[justify]A palavra Geometria vem do grego [b]Geometrein[/b], onde [b][i]Geo[/i][/b] significa [b][i]terra[/i][/b] e [b][i]metrein[/i][/b] = [b][i]para medir[/i][/b]. Assim, a Geometria era originalmente a ciência para "medir a terra". As primeiras ideias geométricas surgiram da necessidade do homem resolver problemas como [b][i]construção de casas[/i][/b], [b][i]delimitação de terrenos[/i][/b] e [b][i]plantações[/i][/b], entre outros.[/justify][justify]Ano após ano o Nilo transbordava do seu leito natural, espalhando um rico limo sobre os campos ribeirinhos, o que constituía uma benção, a base de existência do país dos Faraós, que na época se circunscrevia a uma estreita faixa de terra às margens do rio. A inundação fazia desaparecer os marcos de delimitação entre os campos. Para demarcarem novamente os limites existiam os [b][i]"puxadores de corda"[/i][/b], os [b][i]"harpedonaptas"[/i][/b] que baseavam a sua arte, essencialmente, no conhecimento de que o triângulo de lados 3, 4, 5 é retângulo.[br][b][br][/b]As [b][i]construções das pirâmides[/i][/b] e [b][i]templos[/i][/b] pelas civilizações egípcia e babilónica são o testemunho mais antigo de um conhecimento sistemático da Geometria. Contudo, muitas outras civilizações antigas possuíam conhecimentos de natureza geométrica, desde a Babilónia à China, passando pela civilização Hindu. Os [b][i]babilónicos[/i][/b] tinham conhecimentos matemáticos que provinham da [b][i]agrimensura e comércio[/i][/b] e a civilização [b][i]Hindu[/i][/b] conhecia o [b][i]teorema sobre o quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo[/i][/b].[br]A [b][i]Geometria como ciência dedutiva[/i][/b] apenas tem início na [b][i]Grécia Antiga[/i][/b], cerca de sete séculos antes de Cristo, graças aos esforços de muitos notáveis predecessores de Euclides, como [b][i]Tales de Mileto[/i][/b] (640 - 546 a.C.), [b][i]Pitágoras[/i][/b] (580 - 500 a.C.) e [b][i]Eudoxio[/i][/b] (408 - 355 a.C.).[br][b][i]Platão[/i][/b] interessou-se muito pela Geometria e ao longo do seu ensino evidenciou a necessidade de demonstrações rigorosas, o que facilitou o trabalho de [b][i]Euclides[/i][/b].[br][b][i]Euclides[/i][/b] (323 - 285 a.C.) deu um grande contributo para a Geometria escrevendo o livro [b][i]"Elementos"[/i][/b] que é constituído por 13 volumes. Este livro estabeleceu um método de demonstração rigorosa só muito recentemente superado.[br][br]"A Idade da Pedra durou vários milhares de anos, começando talvez já em 5 milhões a.C. e indo até por volta de 3000 a.C. Num mundo de vastas pastagens e savanas onde habitavam muitos animais selvagens e as pessoas eram principalmente caçadores e colhedores. Suas vidas eram agrestes e difíceis, de maneira que elas viviam demasiado ocupadas e em permanente agitação para poderem desenvolver tradições científicas. Depois de 3000 a.C., emergem comunidades agrícolas densamente povoadas ao longo do rio Nilo, na África, dos rios Tigre e Eufrates no Oriente Médio e ao longo do rio Amarelo, na China. Essas comunidades criaram culturas nas quais a ciência e a matemática começam a se desenvolver.” Introdução à História da Matemática – Howard Eves[br][br][br][b]Na Babilônia[/b][br]Por volta de 2000 a.C., os babilônios usavam tábulas de argila cozida para registrar seus conhecimentos. Já foram desenterradas mais de 50.000 tábulas que estão nos museus de Paris, Berlim, Londres e, também, nas Universidades de Yale, Columbia e Pensilvânia. A escrita é cuneiforme. Já foram identificadas quase 400 tábulas como estritamente matemáticas.[/justify]

[justify]Conhecimentos dos babilônios de 2000 a.C até 1600 a.C.,aproximadamente:[br][br]a) a área do retângulo, do triângulo retângulo e do triângulo isósceles (talvez um triângulo genérico), de um trapézio retângulo;[br]b) o volume de um paralelepípedo reto-retângulo e de um prisma reto de base trapezoidal;[br]c) consideravam o comprimento do círculo como o triplo do seu diâmetro e sua área como um duodécimo da área do quadrado de lado igual ao comprimento da circunferência;[br]d) o volume de um cilindro circular reto como produto da área da base pela altura;[br]e) o volume do tronco de uma pirâmide quadrangular regular era calculado de maneira errada como o produto da altura pela semissoma das bases;[br]f) eles sabiam que triângulos retângulos semelhantes possuem lados correspondentes proporcionais;[br]g) eles sabiam que a altura (não usavam este termo) de um triângulo isósceles divide a base em duas partes iguais;[br]h) conheciam o Teorema de Pitágoras (filósofo e matemático grego, que viveu entre 570 a.C. e 500 a.C. aproximadamente); e[br]i) em uma tábula descoberta mais recentemente, já podemos encontrar 3 1/8 como estimativa para π.[br]j) nenhuma informação sobre demonstração, apenas problemas do tipo “faça assim e assim”, com algumas exceções, etc.[/justify]

[b]No Egito[br][/b][justify]Por volta de 2000 a.C., na região localizada às margens do Rio Nilo. Os egípcios usavam pedras e papiros (precursor do papel) para registrar seus conhecimentos. A Matemática do Egito nunca alcançou o nível obtido pela matemática babilônica. Os egípcios utilizavam um sistema de numeração não-posicional. O sistema de numeração era feito por meio de hieróglifos. Representar números grandes era uma tarefa muito trabalhosa, devido à repetição de símbolos. A principal operação matemática era soma, da qual derivavam todas as outras operações com números inteiros.[/justify][justify]Devido às cheias do rio Nilo, era necessário medir o terreno periodicamente para calcular a porção do terreno perdido para os vizinhos. Apesar da precisão das medidas, dificilmente a área do terreno depois da cheia cabia um número inteiro de vezes na área do terreno antes das cheia e aí foram criados os números fracionários.[br][br]Os egípcios foram os primeiros a utilizar um calendário baseado no sol, criado em 3000 a.C.. Foi motivado pela falta de parâmetros precisos na previsão das épocas de plantio. Cada ano começava com a enchente anual do Nilo que possuía 365 dias divididos em 12 meses de 30 dias e mais 5 dias para comemorar o aniversário dos deuses Osíris, Hórus, Ísis, Neftis e Set.[br][br]As Pirâmides eram templos que os faraós mandavam construir para lhes servir de túmulo. As maiores pirâmides do Egito são Queóps, Quéfren e Miquerinos, que são conhecidas como “as pirâmides de Gizé”, pois ficam próximas a cidade de Gizé. A de Quéops é a maior, possuindo 147 metros de altura e tendo por base um quadrado de 234 metros de lado. Descobertas apontam que foram necessários 100 mil operários que levaram 30 anos para colocar no lugar os 2 milhões e meio de blocos de pedra usados na construção de Queóps.[/justify]

O Papiro de Rhind[br][br][justify]Este papiro contém 84 (ou 85) problemas matemáticos: frações, resolvia equações simples, progressões, medição de áreas de triângulos, cálculo de volumes e etc. Pelos cálculos obtidos no Papiro Rhind, sabemos que os egípcios dispunham de técnicas inteligentes para decompor frações unitárias.[br]No Papiro Rhind encontra-se uma tabela de decomposição dos números 2/5, 2/6, … , 2/101 e 2/95 = 1/60 + 1/380 + 1/570.[/justify]

O Papiro de Moscou[br][br][justify]Este papiro possui a dimensão de 8 cm de largura por 5 m de comprimento. Foi escrito por um escriba desconhecido em torno de 1850 a.C.. Atualmente, está no Museu de Belas Artes de Moscou. Nele estão representados 25 problemas matemáticos sobre: área do triângulo e do retângulo, área de uma superfície curva, volume de uma pirâmide truncada, equações lineares, etc.[/justify]

[b]Na Grécia[br][br][/b][justify]Os maiores cientistas do mundo antigo viveram na Grécia, um conjunto de ilhas rochosas e penínsulas no extremo leste do Mar Mediterrâneo. Existem poucas fontes de informação dos primeiros passos da matemática grega.[br]O filósofo grego Proclo, nascido no século V d.C., escreveu um resumo do desenvolvimento da geometria grega, desde seus primeiros tempos até Euclides, chamado [b][i]Sumário Eudemiano[/i][/b]. Assim, o homem começou a indagar [b][i]como[/i][/b] e [b][i]por quê[/i][/b]. Os processos empíricos do Oriente Antigo, suficientes para responder questões na forma de [b][i]como[/i][/b], não mais bastavam para as indagações mais científicas na forma de [b][i]por quê[/i][/b].[/justify]

Tales de Mileto (640 - 564 a.C.)[br][br][justify]Tales de Mileto foi um filósofo, matemático, engenheiro, homem de negócios e astrônomo da Grécia Antiga, considerado, por alguns, o primeiro filósofo ocidental. De ascendência fenícia, nasceu em Mileto, antiga colônia grega, na Ásia Menor, atual Turquia. Tales é apontado como um dos sete sábios da Grécia Antiga e o seu falecimento consta em Mileto Turquia.[br][br]A Matemática dedutiva começou com Tales de Mileto, por ser um mercador que ficou rico, pode dedicar parte da sua vida ao estudo e algumas viagens. Viveu um tempo no Egito e calculou a altura de uma pirâmide por meio da sombra. Alguns resultados de Tales:[br][br]a) qualquer diâmetro efetua a bissecção do círculo em que é traçado;[br]b) os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais;[br]c) ângulos opostos pelo vértice são iguais;[br]d) se dois triângulos têm dois ângulos e um lado em cada um deles respectivamente iguais, então esses triângulos são iguais; e[br]e) um ângulo inscrito num semicírculo é reto.[/justify]

Pitágoras de Samos (572/569 - ? a.C.)[br][br][justify]Foi um filósofo e matemático grego jônico creditado como fundador do movimento chamado [b][i]Pitagorismo[/i][/b]. Na sua maioria, as informações sobre Pitágoras foram escritas séculos depois da sua morte, de modo que há pouca informação confiável sobre ele. Nasceu por volta de 572/569 a.C., em Samos, na Grécia Antiga e faleceu, em Metapomtum Village, na Itália, fundou a Escola Pitagórica. [br]Foi um dos mais ilustre da sua época e é possível que tenha sido discípulo de Tales. Morou em Crotona, uma colônia grega ao sul da Itália, onde fundou a sua famosa escola que era um centro de estudo de filosofia, matemática e ciências naturais. A escola era, também, uma irmandade estreitamente unida por ritos secretos e cerimônias. Devido a grande influência e as tendências aristocráticas da irmandade ela foi destruída por forças democráticas do sul da Itália.[br]Pitágoras fugiu para Metaponto onde morreu, talvez assassinado, com uma idade avançada entre 75 e 80 anos. A irmandade continuou existindo por mais dois séculos. Os ensinamentos da escola eram inteiramente orais e todas as descobertas eram atribuídas ao seu fundador. Daí é difícil saber exatamente quais descobertas matemáticas se devem ao próprio Pitágoras. O Teorema de Pitágoras: já era conhecido pelos babilônios, mas foi Pitágoras quem fez a primeira demonstração geral.[br][br]Uma grande realização dos pitagóricos foi a descoberta de que existem números irracionais. Eles perceberam que não existe um número racional (uma fração) que represente a diagonal do quadrado cujos lados medem uma unidade. A descoberta dos irracionais é um grande marco da história da Matemática.[/justify]

Platão (427 - 347 a.C)[br][br][justify]Foi um filósofo e matemático do período clássico da Grécia Antiga, autor de diversos diálogos filosóficos e fundador da Academia em Atenas, a primeira instituição de educação superior do mundo ocidental. Nasceu na Atenas Clássica e veio a falecer no mesmo lugar de nascimento, fundador da Academia de Platão, foi influenciado por Sócrates, Pitágoras, Heráclito, Parmênides, entre outros. Estudou Filosofia com Sócrates e saiu pelo mundo à procura do saber. Estudou Matemática com Teodoro de Cirene, na África. A academia era uma instituição com propósitos de investigação científica e filosófica.[br]Quase todos os trabalhos da época foram feitos por amigos ou seus discípulos. Platão foi muito importante para a Matemática devido, principalmente, à sua convicção entusiástica de que o estudo da Matemática fornecia o mais refinado treinamento do espírito e que, portanto era essencial que fosse cultivado pelos filósofos e pelos que deveriam governar o Estado ideal. O lema da Academia era: “Que aqui não adentrem aqueles não versados em Geometria”.[br]Platão apresentou uma descrição dos cinco poliedros regulares e mostrou como construir modelos desses sólidos, juntando triângulos, quadrados e pentágonos para formas as suas faces. [/justify]

Euclides (? a.C - ? a.C.) [br][justify][br]Euclides de Alexandria foi um professor, matemático platônico e escritor grego, muitas vezes referido como o "Pai da Geometria". Além de sua principal obra, "Os Elementos", Euclides escreveu sobre perspectivas, seções cônicas, geometria esférica, teoria dos números e rigor. Faleceu em Alexandria, no Egito e seu nascimento ocorreu no século III a.C., local da morte não é conhecido, pois pouco se sabe sobre a vida de Euclides. A data de nascimento e o local são desconhecidos. Provavelmente, sua formação matemática tenha se dado na escola platônica de Atenas. Foi professor da Universidade de Alexandria, no Egito.[/justify]Proclo escreveu em seu [b][i]Sumário Eudemiano[/i][/b] a resposta que Euclides deu a Ptolomeu quando questionado se haveria um caminho mais curto para o conhecimento: “[b][i]Não há estradas reais na Geometria[/i][/b]”. Sua principal obra é "Os Elementos" que foi escrito em grego e cobre toda a aritmética, álgebra e geometria conhecidas até então, no mundo grego. Nenhum outro trabalho, com exceção da Bíblia, foi tão usado e estudado. Possui mais de 1000 edições impressas, desde a primeira delas em 1482. Não existe nenhum cópia dos Elementos de Euclides que seja do autor. A Edição mais antiga é do século X.[br]Os Elementos contém contém 465 proposições distribuídas em 13 livros:[br]a) cinco sobre Geometria Plana;[br]b) três sobre Teoria dos Números;[br]c) um sobre a Teoria das Proporções;[br]d) um sobre incomensuráveis; e[br]e) rês sobre Geometria Espacial.[br][br][justify]Euclides sistematizou todo o conhecimento geométrico dos seus precursores, intercalando os teoremas já então conhecidos com a demonstração de muitos outros, que completavam lacunas e davam coerência e encadeamento lógico ao sistema por ele criado, com uma estrutura única, lógica e formal. Sua obra é o protótipo da Matemática moderna. Afirmava que os axiomas são verdades primitivas, aceitas a priori, e que refletem propriedades observáveis dos objetos do mundo real que estamos modelando e que, a partir dos axiomas, é possível provar outras afirmações. A essas afirmações que serão provadas, daremos o nome de proposições ou teoremas. São de sua autoria:[br][br][i]Axioma 1[/i]: por dois pontos não coincidentes passa uma e somente uma reta;[br][i]Axioma 2[/i]: para todo segmento de reta AB e todo segmento de reta CD, existe um único ponto E tal que B está entre A e E e o segmento CD é congruente a outro segmento qualquer;[br][i]Axioma 3[/i]: para todo ponto C e todo ponto A não coincidente com C existe uma circunferência com centro C e raio congruente com CA;[br][i]Axioma 4[/i]: todos os ângulos retos são congruentes entre si; e[br][i]Axioma 5[/i]: por um ponto não pertencente a uma reta, passa uma e uma só paralela a tal reta.[br][br]Versão de Euclides:[br]Axioma 1: pede-se, como coisa possível, que se tire, de um ponto qualquer para outro ponto qualquer, uma linha reta;[br]Axioma 2: que uma linha reta determinada continua em direção de si mesma, até onde seja necessário;[br]Axioma 3: que com qualquer centro e qualquer intervalo se descreve um círculo;[br]Axioma 4: todos os ângulos retos são iguais; e[br]Axioma 5: se uma linha reta encontrado-se com outras duas fizer ângulos interno, da mesma parte, menores que dois retos, estas duas retas, produzidas ao infinito, concorrerão para a mesma parte dos ditos ângulos internos.[/justify]

[justify]A Geometria Plana estuda os pontos e os conjuntos de pontos (reta, semi-reta, segmento, plano, círculo, circunferência e/ou as figuras geométricas planas).[br][/justify][justify]A linguagem LÓGICA é usada nos textos matemáticos, assim ocorre o emprego contínuo de [u]conceitos[/u] que por sua vez, os consideramos conhecidos depois que são [b][i]definidos[/i][/b] e as suas [u]propriedades[/u] são consideradas verdadeiras depois que [b][i]demonstradas[/i][/b].[br][br]Todavia, se faz necessário estabelecer um início conceitual, no qual se constrói todo o conhecimento da Geometria Plana. Logo, adotamos alguns conceitos [b][i]sem definição[/i][/b], ou seja, os CONCEITOS PRIMITIVOS, onde todos os outros, a partir deles, são definidos. Isso é necessário para que essa teoria tenha uma finalidade prática, onde pela simplicidade dos conceitos primitivos, todas as pessoas possam ter o mesmo significado, sem que façam definição.[br][br][b][i]O PONTO[/i][/b] é um conceito fundamental da Geometria Plana, de onde todos os demais entes se derivam, ou seja: a reta, a semi-reta, o segmento, o plano. o círculo, a circunferência e/ou as figuras geométricas planas.[br][br]Você já imaginou um ponto? Como é um ponto? Podemos fazer um Ponto? Na realidade, nós construímos representações de ponto ou de um ponto. Observe:[/justify]

É importante ter em mente que a ideia de ponto [i][b]NÃO PODE SER MATERIALIZADA[/b][/i], ou seja, o ponto não tem dimensão, espessura, massa ou que possa ser subdividido. Assim, não há na Geometria uma definição conceitual de ponto, mas espera-se que todas as pessoas imaginem a mesma coisa quando leêm a palavra "PONTO", sem a necessidade de uma definição. Concluindo:[br][br] [br][i] [size=200][b][color=#ff0000]PONTO É UM CONCEITO PRIMITIVO! [/color][/b][/size][/i]

[justify][b][i]RETA[/i][/b] e [b][i]PLANO[/i][/b] são dois [i]CONCEITOS PRIMITIVOS[/i] que são fundamentais na Geometria. [br]A ideia de uma reta pode ser sugerida por um fio esticado e a ideia de plano, pela tela de um celular, tela de uma TV ou, ainda, a superfície ou o tampo de uma mesa. Porém, o fio esticado terá COMEÇO e FIM e a mesa suas beiradas, e, ambos, têm a sua espessura. Lembrando que, para materializarmos as ideias de reta e plano, seriam necessárias coisas/objetos sem espessura e que se estendessem infinitamente. É lógico, que só podemos imaginar a existência dessas coisas. Então, concluímos:[br][/justify][br][size=200][color=#ff0000][b][i] RETA E PLANO SÃO CONCEITOS PRIMITIVOS![/i][/b][/color][/size]

[justify]Usualmente, são adotados como representações gráficas de reta e plano os desenhos abaixo:[/justify]

[justify]Deve-se imaginar que a linha das retas "s" e "t" se prolongam em ambos os sentidos, como sugerem as setas e que a figura de baixo mostra penas uma parte/porção/pedaço do plano, o qual, na realidade, não tem esse contorno.[br]As retas são indicadas por letras latinas minúsculas (a, b, c, ...) e os planos, por letras gregas minúsculas ([math]\alpha[/math], [math]\beta[/math], [math]\gamma[/math],...). [/justify]

[justify]As proposições (propriedades, afirmações) geométricas são aceitas mediante demonstrações.[br]As [b][i]proposições primitivas[/i][/b] ou [b][i]postulados[/i][/b] ou [b][i]axiomas[/i][/b] são aceitos sem demonstração.[br]Iniciaremos a Geometria Plana com alguns postulados relacionando o [b][i]ponto[/i][/b], a [b][i]reta[/i][/b] e o [b][i]plano[/i][/b].[/justify]

POSTULADO DA EXISTÊNCIA[br][br][b][i]a) Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos.[br]b) Num plano há infinitos pontos.[br][/i][/b][br]A expressão "[b][i]infinitos pontos[/i][/b]" tem o significado de "[b][i]tantos pontos quanto quisermos[/i][/b]".[br][br]A figura abaixo indica uma reta "r" e os pontos A, B, P, R, S e M, sendo que:[br][br]- A, B e P estão em "r" ou a reta r" passa por A, B e P, ou ainda, A [math]\in[/math] r, B [math]\in[/math] r, P [math]\in[/math] r; [br]- R, S e M não estão em "r" ou "r" não passa por R, S e M, ou ainda R [math]\notin[/math] r, S [math]\notin[/math], M [math]\notin[/math] r.

Dados dois pontos A e B, de duas uma:[br][br]ou [b][i]A e B são coincidentes[/i][/b] (é o mesmo ponto, com dois nomes: A e B) ou [b][i]A e B são distintos[/i][/b].[br] (A [math]\bullet[/math] B, logo A = B ou [math]\bullet[/math]A e [math]\bullet[/math]B, no caso A [math]\ne[/math] B).

Dados um ponto e uma reta "r", de duas uma:[br][br]ou o ponto [b][i]P está na reta "r"[/i][/b] (a reta [b][i]"r" passa por P[/i][/b], ou seja,[b][i] P [/i][/b][math]\in[/math][b][i] r[/i][/b])[br][br]ou o ponto [b][i]P não está na reta "r"[/i][/b] (a reta [b][i]"r" não passa por P[/i][/b]. Assim, [b][i]P [/i][/b][math]\notin[/math][b][i] r[/i][/b]).

[justify]Dois ou mais pontos são [b][i]colineares[/i][/b] se todos eles pertencem a uma mesma reta. Dizemos, também, que esses pontos estão [b][i]alinhados[/i][/b]. Caso contrário, eles são [b][i]não colineares[/i][/b] ou estão [i]não alinhados[/i].[br][b][i]Pontos coplanares[/i][/b] são pontos que pertencem ou estão num [i]mesmo plano[/i].[/justify]

POSTULADO DA DETERMINAÇÃO[br][br]a) Da reta[br][br][b]Dois pontos distintos determinam uma única (uma, e uma só) reta que passa por eles.[br][br][/b]Podemos dizer, também, que: [b][i]dados dois pontos distintos A e B, existe uma única reta "r" tal que A [/i][/b][math]\in[/math][b][i] r B[/i][/b][b][math]\in[/math][i] r[/i][/b][b][i].[/i][/b][br][br]Pode-se afirmar, ainda, que: [i]dois pontos distintos determinam completamente uma reta, à qual ambos pertencem[/i]. Ou, então, [b][i]por dois pontos distintos passa uma única reta[/i][/b]. Tais afirmativas são formas de expressar a mesma coisa. Em símbolos, temos:[br][br] A [math]\ne[/math] B [math]\Longrightarrow[/math] [math]\exists[/math] r[math]\mid[/math] (A [math]\in[/math] r e B [math]\in[/math] r)[br][br]o que se lê: [i]se A é distinto de B, então existe uma única r, tal que A pertence a r e B pertence a r[/i].

É importante ressaltar que, para caracterizarmos uma reta, podemos tomar sobre ela [i][b]qualquer par[/b][/i] de dois pontos distintos.

b) Do plano[br][br][justify][b][i]Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles[/i][/b]. Podemos dizer, também, que: [b][i]dados três pontos A, B e C não colineares, existe um único plano [/i][/b][math]\alpha[/math][b][i] tal que A [/i][/b][math]\in[/math][b][i] [/i][/b][math]\alpha[/math][b][i] e B [math]\in[/math][/i][/b] [math]\alpha[/math][b][i] e C [math]\in[/math] [/i][/b][math]\alpha[/math].[br]Existem, ainda, as seguintes formas:[br][i][b]Três pontos não alinhados determinam completamente um plano, ao qual eles pertencem[/b] [/i]e, outra forma é: [b][i]por três pontos não colineares passa um único plano[/i][/b]. Simbolicamente, representamos por:[/justify] A, B, C não alinhados [math]\Rightarrow[/math] [math]\exists[/math][math]\alpha[/math][math]|[/math] (A [math]\in[/math] [math]\alpha[/math] e B [math]\in[/math] [math]\alpha[/math] e C [math]\in[/math] [math]\alpha[/math])

[justify]O plano determinado pelos pontos A, B e C pode ser indicado por pl (ABC), ou pl (ACB), ou pl (BCA), etc, indiferentemente.[br][br]Quando apoiamos no chão um tripé, observamos que o aparelho obtém uma posição estável, mesmo se o terreno for irregular. O contrário ocorreria se fosse uma mesa ou cadeira com quatro pés, pois há a possibilidade de não ter estabilidade (mancar). Num piso bem plano, três pés da mesa ou da cadeira vão ficar apoiados: o quarto pé poderá ou não pertencer ao plano determinado, pelos outros três. Desta forma, tem-se uma materialização da ideia de plano deste postulado.[/justify]

POSTULADO DA INCLUSÃO[br][br][justify][b][i]Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então a reta está contida nesse plano[/i][/b]. Outra forma de anunciar esse postulado é: [b][i]se dois pontos distintos A e B de uma reta r pertencem a um plano [/i][/b][math]\alpha[/math][b][i], então todos pontos dessa reta pertencem a [/i][/b][math]\alpha[/math].[/justify]

[justify]Simbolicamente, escrevemos: (A [math]\ne[/math] B, A [math]\in[/math] [math]\alpha[/math], B [math]\in[/math] [math]\alpha[/math]) [math]\Longrightarrow[/math][b][i]r [math]\subset[/math][/i][/b] [math]\alpha[/math]. [br][br]Vale salientar que a reta [i]r [/i]é um conjunto de pontos, logo é um subconjunto do plano [math]\alpha[/math].[br][/justify]

[b][i]Observação:[br][br][/i][/b]a) [i]Pontos coplanares[/i]: são pontos que pertencem a um mesmo plano;[br]b) [i]Figura[/i]: é qualquer conjunto de pontos;[br]c) [i]Figura plana[/i]: é uma figura que tem todos os seus pontos num mesmo plano; e[br]d) A [i]Geometria Plana[/i] estuda as figuras planas.

Retas concorrentes[br][br]a) Definição[br][br]Duas retas são [i][b]concorrentes[/b][/i] se, e somente se, elas têm [i][b]um único[/b][/i] ponto comum, ou seja, são duas retas que têm na interseção [b][i]um único[/i] [i]ponto[/i][/b].

b) Existência[br][br][justify]Usando o postulado da existência, tomemos uma reta [i]r[/i], um ponto [i]P[/i] em [i]r[/i] (P [math]\in[/math][i] r)[/i] e um ponto [i]Q [/i]fora de [i]r [/i](Q [math]\notin[/math][i] r[/i]).[br]Os pontos [i]P[/i] e [i]Q[/i] são distintos, pois um deles pertence a [i]r[/i] e o outro não.[br]Usando o postulado da determinação, considerando a reta [i]s [/i]determinada pelos pontos [i]P[/i] e [i]Q. [/i]As retas [b]r [/b]e[b] s [/b]são distintas, pois se coincidissem o ponto [i]Q [/i]estaria em [b]r [/b](e ele foi construído fora de [i]r[/i]), e o ponto [i]P [/i]pertence às duas. Logo, [b][i]r[/i] [/b]e [i]s [/i]são concorrentes. [/justify]

A noção "[i]estar entre" [/i]é uma noção primitiva que obedece aos seguintes postulados (ou axiomas):[br][br]Quaisquer que sejam os pontos A, B e P:[br][br]a) Se P [i][b]está entre[/b][/i] A e B, então A, B e P são pontos colineares;[br]b) Se P [i][b]está entre[/b][/i] A e B, então A, B e P são distintos dois a dois;[br]c) Se P [i][b]está entre[/b][/i] A e B, então A não está entre B e P e nem B está entre A e P; e[br]d) Quaisquer que sejam os pontos A e B, se A é distinto de B, então existe um ponto P que [i][b]está entre[/b][/i] A e B.[br][br]Segmento de reta - definição[br][br][b]Dados dois pontos distintos, a reunião do conjunto desses dois pontos com o conjunto dos pontos que estão entre eles é um[/b] [b][i]segmento de reta[/i][/b]. [br]Assim, dados A e B, A [math]\ne[/math] B, o segmento de reta AB, é o que segue:

Os pontos A e B são as [b][i]extremidades[/i][/b] do segmento e os pontos que [b][i]estão entre[/i][/b] A e B são pontos [b][i]internos[/i][/b].[br]Se os pontos A e B coincidem (A = B), dizemos que é um [b][i]segmento nulo[/i][/b].[br][br]

[b]Dados dois pontos distintos A e B, a reunião do segmento de reta AB com o conjunto dos pontos X tais que B [i]está entre[/i] A e X é a semi-reta AB[/b], indicada na forma abaixo:

Se A [b][i]está entre[/i][/b] B e C, as semi-retas AB e AC são ditas semi-retas opostas:

Resumo:[br][br]Considerando dois pontos distintos A e B, temos:

[justify][b]Dois segmentos de retas são [i]consecutivos [/i]se, e somente se, uma extremidade de um deles é, também, extremidade do outro[/b] (uma extremidade de um coincide com uma extremidade do outro). [/justify]

[b]Dois segmentos de reta são [i]colineares[/i] se, e somente se, estão numa mesma reta.[br][/b]

Segmentos adjacentes[br][br][i][b]Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes se, e somente se, possuem em comum apenas uma extremidade (não têm pontos internos comuns).[/b][/i]

Congruência de segmentos[br][br]A congruência (símbolo: [math]\equiv[/math]) de segmentos é uma noção primitiva que satisfaz os seguintes postulados:[br]

Comparando segmentos[br][br][justify]Dados dois segmentos AB e CD, pelo [i][b]postulado do transporte[/b] [/i]podemos obter na semi-reta AB um ponto P tal que o segmento AP seja congruente ao segmento CD. Temos três hipóteses a considerar:[/justify]

Adição de segmento[br][br][justify]Dados dois segmentos AB e CD, tomando-se numa semi-reta qualquer de origem R os [b][i]segmentos[/i][/b] [b][i]adjacentes[/i][/b] RP e PT tais que o segmento RP seja congruente a AB e o segmento PT seja congruente a CD.[/justify]

Ponto médio de um segmento[br][br]a) Definição[br][br]Um ponto M é ponto médio de um segmento AB se, e somente se, M está entre A e B e o segmento AM é congruente ao segmento MB, conforme a ilustração abaixo:

b) Unicidade do ponto médio[br][br]Se X e Y distintos (X [math]\ne[/math] Y) fossem pontos médios do segmento AB, teríamos:

Medida de um segmento - comprimento[br][justify][br]A medida de um segmento AB será indicada por m(AB) ou simplesmente por AB. A medida de um segmento (não nulo) é um número real positivo associado ao segmento de forma tal que:[br][br]1º) segmentos [b][i]congruentes[/i][/b] têm medidas iguais e, reciprocamente, segmentos que têm medidas [b][i]iguais[/i][/b] [i]são congruentes[/i].[/justify]

[justify]2º) se um segmento é [i][b]maior[/b] [/i]que outro, sua medida é [i][b]maior[/b] [/i]que a medida do outro.[br][br][/justify]

[i]Região convexa[br][br][/i][justify]Um conjunto de pontos [math]\Sigma[/math] é convexo (ou uma região é convexa) se, somente se, dois pontos distintos quaisquer A e B de [math]\Sigma[/math] são extremidades de um segmento AB contido em [math]\Sigma[/math], ou se [math]\Sigma[/math] é unitário, ou se [math]\Sigma[/math] é vazio. [br][br]Como exemplo, temos:[br][br]1. Uma reta "r" é um conjunto convexo de pontos, pois [/justify]

[justify]2. Um plano [math]\alpha[/math] é uma região convexa, pois, se A e B são dois pontos distintos de [math]\alpha[/math], o segmento AB está contido em [math]\alpha[/math].[br][br][/justify]

3. Um segmento de reta, também, é uma figura convexa:

4. As figuras abaixo, não são definidas, ainda, como convexas:[br][br]

Se uma região não é convexa, ela é uma região côncava. Vejamos:

[i]Postulado da separação dos pontos de um plano[br][br][/i]Uma reta "r" de um plano [math]\alpha[/math] separa este plano em dois conjuntos de pontos [math]\alpha[/math]' e [math]\alpha[/math]'', tais que:

Os pontos de [math]\alpha[/math] que não pertencem à reta "r" formam dois conjuntos, tais que:[br][br]a) cada um deles é convexo; e[br]b) se A pertence a um deles e B pertence ao outro, então o segmento AB intercepta a reta "r".

[i]Semiplano - definição[br][br][/i]Cada um dos dois conjuntos ([math]\alpha[/math]' e [math]\alpha[/math]'') é chamado [b][i]semiplano[/i][/b] aberto.[br]Os conjuntos r [math]\cup[/math] [math]\alpha[/math]' e r [math]\cup[/math] [math]\alpha[/math]' são [i]semiplanos[/i].[br]A reta r é a origem de cada um dos [i]semiplanos[/i].[br][math]\alpha[/math]' e [math]\alpha[/math]'' são semiplanos oposto.

[justify]Chama-se [b][i]ângulo[/i][/b] à reunião de duas semi-retas de mesma origem, não contidas numa mesma reta (não colineares).[/justify]

O ponto [b]O [/b]é o vértice do ângulo. As semi-retas [b][i]OA[/i][/b] e [b][i]OB[/i][/b] são os [b][i][u]lados[/u][/i][/b] do ângulo. [br]

[b][i]Interior[/i][/b] do ângulo [i]AÔB [/i]é a [i]interseção[/i] de dois semiplanos abertos, a saber: [br]- [math]\alpha[/math][sub]1[/sub] com origem na reta OA e que contém o ponto [i]B[/i];[br]- [math]\beta[/math][sub]1 [/sub]com origem na reta OB e que contém o ponto [i]A[/i]; e[br]- Interior de [b][i]AÔB = [math]\alpha[/math][/i][/b][sub]1[/sub] [math]\cap[/math] [math]\beta[/math]1.[br][br]O interior de um ângulo é [b][i]convexo[/i][/b]. [br]Os pontos do interior de um ângulo são pontos [b][i]internos[/i][/b] ao ângulo.[br][justify]A reunião de um ângulo com seu interior é um [i][b]setor angular[/b] [/i]ou [i][b]ângulo completo[/b] [/i]e, também, é conhecido por [b][i]"ângulo convexo"[/i][/b]. [/justify]

[justify][b][i]Exterior[/i][/b] do ângulo [b][i]AÔB[/i][/b] é o conjunto dos pontos que não pertencem nem ao ângulo [b][i]AÔB[/i][/b] nem ao seu interior.[br]O [b][i]exterior[/i][/b] de [i]AÔB [/i]é a [i]reunião [/i]de dois semiplanos abertos, a saber:[br]- [math]\alpha[/math][sub]2[/sub] com origem na reta OA e que não contém o ponto [i]B [/i](oposto a [math]\alpha[/math][sub]1[/sub]) e [math]\beta[/math][sub]2[/sub] com origem na reta OB e que não contém o ponto [i]A[/i] (oposto a [math]\beta[/math][sub]1[/sub]).[br]- O exterior de um ângulo é côncavo.[br]- Os pontos do exterior de um ângulo são pontos [i]externos[/i] ao ângulo.[br]- A reunião do ângulo com o seu exterior, também, é conhecida por "[b][i]ângulo côncavo[/i][/b]". [/justify]

[i]Ângulos consecutivos[br][br][/i][justify]Dois ângulos são [b][i]consecutivos[/i][/b] se, e somente se, um lado de um deles é, também, lado do outro (um lado de um deles coincide com um lado do outro).[/justify]

[i]Ângulos adjacentes[br][/i][justify][br]Dois ângulos consecutivos são adjacentes se, e somente se, não têm pontos internos comuns.[br][i][b]AÔB[/b][/i] e [i][b]BÔC[/b] [/i]são ângulos adjacentes.[/justify]

[i]Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v)[br][br][/i]Dois ângulos são opostos pelo vértice se, e somente se, os lados de um deles são as respectivas semi-retas opostas aos lados do outro.

[justify]Observe que duas retas concorrentes determinam dois pares de ângulos opostos pelo vértice: ([b][i]AÔB[/i][/b], [b][i]CÔD[/i][/b]) e ([b][i]AÔD[/i][/b], [b][i]BÔC[/i][/b]).[/justify]

A [b][i]congruência[/i][/b] (símbolo [math]\equiv[/math]) entre ângulos é uma noção primitiva que satisfaz os seguintes postulados:[br]

[i]Comparação de ângulos[/i]