Freshmen konzultáció - 2. Határértékek, deriválás

Körtesi Péter, Nov 26, 2017

Az EFOP-3-4-3-16-2016-00015 "Főnix ME" - Megújuló Egyetem Felsőoktatási intézményi fejlesztések a felsőfokú oktatás minőségének és hozzáférhetőségének együttes javítása érdekében c. projekt 8. Hallgatói innováció részprojekt Lemorzsolódást csökkentő akciói körében Freshmen Matematikai konzultációk keretében készült sorozat része. A sorozatok határértékének számítása, függvények határértékének számítása, a deriválás és annak alkalmazásai megértésének, gyakorlásának egyik legjobb segédeszköze a GeoGebra, de a hallgatóknak meg kell érteniük azt is, hogy a függvények tanulmányozásához hogyan használhatjuk fel a határérték számítás és a deriválás eredményeit, tulajdonságait. A következő GeoGebra könyv ezeknek a tudnivalóknak egy rövid összefoglalása, és a szoftver lehetőségeit kihasználva a legfontosabb fogalmak szemléltetése.

Table of Contents

  1. Sorozatok határértéke
    1. Az n/(n+1) sorozat határértéke
  2. Függvények határértéke
    1. A két függvény csak egy pontban, az x=1 pontban tér el
    2. Az f(x)=(x-1)/(x^2-1) határértéke az x=1 pontban
    3. Az f(x)=x lnx függvény határértéke x=0-ban
  3. Deriválás
    1. Az x ln(x) függvény teljes vizsgálata
  4. Deriváltak alkalmazásai
  5. L'Hospital szabály
    1. Az f(x)=x lnx függvény határértéke x=0-ban
  6. Teljes függvényvizsgálat
    1. Az x e^x függvény teljes vizsgálata
    2. Az x ln(x) függvény teljes vizsgálata
  7. Taylor polinom, MacLaurin polinom
    1. Taylor (MacLaurin) polinom

1.

Sorozatok határértéke

  • 1. Az n/(n+1) sorozat határértéke

1.1.

Az n/(n+1) sorozat határértéke

Az [color=#ff0000]x_n=n/(n+1)[/color] sorozat határértéke a sorozatnak megfeleltetett [color=#ff0000]f(x)=x/(x+1)[/color] függvény tanulmányozásával történhet. A sorozat első 30 tagját az [color=#ff0000]n[/color] csúszka változtatásval szemléltetjük, a függyvény [color=#ff0000]P=(n,x_n)[/color] koordinátájú pontjával illetve a függyvény, és egyben a sorozat tagjainak értékére mutató [color=#ff0000]u_n [/color]vektor [color=#ff0000]Q=(0,x_n)[/color] végpontjával.[br]A függvény határértéke a végtelenben, a [color=#ff0000]Határérték(f, végtelen)[/color] paranccsal is kiszámítható, jele [b]lim, [/b]és az értéke amint az ábra is sugallja [color=#ff0000]1[/color].
– Körtesi Péter

2.

Függvények határértéke

  • 1. A két függvény csak egy pontban, az x=1 pontban tér el
  • 2. Az f(x)=(x-1)/(x^2-1) határértéke az x=1 pontban
  • 3. Az f(x)=x lnx függvény határértéke x=0-ban

2.1.

A két függvény csak egy pontban, az x=1 pontban tér el

Az első függvény az f_1(x) = (x-1)/(x^2-x), amit a P pont ír le, a második az f_2(x)=1/x, amit a Q pont írle.[br]A t paraméter animálásával megfigyelhető a kritikus ponton az eltérés: a P pont nem létezik (undefined) a t=1 (x=1) pontban, de a Q igen, így a két függvény ezen az egy ponton eltér egymástól. Pontosabban az f_1 függvénynek az x=1 nem tartozik az értelmezési tartományához, itt úgynevezett hézagpontja van, ugyanakkor az f_2 függvény értelmezett az x=1 értéknél.[br]A két függvényről még jó tudni, hogy x=0 pontban mindkettőnek függőleges asszimptótája az x=0 egyenes, ezt szokás még páratlan pólusnak is mondani, mivel a függvények jobb és baloldali határértke ebben a pontban végtelen, még pontosabban -végtelen/+ végtelen. 
– Körtesi Péter

2.2.

–

2.3.

–

3.

Deriválás

  • 1. Az x ln(x) függvény teljes vizsgálata

3.1.

Az x ln(x) függvény teljes vizsgálata

Az adott függvény értelmezési tartománya a pozitív valós számok halmaza. Megvizsgáltuk a metszéspontját a tengelyekkel, a határértékeit 0-ban és plusz végtelenben, valamint az első és második deriváltjainak előjelváltozását, és azok segítségével ábrázoltuk a függvényt.
– Körtesi Péter

4.

Deriváltak alkalmazásai


    This chapter does not contain any resources yet.

5.

L'Hospital szabály

  • 1. Az f(x)=x lnx függvény határértéke x=0-ban

5.1.

– Körtesi Péter

6.

Teljes függvényvizsgálat

  • 1. Az x e^x függvény teljes vizsgálata
  • 2. Az x ln(x) függvény teljes vizsgálata

6.1.

Az x e^x függvény teljes vizsgálata

Az adott függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza. Megvizsgáltuk a metszéspontját a tengelyekkel, a határértékeit - és plusz végtelenben, valamint az első és második deriváltjainak előjelváltozását, és azok segítségével ábrázoltuk a függvényt. Az ábra a december 4-én tartott Freshmen konzultáció kérdéseinek szemléltetését szolgálja.
– Körtesi Péter

6.2.

–

7.

Taylor polinom, MacLaurin polinom

  • 1. Taylor (MacLaurin) polinom

7.1.

Taylor (MacLaurin) polinom

A december 18. Freshmen konzultáción felmerült kérdés kapcsán a TAYLOR illetve MacLaurin polinomok alkalmazáshoz készült file, az f(x)= sin(x) Taylor polinomja látható és tanulmányozhat az x=a pontban illetve az n fokszám megválasztásával. Az n paraméter animálásával láthatjuk a polinom egyre jobban megközelíti a függvényt az adott pont környezetében.
– Körtesi Péter

Information