Gegeben sind die beiden Vektoren [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}[/math], die jeweils mit den Skalaren [math]k_1[/math] beziehungsweise [math]k_2[/math] gestreckt werden können. Die beiden so gestreckten Vektoren werden dann zu einem Summenvektor addiert.[br]Ein solcher Summenvektor heisst Linearkombination der Vektoren [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}[/math].
Verändere die beiden Skalare [math]k_1[/math] und [math]k_2[/math] und beobachte wie sich der Summenvektor verändert.[br]Versuche durch geeignete Wahl der Skalare den angezeigten Vektor [math]\vec{p}[/math] zu erstellen. Welche Einstellungen braucht man dazu?
Mit den Einstellungen [math]k_1=-2[/math] und [math]k_2=2[/math] erhält man den gesuchten Vektor.
Findest du einen Punkt P, der nicht durch eine Linearkombination aus [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}[/math] dargestellt werden kann?
Nein, es gibt keinen solchen Punkt auf der Ebene, da die beiden gegebenen Vektoren Basisvektoren sind.
Man kann die Basisvektoren mit Hilfe der Endpunkte und deren Länge verändern. Tu dies und finde eine Einstellung bei der nicht mehr alle Punkte P als Linearkombination dargestellt werden können.[br]Welche Bedingungen müssen erfüllt sein?
Die beiden Vektoren [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}[/math] müssen parallel zueinander liegen. Vektoren, die in der Ebene parallel liegen nennt man kollinear.
Stelle nun die Starteinstellungen wieder her (Refresh-Symbol drücken), und lass dir die 3-D-Ansicht anzeigen. [br]Hier lässt sich zusätzlich ein dritter Vektor [math]\vec{c}[/math] anzeigen. Wiederhole die Aufgaben 1 bis 3 im Dreidimensionalen Fall mit den drei Vektoren [math]\vec{a}[/math], [math]\vec{b}[/math] und [math]\vec{c}[/math].[br]Welche Unterschiede und welche Gemeinsamkeiten zum Zweidimensionalen Fall findest du?
Im Grundsatz bleiben alle Aussagen aus dem 2-dimensionalen Fall identisch. In 3-Dimensionen benötigt man jedoch alle 3 Vektoren um eine Basis für den Raum zu bilden. [br]Liegen alle drei Vektoren in einer Ebene (komplanare Vektoren), so spannen sie nicht den gesamten Raum auf und man kann nicht alle Punkte P im Raum durch eine Linearkombination erreichen.