mathbb{R}^m[/math], tal que [math]F\left(X\right)=Y[/math]. O conjunto [math]Dom(F)[/math] é chamado de domínio de [math]F[/math] e é o maior conjunto onde [math]F[/math] é definida.[br][br]Inicialmente apresentaremos exemplos de funções [math]F:Dom\left(F\right)\subseteq\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^3[/math], aonde para cada [math]\left(u,v\right)\in Dom\left(F\right),F\left(u,v\right)=\left(x,y,z\right)[/math]. Elas se relacionam com [b]parametrização de superfícies[/b]. [br][br][br]Posteriormente, apresentaremos exemplos de funções [math]F:Dom\left(F\right)\subseteq\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2[/math], aonde para cada [math]\left(u,v\right)\in Dom\left(F\right),F\left(u,v\right)=\left(x,y\right)[/math]. E de funções de [math]F:Dom\left(F\right)\subseteq\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3[/math], aonde para cada [math]\left(u,v,w\right)\in Dom\left(F\right),F\left(u,v,w\right)=\left(x,y,z\right)[/math]. Elas representarão [b]transformações[/b] no plano e no espaço, respectivamente. [br][br]Finalmente, apresentaremos exemplos de funções [math]F:Dom\left(F\right)\subseteq\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2[/math], aonde [math]F[/math] associa a cada ponto do domínio um único vetor no plano. Estas funções são chamadas de [b]campos vetoriais[/b].
Imagem X gráfico
Não podemos confundir esses dois termos. Considere uma função da forma:[br] [br] [math]F:Dom\left(F\right)\subseteq\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m[/math], tal que [math]X=\left(x_1,x_2,..,x_n\right)\mapsto F\left(X\right)=\left(f_1\left(X\right),f_2\left(X\right),...,f_m\left(X\right)\right)[/math][br][br]O conjunto [math]Im\left(F\right)=\text{\{}F\left(X\right)\in\mathbb{R}^m\mid X\in Dom\left(F\right)\text{\}}[/math] é chamado conjunto imagem da função vetorial de [math]n[/math] variáveis reais de [math]F[/math]. Note que é um conjunto de [math]\mathbb{R}^m[/math]. Por outro lado, o conjunto [math]G\left(F\right)=\text{\{}\left(X,F\left(X\right)\right)\in\mathbb{R}^{n+m}\mid X\in Dom\left(F\right)\text{\}}[/math] representa o gráfico da mesma função. Note que desta vez, o conjunto está em [math]\mathbb{R}^{n+m}[/math]. [br][br]Neste capítulo [math]n,m\ge2[/math], portanto os gráficos estarão em [math]\mathbb{R}^4,\mathbb{R}^5,[/math]etc..., daí não poderemos esboçá-los. Somente poderemos esboçar o conjunto imagem que será um subconjunto de [math]\mathbb{R}^2[/math] ou [math]\mathbb{R}^3[/math].
[br]A seguir, apresentaremos exemplos de funções [math]F:Dom\left(F\right)\subseteq\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^3[/math], aonde o conjunto imagem são algumas superfícies conhecidas. Elas são parametrizações das respectivas superfícies.
A seguir, apresentaremos exemplos de funções [math]F:Dom\left(F\right)\subseteq\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2[/math] e veremos como elas transformam figuras do plano.
A seguir, apresentaremos exemplos de funções [math]F:Dom\left(F\right)\subseteq\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3[/math] e veremos como elas transformam superfície do espaço
A seguir, apresentaremos exemplos de funções [math]F:Dom\left(F\right)\subseteq\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2[/math], aonde [math]F[/math] associa a cada ponto do domínio um único vetor no plano. Estas funções são chamadas de campos vetoriais. Os seguintes applets ilustram o campo de vetores dado pelo vetor gradiente de uma função [math]f:Dom\left(f\right)\subseteq\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}[/math] em cada ponto do domínio de [math]f[/math], isto é, [math]F\left(x,y\right)=\nabla f\left(x,y\right)[/math]. A função [math]f[/math] é chamada de função potencial do campo vetorial [math]F[/math].[br]Para ajudar na visualização, divideremos o vetor gradiente pela sua norma. Assim os vetores todos terão mesma direção que o campo gradiente mas com módulo deles será 1.
A seguir, apresentaremos exemplos de funções [math]F:Dom\left(F\right)\subseteq\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3[/math], aonde [math]F[/math] associa a cada ponto do domínio um único vetor no plano. Estas funções são chamadas de campos vetoriais. Os seguintes applets ilustram o campo de vetores dado pelo vetor gradiente de uma função [math]f:Dom\left(f\right)\subseteq\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}[/math] em cada ponto do domínio de [math]f[/math], isto é, [math]F\left(x,y,z\right)=\nabla f\left(x,y,z\right)[/math]. A função [math]f[/math] é chamada de função potencial do campo vetorial [math]F[/math].[br]Para ajudar na visualização, divideremos o vetor gradiente pela sua norma. Assim os vetores todos terão mesma direção que o campo gradiente mas com módulo deles será 1.
Os applets são abertos para o leitor. Sinta-se livre para definir as coordenadas de cada função e gerar seu campo vetorial, no [math]\mathbb{R}^2[/math] ou no [math]\mathbb{R}^3[/math], respectivamente.
[b][i]* O conteúdo apresentado foi gerado através das notas da professora Denise de Oliveira Pinto, do Departamento de Matemática Aplicada da Universidade Federal Fluminense*[/i][/b]