02 - Queda Livre com Arrasto (35 min)

[b][size=200]Exercício com Simplificação Exemplificada do Pensamento Crítico na Evolução Científica[/size][/b]

[b][color=#45818e][size=200]Experimento[/size][br][br]Em um experimento, um corpo de masa m = 5,0 kg é solto à 10 metros de altura em um meio fluido, dando início ao movimento de queda livre com arrasto em um local onde a aceleração da gravidade é de 9,8 m/s². Dados da altura do objeto são capturados a cada 0,2 segundos (com algum erro de medição, sempre presente em qualquer experimento).[br][br]O applet abaixo exibe o resultado dos primeiros segundos do experimento. Marque a caixa "Animar" para observar dinamicamente os dados capturados no experimento.[br][/color][/b]

[b][color=#45818e][size=200]Modelo 0 - Queda Livre sem Arrasto[/size][/color][/b]

[b]Questão 01:[/b] Qual a característica do problema deve ser usada para encontrar o modelo matemático?

O peso é sempre igual à diferença da força resultante com a força de arrasto O somatório das forças é igual a força resultante. A Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante é igual ao produto da massa com a aceleração do objeto.

[b]Questão 02:[/b] Qual ou quais EDOs a seguir modelam o problema?

[math]m\cdot a=k\cdot v+m\cdot g[/math] [math]F_R=P[/math] [math]m\cdot\left(\frac{d^2s}{dt^2}\right)+m\cdot g=0[/math] [math]m\cdot\left(\frac{dv}{dt}\right)=-m\cdot g[/math] [math]m\cdot\left(\frac{dv}{dt}\right)=m\cdot g[/math]

[b]Questão 03:[/b] Quais são as condições necessárias para caracterizar completamente o movimento?

Aceleração em dois instantes de tempo diferentes Velocidades em instantes de tempo diferentes Apenas a posição inicial e a velocidade inicial Posição inicial e aceleração Velocidade em qualquer instante de tempo e posição em qualquer instante de tempo Posição em dois instantes de tempo diferentes

[b][color=#45818e][size=200]Modelo 1[br][/size][br]Um físico, ao observar o experimento, propôs um modelo para explicar o movimento do corpo. Segundo seu modelo, há uma força que se opõe ao movimento do corpo, sendo diretamente proporcional à velocidade.[br][br]Ao comparar o resultado obtido pelo seu modelo com a observação experimental, ele determinou que o valor da constante de proporcionalidade k, sendo 2 kg/s. Além disso, ele conseguiu prever o movimento de corpos em queda livre para diferentes situações.[/color][/b][br][b][color=#45818e][br]Obs: [b][color=#45818e]É intuitivo pensar que há uma força de arrasto que depende da velocidade. Basta colocar a mão para fora em um veículo em movimento para sentir o vento empurrando sua mão para trás cada vez com mais força a medida que o veículo acelera.[br][/color][/b][/color][/b]

O applet mostrado anteriormente mostra os resultados que o físico obteve ao resolver as equações que governam o movimento segundo o seu modelo. Clique na caixa "Solução Analítica Modelo 1" e nas caixas "alt." "vel." "ac." para observar as curvas para altura, módulo da velocidade e módulo da aceleração.[br][br]Simule o comportamento para diferentes massas, constantes k, e aceleração da gravidade.

[b]Questão 04:[/b] Neste novo problema, qual a característica deve ser usada para encontrar o modelo matemático?

O peso é sempre igual à diferença da força resultante com a força de arrasto A Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante é igual ao produto da com a aceleração do objeto. O somatório das forças é igual a força resultante.

[b]Questão 05:[/b] Qual ou quais EDOs a seguir apresentam o modelo matemático (Modelo 1) para o problema

[math]F_R=F_A+P[/math] [math]m\cdot\left(\frac{dv}{dt}\right)=k\cdot v-m\cdot g[/math] [math]m\cdot\left(\frac{d^2s}{dt^2}\right)=k\cdot\left(\frac{ds}{dt}\right)-m\cdot g[/math] [math]m\cdot\left(\frac{dv}{dt}\right)=k\cdot v+m\cdot g[/math] [math]m\cdot a=k\cdot v+m\cdot g[/math]

[b]Questão 06:[/b] Assinale as alternativas corretas:

O Modelo 1 é melhor que o modelo de queda livre sem arrasto para explicar o movimento do corpo em qualquer situação Uma queda livre que ocorre no vácuo apresenta k = 0 O modelo 1 é um pouco mais complexo, em alguns casos não precisa ser adotado pois o modelo de queda livre sem arrasto é capaz de gerar bons resultados. Segundo o modelo 1, corpos com diferentes massas irão atingir o chão ao mesmo tempo se forem soltos à mesma altura. Neste modelo, o fluido é completamente caracterizado por apenas um parâmetro, o k. Dessa forma, que quisermos simular outro fluido, apenas esse valor precisa ser ajustado. Ao reduzir o valor de k, pode-se perceber uma menor influência da massa na altura que o objeto atinge em um determinado intervalo de tempo. Existe um intervalo de velocidades onde a força de arrasto pode ser ignorada, e o problema passa a ser o de queda livre sem arrasto.

[b]Questão 07: [/b]Após ser solto a 10m de altura, um objeto com massa 5kg cai em um gás cujo k vale 1. Ao atingir a altura de h = 0, ele mergulha em outro fluido que possui k = 10. Utilize o applet para obter a distância que o objeto percorre após 4,4 segundos do início do seu movimento segundo o Modelo 1 adotando aceleração da gravidade de 9,8m/s² e assinale a resposta:

28,1 metros 1,77m 11,77m 18,1 metros

[b]Questão 08: [/b]A força de arrasto aumenta com a velocidade. Segundo o Modelo 1:

Para determinar o instante de tempo em que o crescimento da força de arrasto passa a ser desprezível, é necessário resolver a EDO. Matematicamente não é possível atingir velocidade constante, mesmo que o objeto seja lançado na direção da gravidade. Existe uma velocidade em que a força de arrasto se iguala ao peso, então a força resultante é zero, anulando a aceleração

[b]Questão 09: [/b]Qual a solução da EDO do Modelo1 para velocidade?

[math]v\left(t\right)=\frac{m\cdot g}{k}\cdot e^{\frac{-k\cdot t}{m}}[/math] [math]v\left(t\right)=c\cdot e^{\frac{-k\cdot t}{m}}+\frac{m\cdot g}{k}[/math] onde c é uma constante a ser determinada com as condições de contormo. [math]v\left(t\right)=c\cdot e^{\frac{-k\cdot t}{m}}[/math] onde c é uma constante a ser determinada com as condições de contormo.

[color=#45818e][b][size=150][size=200]Modelo 2 [br][/size][/size][br]Um outro cientista chegou a conclusão de que há um modelo que pode se aproximar mais do experimento, e fez a proposta de que na verdade, a força de arrasto é proporcional ao quadrado da velocidade.[/b][/color]

[b]Questão 10:[/b] Qual ou quais EDOs a seguir apresentam o modelo matemático (Modelo 2) para o problema?

[math]m\cdot\left(\frac{dv}{dt}\right)=k\cdot v+m\cdot g[/math] [math]m\cdot a=k\cdot v^2+m\cdot g[/math] [math]m\cdot\left(\frac{dv}{dt}\right)=k\cdot v^2-m\cdot g[/math] [math]F_R=F_A+P[/math] [math]m\cdot\left(\frac{d^2s}{dt^2}\right)=k\cdot\left(\frac{ds}{dt}\right)-m\cdot g[/math]

[b]Questão 11: [/b]Observando o experimento, qual modelo explica melhor o movimento do corpo em queda livre?

Ambos explicam o movimento do corpo em queda livre com algum erro associado à modelagem, logo, não existe um modelo melhor. O modelo 1 explica melhor o movimento do corpo em queda livre, pois com ele é possível obter uma solução analítica, o que fornece uma boa previsão para qualquer instante de tempo, diferente da solução numérica. Não é possível determinar qual explica melhor o movimento do corpo em queda livre pois há erro associado à aquisição dos dados experimentais, e erros associados a modelagem. Em baixas velocidades, ambos os modelos geraram bons resultados, porém, o modelo 2 foi capaz de obter resultados mais próximos do experimento para velocidades maiores. Assim, pode-se concluir que o modelo 2 explica melhor o movimento.

[b]Questão 12: [/b]Qual modelo está correto?

Ambos estão corretos, pois, apesar de suas limitações, fornecem uma boa aproximação para o problema Ambos estão errados, pois não modelam com perfeição o experimento Todo modelo apresenta um erro associado, então se há um erro, ambos estão errados. O segundo modelo está correto, pois uma vez que se encontrou uma forma de explicar com mais precisão o experimento, o modelo menos preciso deve ser descartado

[color=#cc0000][b]Um negacionista quis refutar os cientistas com a seguinte afirmação:[br][br]"Vocês não conseguem explicar como dois paraquedistas com o mesmo tipo de paraquedas, chegam ao solo com a mesma velocidade independente da altura que ele pule. Foi feito um experimento em que um homem pulou do espaço até a terra, e sobreviveu. Segundo o modelo de vocês, ele cairia cada vez mais rápido, e nunca seria capaz de sobreviver. Vocês ignoram o conceito de velocidade terminal. Existe um limite para aceleração, a velocidade não pode ficar aumentando indefinidamente."[/b][/color]

[b]Questão 13: [/b]Sobre a argumentação do negacionista, e os conceitos de modelagem, indique a alternativas verdadeiras:

O fato de o paraquedista cair cada vez mais rápido não tem relação com o fato de haver um limite para a velocidade. Um modelo exato precisa levar em consideração muitas variáveis que são até mesmo desconhecidas, mas encontrar modelos exatos não é o objetivo em questão. A descrição dos cientistas para velocidade é assintótica, o que significa que há um limite para a velocidade, mesmo que ela fique aumentando indefinidamente. Os modelos não descrevem a realidade com exatidão, são apenas uma aproximação para fazer boas previsões com uma descrição aceitável de um determinado problema. É provável que o modelo indique de fato uma diferença na velocidade para dois paraquedistas, mas essa diferença pode estar dentro de uma margem de erro pequena.

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