Soit un triangle sphérique [math]\triangle ABC[/math]. Par définition, on sait que ses côtés sont compris dans l'intervalle [math]]0\degree; 180\degree[[/math]. Bêtement, l'on trouve que[br][br][center][math]0\degree< a + b + c < 180\degree + 180\degree + 180\degree = 540\degree[/math][/center]Mais l'on peut faire mieux.

Les trois sommets avec le centre de la sphère forment un tétraèdre. Puisque les côtés du triangle sphérique sont des angles au centre de la sphère, les côtés du triangle sphérique sont les trois angles au sommet du tétraèdre.

Comme on le voit sur l'appliquette ci-dessous, si l'on écrase le point [math]O[/math] sur le plan [math]ABC[/math] et qu'on regarde ce plan de haut, on constate que :[br][br][center][math]\angle BOC+\angle AOC+\angle AOB=360\degree[/math][/center]

Or, à mesure que s'élève le point [math]O[/math] au-dessus du plan, les angles [math]\angle BOC[/math], [math]\angle AOC[/math] et [math]\angle AOB[/math] deviennent de plus en plus petits. On a donc, dans un tétraèdre, que[br][br][center][math]\underbrace{\angle BOC}_{=\ a}+\underbrace{\angle AOC}_{=\ b}+\underbrace{\angle AOB}_{=\ c} < 360\degree[/math][/center]Puisque ces angles sont les longueurs des côtés de notre triangle sphérique, on conclut que[br][br][center][math]\boxed{0\degree < a+b+c < 360\degree}[/math][/center]