Ebben a tananyag egységben két gombot ([math]f(x)+g(x),\; f(x)-g(x)[/math]) és két beviteli mezőt ([math]f(x),\; g(x)[/math]) látsz. Ne feledd, hogy míg az [math]f(x)+g(x)[/math] művelet kommutatív, ezért a függvények választásánál mindegy, hogy melyik az [math]f(x)[/math], illetve a [math]g(x)[/math], addig ugyanez a kivonásnál már nem igaz! A gombok benyomásával kiválaszthatod, hogy melyik függvényműveletet szeretnéd elvégezni. [br]A beviteli mezőkbe írd bele a kiválasztott függvény nevét! Tetszőlegesen választhatsz az alábbi függvények közül:

[table][tr][td][size=100]Függvény neve és hozzárendelési szabálya[/size][/td][td][size=100]Jelölések[/size][/td][/tr][tr][td][size=100]lineáris függvény: [math]f\left ( x \right )=x[/math][/size][/td][td][size=100]x[/size][/td][/tr][tr][td][size=100]abszolútérték-függvény: [math]x↦|x|[/math][/size][/td][td][size=100]abs(x)[/size][/td][/tr][tr][td][size=100]négyzetgyökfüggvény: [math]x↦\sqrt{x}[/math][/size][/td][td][size=100]sqrt(x)[/size][/td][/tr][tr][td][size=100]köbgyökfüggvény: [math]x\longrightarrow\sqrt[3]{x}[/math][/size][/td][td][size=100]cbrt(x)[/size][/td][/tr][tr][td][size=100][math]n[/math]-edik gyök függvény: [math]x\longrightarrow\sqrt[n]{x}[/math][/size][/td][td][size=100]Gyökvonás(x,n)[/size][/td][/tr][tr][td][size=100]másodfokú függvény: [math]x↦x^2[/math][/size][/td][td][size=100]x^2[/size][/td][/tr][tr][td][size=100]szinuszfüggvény: [math]x↦sinx[/math][/size][/td][td][size=100]sin(x)[/size][/td][/tr][tr][td][size=100]koszinuszfüggvény: [math]x↦cosx[/math][/size][/td][td][size=100]cos(x)[/size][/td][/tr][tr][td][size=100]tangensfüggvény: [math]x↦tgx[/math][/size][/td][td][size=100]tg(x)[/size][/td][/tr][tr][td][size=100]kotangensfüggvény: [math]x↦ctgx[/math][br][/size][/td][td][size=100]ctg(x)[br][/size][/td][/tr][tr][td][size=100]exponenciális függvény: [math]x↦e^x[/math][br][/size][/td][td][size=100]exp(x)[br][/size][/td][/tr][tr][td][size=100]logaritmusfüggvény:[br][math]x↦log_ax[/math], ha [math]a>0[/math] és [math]a≠1[/math][br][/size][/td][td][size=100]log(a,x)[br][/size][/td][/tr][/table]

Ne feledd, hogy az eredményt (ábrát) befolyásolja, hogy melyik függvényt választod kisebbítendő, illetve kivonandó függvénynek! Hasonlítsd össze a keletkezett ábrát a választott függvények képeivel. Hasonlítsd össze, hogyan változik meg az ábra, ha megcseréled a függvényeket! Figyeld meg, hogy a függvény grafikonja szempontjából mit jelent az, hogy ha a két függvényt megcseréljük!

[list][*][size=100]Melyik két függvényt választottad?[br][/size][/*][*][size=100]Milyen ezeknek a grafikonja?[br][/size][/*][*][size=100]Hasonlít valamelyikre bármilyen szempontból a két függvény összegének / különbségének a képe?[br][/size][/*][*][size=100]Milyen változást látsz az [math]f[/math] és [math]g[/math] képeihez képest az összegfüggvény esetén?[br][/size][/*][*][size=100]Milyen változást látsz az [math]f[/math] és [math]g[/math] eredeti képeihez képest a különbségfüggvény esetén?[br][/size][/*][*][size=100]Milyen változást látsz az [math]f[/math] és [math]g[/math] képeihez képest a különbségfüggvény esetén, ha megcseréled a két függvényt?[br][/size][/*][*][size=100]Milyen kapcsolat van a különbségfüggvények grafikonjai között?[br][/size][/*][*][size=100]Vizsgáld meg az [math]f[/math] és [math]g[/math] függvények értelmezési tartományát, melyik halmaz választható az összeg (különbség) függvény értelmezési tartományának? Ellenőrizd a kapott grafikonok alapján, hogy jól gondoltad-e![/size][/*][/list]

A tananyag egységben két gombot ([math]f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)[/math] és [math]\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}[/math]) és két beviteli mezőt ([math]f\left ( x \right )[/math] és [math] \ g\left ( x \right )[/math]) láthatsz. [br][br]Figyelj oda arra, hogy míg az [math]f\left ( x \right )\cdot \ g\left ( x \right ) [/math] művelet kommutatív, ezért a függvények választásánál mindegy, hogy melyik az  [math]f\left(x\right)[/math], illetve a [math]g\left(x\right)[/math], addig ugyanez a másik műveletre már nem igaz![br][br]A gombok benyomásával tudod kiválasztani, hogy melyik függvényműveletet szeretnéd elvégezni. [br]A beviteli mezőkbe írd bele a kiválasztott függvény nevét![br][br]Hasonlítsd össze a keletkezett ábrát a választott kiindulási függvények képeivel![br]Figyeld meg, hogyan változik meg az ábra, ha megcseréled a függvényeket! Mit gondolsz, a függvény grafikonja szempontjából mit jelent az, ha a két függvényt megcseréled? [br]Mit tapasztalsz? Mit gondolsz, mi lehet ennek az oka?[br][br]Tetszőlegesen választhatsz az alábbi függvények közül:[br][table][tr][td]Függvény neve és hozzárendelési szabálya[br] [/td] [td][br] Jelölések[br] [/td] [/tr] [tr] [td][br] lineáris függvény:  [br] [/td] [td][br] x[br] [/td] [/tr] [tr] [td][br] abszolútérték-függvény:  [br] [/td] [td][br] abs(x)[br] [/td] [/tr] [tr] [td][br] négyzetgyökfüggvény:  [br] [/td] [td][br] sqrt(x)[br] [/td] [/tr] [tr] [td][br] köbgyökfüggvény: [br] [/td] [td][br] cbrt(x)[br] [/td] [/tr] [tr] [td][br] n-edik gyök függvény: [br] [/td] [td][br] Gyökvonás(x,n)[br] [/td] [/tr] [tr] [td][br] másodfokú függvény:  [br] [/td] [td][br] x^2[br] [/td] [/tr] [tr] [td][br] szinuszfüggvény: [br] [/td] [td][br] sin(x)[br] [/td] [/tr] [tr] [td][br] koszinuszfüggvény:  [br] [/td] [td][br] cos(x)[br] [/td] [/tr] [tr] [td][br] tangensfüggvény:  [br] [/td] [td][br] tg(x)[br] [/td] [/tr] [tr] [td][br] kotangensfüggvény:  [br] [/td] [td][br] ctg(x)[br] [/td] [/tr] [tr] [td][br] exponenciális függvény:  [br] [/td] [td][br] exp(x)[br] [/td] [/tr] [tr] [td][br] logaritmusfüggvény: [br] [br] [/td] [td][br] log(a,x)[br] [/td] [/tr][/table]

Melyik két függvényt választottad? Milyen ezeknek a grafikonja?

Hasonlít valamelyikre bármilyen szempontból a két függvény szorzatának / hányadosának a képe?

Milyen változást látsz az [math]f[/math] és [math]g[/math] függvények képeihez képest a szorzatfüggvény esetén?

Milyen változást látsz az [math]f[/math] és [math]g[/math] függvények képeihez képest a hányadosfüggvény esetén?

Milyen változást látsz az [math]f[/math] és [math]g[/math] függvények képeihez képest a hányadosfüggvény esetén, ha megcseréled a két függvényt?

Milyen kapcsolat van a kétféle hányadosfüggvény grafikonja között? 

Vizsgáld meg az [math]f[/math] és [math]g[/math] függvények értelmezési tartományát!  Határozd meg, hogy mely halmazokon lehet értelmezni a szorzat-, illetve hányadosfüggvényt.[br]Ellenőrizd a grafikon segítségével, hogy jó volt-e a sejtésed!

Ebben a tananyag egységben két gombot ([math]f\left(g\left(x\right)\right)[/math] és [math]g\left(f\left(x\right)\right)[/math]) és két beviteli mezőt ([math]f\left ( x \right )[/math] és [math]g\left ( x \right )[/math]) látsz.[br][br]Az [math]f\left(g\left(x\right)\right)[/math] függvény jelöli azt az állapotot, amikor a [math]g\left(x\right)[/math] a belső függvény, [math]g\left(f\left(x\right)\right)[/math] pedig, amikor a [math]g\left(x\right)[/math] a külső függvény.[br][br]A gombok benyomásával tudod kiválasztani, hogy melyik függvényt szeretnéd külső függvénynek választani. A beviteli mezőkbe írd bele a kiválasztott függvény nevét! Tetszőlegesen választhatsz az alábbi táblázatban megadott függvények közül.[br][br]Ne feledd, hogy az eredményt (ábrát) befolyásolja, hogy melyik függvényt választod külső, illetve belső függvénynek![br][br][table][tr][td][br] Függvény neve és hozzárendelési szabálya[br] [/td] [td][br] Jelölés a programban[br] [/td] [/tr] [tr] [td][br] lineáris függvény:  [br] [/td] [td][br] x[br] [/td] [/tr] [tr] [td][br] abszolútérték-függvény:  [br] [/td] [td][br] abs(x)[br] [/td] [/tr] [tr] [td][br] négyzetgyökfüggvény:  [br] [/td] [td][br] sqrt(x)[br] [/td] [/tr] [tr] [td][br] köbgyökfüggvény: [br] [/td] [td][br] cbrt(x)[br] [/td] [/tr] [tr] [td][br] n-edik gyök függvény: [br] [/td] [td][br] gyökvonás(x,n)[br] [/td] [/tr] [tr] [td][br] másodfokú függvény:  [br] [/td] [td][br] x^2[br] [/td] [/tr] [tr] [td][br] szinuszfüggvény: [br] [/td] [td][br] sin(x)[br] [/td] [/tr] [tr] [td][br] koszinuszfüggvény:  [br] [/td] [td][br] cos(x)[br] [/td] [/tr] [tr] [td][br] tangensfüggvény:  [br] [/td] [td][br] tg(x)[br] [/td] [/tr] [tr] [td][br] kotangensfüggvény:  [br] [/td] [td][br] ctg(x)[br] [/td] [/tr] [tr] [td][br] exponenciális függvény:  [br] [/td] [td][br] exp(x)[br] [/td] [/tr] [tr] [td][br] logaritmusfüggvény: [br] [br] [/td] [td][br] log(a,x)[/td][/tr][/table]

Hasonlítsd össze a keletkezett ábrát a választott függvények képeivel! [br][br]Vizsgáld meg, hogyan változik meg az ábra, ha megcseréled a külső és belső függvényeket! [br][br]Fogalmazd meg, hogy a függvény grafikonja szempontjából mit jelent az, hogy külső függvény, illetve hogy belső függvény!

Melyik két függvényt választottad?[br][br]Milyen az eredeti függvények képe? (A grafikont értékkészlet, zérushely, szélsőérték, paritás, korlátosság szempontjából egyaránt érdemes vizsgálni.)[br][br]Az eredeti függvényeid közül melyik függvényre jellemző az a grafikon, amit kompozícióként látsz?[br][br]Melyik volt a külső függvényed?[br][br]Mi történik, ha a másikat választod külső függvénynek? Hogyan változik az ábrád?[br][br]Mi a különbség a két ábra között? [br][br]Vizsgáld meg a függvények értelmezési tartományát is! Ebből a szempontból is hasonlítsd össze az eredeti és a kompozíciókkal kapott függvényeket!

Gondoltam egy számot, hozzáadtam hetet, megszoroztam kettővel, majd az egészet kivontam százból. Végeredményül 66-ot kaptam. Melyik volt a gondolt szám?

Vizsgáld meg az interaktív alkalmazás segítségével pár ismert függvény grafikonjának az [math]x=y[/math] tengelyre vett tükörképét! Hogyan kapcsolódik ez az eljárás az előbbi feladathoz? Hasonlítsd össze az inverzeket a tükörképekkel! Vizsgáld meg a tükrözéseket és inverzeket intervallumon megadott függvény esetén is! Mely esetekben van egyezés, és melyekben nincs, vagy csak részben van? A nem egyezők közül melyik javítható valamilyen egyszerű módosítással, például eltolással?

Vizsgáld meg először a lineáris, a páratlan kitevőjű hatvány, majd az exponenciális és logaritmus függvények tükörképeit! Pipáld be a Tükrözés jelölőnégyzetet! Például a következő függvényeket:[br]a) [math]f\left(x\right)=2x[/math]; [br]b) [math]g\left(x\right)=\frac{1}{x}[/math];[br]c) [math]h\left(x\right)=\frac{2}{x}[/math];[br]d) [math]i\left(x\right)=x^3[/math]; [br]e) [math]j\left(x\right)=\sqrt[3]{x}[/math];[br]f) [math]k\left(x\right)=2^x[/math]; [br]g) [math]l\left(x\right)=log_2x[/math].

Vizsgáld meg az előbbi függvények inverzeit! Pipáld be az Inverz jelölőnégyzetet! Mit veszel észre?

Vizsgáld meg az előbbi függvényeket és inverzeiket egy-egy intervallumra szűkítve is! Pipáld be az Intervallum jelölőnégyzetet! Ha a rajzlapon szeretnéd beállítani az intervallumot, pipáld be az újonnan megjelenített csúszkák jelölőnégyzetet. Ez némiképp lassítja a programot. Milyen megszorítást jelent ez az inverzfüggvényre nézve?

Hasonlítsd össze a következő függvények tükörképeit az inverzeikkel:[br]a) [math]m\left(x\right)=|x|[/math];[br]b) [math]n\left(x\right)=x^2[/math];[br]c) [math]o\left(x\right)=\sqrt{x}[/math]; [br]d) [math]p\left(x\right)=sin\left(x\right)[/math];[br]e) [math]q\left(x\right)=cos\left(x\right)[/math];[br]f) [math]r\left(x\right)=tg\left(x\right)[/math].

Vizsgáld meg, hogyan hatnak az inverzekre az ismert függvénytranszformációk! Használd a csúszkákat, vagy a mellettük lévő beviteli mezőket! Ha intervallumra szűkítve szeretnéd használni a csúszkákat, pipáld be a csúszkák jelölőnégyzetet. Figyelem! Ez igen lassú lehet, légy türelemmel, ha ezt választod.

Vizsgáljuk meg a trigonometrikus függvények inverzeit és tükörképeit egy-egy periódusra, félperiódusra szűkítve is! Mozgathatod az intervallum széleit jelző pontokat, de meg is adhatod azokat a Kezdőpont, illetve Végpont beviteli mezők segítségével!