Differentialrechnung
Table of Contents
- Funktionen
- Funktionstyp erkennen
- Die trigonometrischen Funktionen
- Verkettung von Funktionen
- Exponentialfunktion und Umkehrfunktion
- Stetigkeit
- Stetigkeit einer Funktion
- Differenzen- und Differentialquotient
- Differenzen- und Differentialquotient
- Differentialquotient - CAS
- Lupe und Tangente
- Folgenkriterium
- Stetige Fortsetzung der Differenzenquotientenfunktion
- Grafisches Ableiten
- Grafisches Ableiten
- Ableitungsfunktion
- Ableitung elementarer Funktionen
- Ableitungsfunktion
- Weg-Zeit-Diagramm
- Weg-Zeit-Diagramm
- Wichtige Sätze
- Satz von Rolle
- Mittelwertsatz der Differentialrechnung
- Extremwertaufgaben
- Minimaler Flächeninhalt eines Parallelogramms
- Saftbox
- Dose mit minimaler Oberfläche
- Kegel mit eingeschriebenem Zylinder
- Kegel mit eingeschriebenem Zylinder - Teil 2
- Kegel mit eingeschriebenem Prisma
- Anwendungen
- Das Newtonsche Näherungsverfahren
- Newtonsches Näherungsverfahren für Minimum/Maximum
- Taylorpolynome
- Polynomfunktion berechnen 1
- Polynomfunktion berechnen 2
- Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung
- Skischanze
- Differentialgleichungen
- Richtungsfeld für y' = k·y
- Richtungsfeld
- Richtungsfeld (Version 2)
- Laden eines Kondensators
Funktionstyp erkennen
[b]Aufgabe[/b][br]Versuche, den Funktionstyp zu erkennen.
Stetigkeit einer Funktion
Definition: Stetigkeit einer Funktion
Sei f eine Funktion [math]f: D(\subset \mathbb{R}) \to \mathbb{R}[/math] .[br]f heißt [b]stetig [/b]an der Stelle [math]x_0 \quad \Leftrightarrow[/math] [math] \forall \epsilon \in \mathbb{R}^+ \, \exists \delta \in \mathbb{R}^+ \, \forall x \in D, |x-x_0|< \delta : \quad |f(x)-f(x_0)| < \epsilon[/math][br][br][i]In Worten:[br]Eine Funktion ist [b]stetig[/b] an der Stelle x[sub]0[/sub], wenn es für alle [/i][math]\epsilon\in\mathbb{R}^+[/math][i] , und seien diese ε noch so klein, ein [/i][math]\delta\in\mathbb{R}^+[/math][i] gibt, sodass für alle [/i][math]x\in D[/math][i], die von x[sub]0[/sub] höchstens einen Abstand von δ haben (d.h. [/i][math]\left|x-x_o\right|<\delta[/math][i]), gilt, sodass der Abstand des Funktionswertes f(x) an der Stelle x vom Funktionswert f(x[sub]0[/sub]) an der Stelle x[sub]0[/sub] kleiner als ε ist (d. h. [/i][math]\left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right| < \epsilon[/math][i] ).[/i][br][br][b]Aufgabe[/b] [list][*]Verkleinere die ε-Umgebung um [math]f(x_0)[/math].[/*][*]Verändere die Position der Stelle [math]x_0[/math].[/*][*]Verändere die Position von x in der δ-Umgebung von [math]x_0[/math].[/*][*]Untersuche die Stetigkeit von anderen Funktionen, die du im Dropdown -Feld wählen kannst.[/*][/list][br][i]Hinweis:[br]Eine Funktion ist [b]nicht stetig[/b] (unstetig), wenn es ein [/i][math]\epsilon\in\mathbb{R}^+[/math][i] gibt, sodass es für alle [/i][math]\delta\in\mathbb{R}^+[/math][i] ein [/i][math]x\in D[/math][i] mit [/i][math]\left|x-x_o\right|<\delta[/math][i] gibt, für das [/i][math]\left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right| \geq \epsilon[/math][i] ist.[br]f ist [b]nicht stetig [/b]an der Stelle [/i][math]x_0 \quad \Leftrightarrow[/math] [math]\exists \epsilon \in \mathbb{R}^+ \, \forall \delta \in \mathbb{R}^+ \, \exists x \in D, |x-x_0|< \delta : \quad |f(x)-f(x_0)| \geq \epsilon[/math]
Welche der folgenden Funktionen sind stetig?
Differenzen- und Differentialquotient
[b]Definition[/b][br]Sei f eine Funktion [math]f: \, ]a; b[ \rightarrow\mathbb{R}[/math].[br]Dann heißt [b]f[/b] an einer Stelle [math]x_0\in]a; b[[/math] [b]differenzierbar[/b], wenn der Grenzwert [br] [math] \lim_{h\to 0} \frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h} \qquad[br]\left(= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f\left(x_0+ \Delta x \right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x} = [br]\lim_{x \to x_0} \frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}\right)[/math][br]existiert.[br][br]In dem Applet ist der Graph der Funktion f: R → R; f(x) = 0,1·x² + 1 dargestellt.[br][br][b]Aufgabe[/b][br][list][*]Verändere mithilfe des Schiebereglers für Δx den Abstand zwischen den Punkten A und B.[/*][*]Notiere für Δx = 3,5 ; 3,0 ; 2,5; 2,0; 1,5; 1,2 und 1,1 die Steigung k der Sekanten durch die Punkte A und B. [br][/*][*]Welche Steigung k der Tangente im Punkt A lässt sich als Grenzwert der Sekantensteigungen vermuten?[/*][*]Führe dieselbe Aufgabe für die Funktion f(x) = 0.1·x² durch.[/*][/list]
Multiple Choice Fragen
Kreuze die richtige(n) Aussage(n) an.
Grafisches Ableiten
Der Wert k zeigt die Steigung der Tangente im Punkt P an.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Spielen Sie die Animation ab.[br]Geben Sie eine andere Funktion im Eingabefeld ein.
Ableitung elementarer Funktionen
Im oberen Grafikfenster wird eine Funktion vorgegeben, deren Ableitung zu bestimmen ist.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Gib in das Eingabefeld den Funktionsterm der Ableitungsfunktion ein.[br]Falls deine Antwort nicht korrekt ist, kannst du die richtige Lösung anzeigen lassen.[br]Übe an einigen weiteren Funktionen des Berechnung der Ableitung.
Satz von Rolle
[b]Satz von Rolle[/b][br]Sei f eine stetige Funktion in [a; b] und differenzierbar in ]a; b[ . Weiters sei f(a) = f(b).[br]Dann gibt es mindestens eine Stelle ξ in ]a; b[ mit [math]f'(\xi) = 0 [/math][br][br]Der Satz von Rolle ist ein [b]Spezialfall [/b]des [b]Mittelwertssatzes der Differentialrechnung[/b].[br][br][b]Geometrische Interpretation[/b][br]Es gibt mindestens ein ξ aus ]a; b[ , sodass die Tangente an der Stelle ξ parallel zur x-Achse ist.[br]Die Stelle ξ ist im allgemeinen nicht der Mittelwert von a und b. [br][br][b]Aufgabe[/b][br]Verändere die Intervallgrenzen a und b so, dass eine zweite Stelle für ξ angezeigt wird.
Andreas Lindner
Minimaler Flächeninhalt eines Parallelogramms
Dem Rechteck ABCD mit der Länge 14 und der Breite 8 ist das Parallelogramm EFGH in der dargestellten Form eingeschrieben.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]a) Finde durch Verschieben des Punktes E näherungsweise jene Länge x, für die der Flächeninhalt des Parallelogramms möglichst klein ist.[br]b) Berechne anschließend die Länge der Strecke x, für die der Flächeninhalt des Parallelogramms möglichst klein ist.[br][br][b]Lösungsvorschlag[/b]:
Minimaler Flächeninhalt eines Parallelogramms
Andreas Lindner
Das Newtonsche Näherungsverfahren
In diesem Applet wird das Newton'sche Näherungsverfahren geometrisch veranschaulicht.[br]Spiele die einzelnen Schritte über die Navigationsleiste ab und beschreibe den dargestellten Vorgang mit eigenen Worten.[br]Verändere die Position des Startwert [math]x_{1}[/math]. Wo muss der Startwert liegen, damit die linke Nullstelle angenähert wird?[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Berechne die Nullstelle der Sinusfunktion im Intervall [6; 7].[br]Zoome (Strg-Scrollrad oder Rechte Maustaste ziehen) auf den interessierenden Bereich.[br]Welcher Startwert ist für diese Berechnung ungeeignet? Begründe deine Entscheidung.
[b]Mögliche Aufgabenstellung [/b][br]Gesucht sind die Nullstellen der Funktion f mit [math]f(x) = x^2 + e^x - 2[/math].[list][*]Beschreibe das Näherungsverfahren nach Newton und berechne den ersten Wert der Iteration für die Nullstelle im Intervall [0; 1]. Beginne mit dem Startwert [math]x_1 = 1,5[/math].[/*][*]Berechne mit einem elektronischen Tool weitere Iterationswerte und eine Näherungslösung auf 3 Dezimalen genau (Reproduktion).[/*][*]Leite die Iterationsformel an Hand einer Skizze her.[/*][*]Welche Startwerte darf man beim Newton’schen Näherungsverfahren prinzipiell nicht wählen und warum nicht? (Reflexion)[/*][*]Würdest du die Gleichung x² + 6x = 4 auch mit dem Newton’schen Näherungsverfahren lösen? Wäre es prinzipiell möglich? (Reflexion)[/*][*]Warum kann man mit diesem Verfahren für die Funktion f mit [math]f(x)=\sqrt(x)[/math] die Nullstelle für x = 0 nicht finden, wenn der Startwert [math]x_1 = 2[/math] ist? (Transformation, Reflexion)[/*][/list]
Richtungsfeld für y' = k·y
Das Applet zeigt das Richtungsfeld für die Differentialgleichung y' = k·y.[br]Dabei können die Grenzen des Richtungsfelds, der Faktor k, die Anzahl und die Länge der Linienelemente variiert werden.[br]Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung lautet [math]y = c·e ^{k·x}[/math].[br]Eine spezielle Lösung, die durch den Punkt P geht, ist eingezeichnet.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Verändere mit den Schiebereglern die Werte für k, n und a.[br]Verschiebe den Punkt P und beobachte die Auswirkungen.