[list][*]Agora que compreendemos como as operações entre constantes e funções afetam os gráficos, vamos passar para a parte de como a composição de funções através das quatro operações básicas afetam os gráficos também.[/*][/list][list][*]Começaremos aqui com a soma e subtração de funções, apresentando a visualização geométrica e a explicação algébrica.[/*][/list]

[b][size=200]Soma[/size][/b]

Quando nós somamos duas funções nós estamos fazendo basicamente um cálculo de soma de polinômios, ou seja, se somarmos uma função polinomial com uma função de monômios iremos gerar uma terceira função que vai manter o grau da função de maior grau.[br][br]Veja o exemplo a seguir:[br][br]Temos as seguintes funções [math]f\left(x\right)=2x-3[/math] e [math]g\left(x\right)=3x^2-9x-7[/math], ao realizarmos a soma obtermos a função [math]h\left(x\right)[/math] pois:[br][math]\left(f+g\right)\left(x\right)=\left(2x+3\right)\left(3x^2-9x-7\right)[/math][br][math]\left(f+g\right)\left(x\right)=3x^2+2x-9x-3-7[/math][br][math]\left(f+g\right)\left(x\right)=3x^2-7x-10[/math]

Dado que [math]\text{\(f(x)=x+1\)}[/math] e [math]g\left(x\right)=x^2-2x+5[/math], encontre [math]\left(f+g\right)\left(x\right)[/math].[br][br]Vamos considerar [math]f\left(2\right)[/math] e [math]g\left(2\right)[/math], teremos que: [br][math]f\left(2\right)=2+1[/math][br]Logo, [math]f\left(2\right)=3[/math][br]E [math]g\left(2\right)=2^2-2\cdot2+5[/math][br]Portanto, [math]g\left(2\right)=5[/math][br][br]Sabemos que para [math]f\left(2\right)[/math] teremos [math]y=3[/math], e para [math]g\left(2\right)[/math] teremos [math]y=5[/math].[br]Logo, [math]\left(f+g\right)\left(2\right)=3+5=8[/math][br][br]Podemos visualizar no gráfico a baixo esta mesma operação acontecendo, pois conforme a explicação algébrica que vimos anteriormente obteremos uma nova função a partir da soma de [math]f\left(x\right)[/math] e [math]g\left(x\right)[/math] que também será quadrática e que terá [math]x=2[/math] o [math]y=8[/math].[br]

[b][size=200]Subtração[/size][/b]

De forma similar a soma podemos entender algebricamente o que acontece na subtração entre funções. A diferença que teremos aqui é a de que se os nossos polinômios tiverem o mesmo grau e mesmo coeficiente nós estaremos diminuindo este grau, caso eles sejam diferentes porem de mesmo grau nós estaremos diminuindo os coeficientes e mantendo o grau. Veja os seguintes desenvolvimentos com ambas as situações para compreendermos.[br][br]Temos as seguintes funções [math]f\left(x\right)=4x^2+5x-9[/math] e [math]g\left(x\right)=4x^2+3x+7[/math]. A subtração se dará por [math]\left(f-g\right)\left(x\right)[/math].[br][math]\left(f-g\right)\left(x\right)=\left(4x^2+5x-9\right)-\left(4x^2+3x+7\right)[/math][br][math]\left(f-g\right)\left(x\right)=4x^2+5x-9-4x^2-3x-7[/math][br][math]\left(f-g\right)\left(x\right)=4x^2-4x^2+5x-3x-9-7[/math][br][math]\left(f-g\right)\left(x\right)=2x-16[/math][br][br]O segundo exemplo é se os coeficientes forem diferentes. Vamos utilizar as seguintes funções [math]h\left(x\right)=5x^2+6x+4[/math] e [math]j\left(x\right)=6x^2+7x-9[/math].[br][math]\left(h-j\right)\left(x\right)=\left(5x^2+6x+4\right)-\left(6x^2+7x-9\right)[/math][br][math]\left(h-j\right)\left(x\right)=5x^2-6x^2+6x-7x+4+9[/math][br][math]\left(h-j\right)\left(x\right)=-x^2-x+13[/math][br][br]Observe agora o que acontece com o gráfico das duas novas funções que obtemos a partir da composição das funções originais.

Observe na primeira composição: [img]data:image/png;base64,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[/img].[br][br]Conforme falado na definição, como os coeficientes e o grau são iguais, nós descemos com a função de um grau 2 para grau 1. Logo o nosso gráfico passa de uma parábola (função quadrática) para uma reta (função afim).

Observe na próxima composição: [img]data:image/png;base64,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[/img].[br][br]Diferentemente da primeira função nesta nós temos o mesmo grau de polinômio, entretanto os coeficientes são diferentes. Logo a função mantém o mesmo grau entretanto diminuímos os coeficientes. No nosso exemplo nosso coeficiente a passa a ser negativo o que faz com que nossa parábola mude sua concavidade.